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'''club'''集合 (クラブしゅうごう) あるいは閉非有界集合は、[[極限順序数]]の部分集合のうち、[[順序位相]]の意味で[[閉集合|閉]]であり、基準となっている極限順序数の中で非有界なものである。

{{en|club}} という名前は、{{en|closed}} (閉) と {{en|unbounded}} (非有界) の合成語である。

== 正式な定義 ==

正式には、<math>\kappa</math> を極限順序数として、<math>C\subset\kappa</math> が <math>\kappa</math> の中で'''閉'''であるということは、任意の <math>\alpha<\kappa</math> に対して、「 <math>\sup(C\cap \alpha)=\alpha\ne0</math> ならば <math>\alpha\in C</math>」となることである。従って、<math>C</math> の中の点列の極限が <math>\kappa</math> 未満であればそれは <math>C</math> に属する。

<math>\kappa</math> を極限順序数として、<math>C\subset\kappa</math> が <math>\kappa</math> の中で'''非有界'''であるということは、任意の <math>\alpha<\kappa</math> に対して、<math>\alpha<\beta</math> なる <math>\beta\in C</math> が存在するということである。

閉かつ非有界な集合を'''club集合'''という。閉な真[[クラス (集合論)|クラス]]も同様に定義される(全ての順序数による真クラスの中で、順序数の任意の真クラスは非有界である)。

例として、[[可算]]極限順序数全てによる集合は <math>\omega_1</math> の中でclubである。しかし、それより大きい極限順序数の中ではclubではない。閉でないし非有界でもないからである。正則基数 <math>\kappa</math> に対して、<math>\kappa</math> 未満の極限順序数全てによる集合は <math>\kappa</math> 内でclubである。

== clubフィルター ==

<math>\kappa \,</math> を[[共終数]] <math>\lambda \,</math> の極限順序数とする。ある <math>\alpha < \lambda \,</math> に対して、列 <math>\langle C_\xi : \xi < \alpha\rangle \,</math> が <math>\kappa \,</math> のclub集合の列であったとする。このとき、<math>\bigcap_{\xi < \alpha} C_\xi \,</math> もclubである。これを見るために、閉集合たちの共通部分は閉集合であるのは簡単なので、この集合が非有界であることを確かめる。

<math>\beta_0 <\kappa \,</math> を任意にとる。ある <math>n<\omega</math> に対して <math> \beta_{n} </math> が存在するとき、<math>C_\xi \,</math> から <math>\beta_{n+1}^\xi > \beta_{n} \,</math> となるように、<math>\beta_{n+1}^\xi</math> をとる。これは各 <math>C_\xi \,</math> が非有界だから可能。そして、これらによる集合は順序数 <math>\lambda \,</math> 未満の長さであり、この集合の上限は <math>\kappa \,</math> 未満である。そこで、これを <math>\beta_{n+1} \,</math> と定める。この方法により、可算列 <math>\beta_0,\beta_1,\beta_2,\dots \,</math> を得る。

この列の極限は <math>\beta_0^\xi,\beta_1^\xi,\beta_2^\xi,\dots \,</math> の極限でもある。そして各 <math>C_\xi \,</math> は閉で <math>\lambda \,</math> が非可算なので、この極限は各 <math>C_\xi \,</math> の元であるべきで、これは <math>\beta_0 < \kappa \,</math> より真に大きい <math>\bigcap_{\xi < \alpha} C_\xi \,</math> の元である。これで <math>\bigcap_{\xi < \alpha} C_\xi \,</math> が非有界であることが示された。このことから、<math>\kappa \,</math> が正則基数であるとき <math>\{S \subset \kappa : \exists C \subset S \text{ such that } C \text{ is club in } \kappa\} \,</math> は非自明な <math>\kappa \,</math> 上の <math>\kappa \,</math> -完備[[フィルター (数学)|フィルター]]である。これをclubフィルターといい、<math>\operatorname{club}(\kappa)</math> と表す。clubフィルターは[[対角線共通部分]] ({{en|diagonal intersection}}) について閉じている。

これがフィルターであることを見る。

まず、<math>\kappa\in\operatorname{club}(\kappa)</math> である( <math>\kappa</math> 自身は <math>\kappa</math> のclub集合である)。<math>x\in\operatorname{club}(\kappa)</math>  ならば、<math>x</math> を[[部分集合]]としてもつ <math>\kappa</math> の部分集合はやはり  <math>\operatorname{club}(\kappa)</math> の元である。
<math>\kappa</math> -完備であることは上で証明してあった。よって、これでフィルター性は確認された。

<math>\operatorname{club}(\kappa)</math> が[[対角線共通部分]]について閉じていることを確認する。<math>\langle C_i | i<\kappa \rangle</math> をclub集合の列とする。<math>C</math> をその対角線共通部分すなわち <math>C=\Delta_{i<\kappa} C_i</math> とする。  <math>C</math> が閉であることを示す。<math>S \subset C</math> かつ <math>S \subset \alpha<\kappa</math> かつ <math>\bigcup S=\alpha</math> とする。このとき、<math>\gamma\in S</math> とすると、各 <math>\beta<\gamma</math> に対して、<math>\gamma\in C_\beta</math> である。各 <math>\beta<\alpha</math> について、<math>\alpha\in C_\beta</math> である。従って、<math>\alpha\in C</math> である。よって、閉集合であることは示された。<math>C</math> が非有界であることを示す。<math>\alpha<\kappa</math> として、可算列 <math>\langle  \xi_i | i<\omega \rangle</math> を以下のように定義する: <math>\xi_0=\alpha</math> とし、  <math>\xi_{i+1}</math> を、<math>\xi_{i+1}>\xi_i </math> なるうちでの <math>\bigcap_{\gamma<\xi_i}C_\gamma</math> の最小要素とする。そのような要素は、多くないclub集合の共通部分がclubなので存在する。そして <math>\xi=\bigcup_{i<\omega}\xi_i>\alpha</math> かつ <math>\xi\in C</math> である。それは、全ての <math>i<\xi</math> について、その要素が <math>C_i</math> の元だからである。よって、<math>C</math> は非有界である。

<math>\kappa \,</math> が正則基数なら、club集合の族の[[対角線共通部分]]はclub集合である。さらに言えば、<math>\kappa \,</math> が正則で <math>\mathcal{F} \,</math> を <math>\kappa \,,</math> 上のフィルターで対角線共通部分について閉じていて <math>\{\xi < \kappa : \xi \geq \alpha\} \,</math> (ただし <math>\alpha < \kappa \,</math> )の形の集合を全て要素に持つとすると <math>\mathcal{F} \,</math> は全てのclub集合を要素に持つ。

==関連項目==
*[[定常集合]]

==参考文献==
{{参照方法|date=2013年7月}}
*Jech, Thomas, 2003. ''Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded''.  Springer.  ISBN 3-540-44085-2.
* {{PlanetMath attribution|id=33231|title=club filter}}
* {{PlanetMath attribution|id=33227|title=Club}}
* Levy, A. (1979) ''Basic Set Theory'', Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag. Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5

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[[Category:順序数]]
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