D-加群のソースを表示

{{要改訳|date=2015-10-08}}
数学において、'''D-加群'''(D-module)は、[[微分作用素]]の[[環 (数学)|環]] ''D'' 上の[[環上の加群|加群]]である。そのような D-加群への主要な興味は、[[線型偏微分方程式]]の理論へのアプローチとしてである。1970年ころ以来、D-加群の理論は、主要には[[代数解析]]上の[[佐藤幹夫 (数学者)|佐藤幹夫]]のアイデアがまとめられ、{{仮リンク|佐藤・ベルンシュタイン多項式|en|Bernstein–Sato polynomial}}についての佐藤と[[ヨシフ・ベルンシュタイン|ヨゼフ・ベルンシュタイン]](Joseph Bernstein)の仕事へと発展した。

初期の主要な結果は、[[柏原正樹]]の{{仮リンク|柏原の構成定理|en|Kashiwara constructibility theorem}}と{{仮リンク|柏原の指数定理|en|Kashiwara index theorem}}である。D-加群論の方法は、[[層 (数学)|層]]の理論から導かれ、[[代数幾何学]]の[[アレクサンドル・グロタンディーク]]の仕事から動機を得たテクニックが使われている。D-加群のアプローチは、微分作用素を研究する伝統的な[[函数解析]]のテクニックとは異なっている。最も強い結果は、{{仮リンク|極大過剰決定系|en|maxmally over-determined system}}（{{仮リンク|ホロノミック系|en|holonomic system}}）に対して得られ、[[微分作用素の表象|表象]]により{{仮リンク|特性多様体|en|characteristic variety}}が定義される。特性多様体は[[余接バンドル]]の包合的部分集合であり，その中で最良の例が、最小次元の[[余接バンドル]]の[[シンプレクティック多様体#ラグランジアン部分多様体、あるいはその他の部分多様体|ラグラジアン部分多様体]]である（{{仮リンク|包合系|en|involutive system}}）。テクニックは、グロタンディーク学派の側から[[ゾグマン・メブク]] (Zoghman Mebkhout) により開発された。彼は、すべての次元での{{仮リンク|リーマン・ヒルベルト対応|en|Riemann–Hilbert correspondence}}の[[導来圏]]の一般的なバージョンを得た。

==はじめに：ワイル代数上の加群==
代数的 ''D''-加群の第一の例は、[[標数]] 0 の[[可換体|体]] ''K'' 上の[[ワイル代数]] ''A''<sub>''n''</sub>(''K'') 上の加群である。この例は、次のような変数の多項式からなる代数である。
:''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>, ∂<sub>1</sub>, ..., ∂<sub>''n''</sub>.
ここに、すべての変数 ''x''<sub>''i''</sub> と ∂<sub>''j''</sub> は互いに可換であり、[[交換子]]は、
:[∂<sub>''i''</sub>, ''x''<sub>''i''</sub>] = ∂<sub>''i''</sub>''x''<sub>''i''</sub> &minus; x<sub>''i''</sub>''∂''<sub>''i''</sub> = 1.
である。任意の多項式 ''f''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) に対し、このことは関係式
:[∂<sub>''i''</sub>, ''f''] = ∂''f'' / ∂''x''<sub>''i''</sub>,
を意味するので、ワイル代数を微分方程式へ関連付けることができる。

（代数的） ''D''-加群は、定義により、環 ''A''<sub>''n''</sub>(''K'') 上の[[環上の加群|左加群]]である。''D''-加群の例は、ワイル代数自身（左からの乗算により自分自身へ作用する）、及び可換な[[多項式環]] ''K''[''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>] を含んでいる。ここに、''x''<sub>''i''</sub> は乗算によって作用し、∂<sub>''j''</sub> は ''x''<sub>''j''</sub> に関して[[偏微分]]として作用する。そしてこれと似たものとして、'''C'''<sup>''n''</sup> 上の正則函数の環 <math>\mathcal O(\mathbf C^n)</math>（''n'' 個の複素変数の関数からなる空間）がある。

''x'' を複素変数、''a''<sub>''i''</sub>(''x'') を多項式として、[[微分作用素]] {{nowrap begin}}''P'' = ''a''<sub>''n''</sub>(''x'') ∂<sup>''n''</sup> + ...  + ''a''<sub>1</sub>(''x'') ∂<sup>1</sup> + ''a''<sub>0</sub>(''x''),{{nowrap end}} が与えられると、商加群 ''M'' = ''A''<sub>1</sub>('''C''')/''A''<sub>1</sub>('''C''')''P'' は微分方程式
:''P f'' = 0,
の解の空間と密接に関係する。ここに ''f'' は、いわば、'''C''' の正則函数である。この方程式の解からなるベクトル空間は、''D''-加群の準同型の空間 <math>\mathrm{Hom} (M, \mathcal O(\mathbf C))</math> により与えられる。

==代数多様体上の ''D''-加群==
''D''-加群の一般論は、複素多様体 (係数体は ''K'' = '''C''')，又は ''K'' = '''C''' のような標数 0 の代数的閉体 ''K'' 上に定義された[[滑らかな射|滑らかな]](smooth)[[代数多様体]] ''X'' 上で展開された。微分作用素 ''D''<sub>''X''</sub> の[[層 (数学)|層]]は、''X'' 上の[[ベクトル場]]により生成された ''O''<sub>''X''</sub>-代数であると定義され、{{仮リンク|微分代数|label=微分|en|differential algebra}}と解釈される。（左） ''D''<sub>''X''</sub>-加群 ''M'' は ''O''<sub>''X''</sub>-加群で ''D''<sub>''X''</sub> の左[[群作用|作用]]を持っている。そのような作用は、''K''-線型写像
:<math>\nabla: D_X \rightarrow End_K(M), v \mapsto \nabla_v</math>
を与えることと同値であり、この写像は、
:<math>\nabla_{f v}(m) = f \nabla_v (m)</math>
:<math>\nabla_v (f m) = v(f) m + f \nabla_v (m)</math> ([[ライプニッツの法則|ライプニッツ則]])
:<math>\nabla_{[v, w]}(m) = [\nabla_{v}, \nabla_{w}](m)</math>
を満たす。ここに ''f'' は ''X'' 上の正則函数であり、''v'' と ''w'' はベクトル場で、''m'' は ''M'' の局所切断であり、[&minus;, &minus;] は[[交換子]]を表す。従って、さらに ''M'' が局所自由 ''O''<sub>''X''</sub>-加群であれば、''M'' が与えられると、''D''-加群構造は平坦か、または、可積分である[[接続 (ベクトルバンドル)|接続]]を持つ ''M'' に付随するベクトルバンドルを持つことに他ならない。

環 ''D''<sub>''X''</sub> が非可換であれば、左と右の ''D''-加群は異なっているはずである。しかし、両方の加群のタイプの間の[[圏同値]]が存在するので、入れ替えることができる。圏同値は左加群 ''M'' を[[テンソル積]] ''M'' ⊗ Ω<sub>''X''</sub> へ写像することにより与えられる。ここに、Ω<sub>''X''</sub> は ''X'' 上の[[微分形式|微分 1-形式]]の最高次の[[外積べき]]により与えられる[[層 (数学)|層]]である。この層は、
:&omega; ⋅ ''v'' := &minus; Lie<sub>''v''</sub> (&omega;)
により決まる自然な'''右'''作用を持つ。ここに ''v'' は階数 1 の微分作用素、いわば、ベクトル場 ω であり ''n''-形式 (''n'' = dim ''X'') であり、Lie は[[リー微分]]を表す。

局所的には、''X'' 上の{{仮リンク|パラメータの正則系|label=座標系|en|Regular system of parameters}}(system of coordinates) ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub> (''n'' = ''dim'' X) を選んだのち（座標系は、''X'' の[[接空間]]の基底 ∂<sub>1</sub>, ..., ∂<sub>''n''</sub> を決定する）、''D''<sub>''X''</sub> の切断が、
:<math>\sum f_{i_1, \dots, i_n} \partial_1^{i_1} \cdots \partial_n^{i_n}</math>
として一意に表現される。ここに <math>f_{i_1, \dots, i_n}</math> は ''X'' 上の[[正則函数 (スキーム論)|正則函数]]である。

特に、''X'' が ''n''-次元[[アフィン空間]]であれば、この ''D''<sub>''X''</sub> は ''n'' 変数のワイル代数である。

''D''-加群の多くの基本的性質は、局所的で、[[連接層]]の状況と平行している。このことは、''D''<sub>''X''</sub> は、上記の ''O''<sub>''X''</sub>-基底が示すように、無限ランクで作用する''O''<sub>''X''</sub>-加群の[[局所自由層]]である。''O''<sub>''X''</sub>-加群として連接である ''D''<sub>''X''</sub>-加群は、必然的に局所自由（有限ランク）となることを示すことができる。

===函手性===
異なる代数多様体上の ''D''-加群は、{{仮リンク|層の像函手|label=プルバック函手とプッシュフォワード函手|en|image functors for sheaves}}により、連接層の一つと比較し、関連付けられている。滑らかな代数多様体の[[概型|スキームの射]] ''f'': ''X'' → ''Y'' に対し、定義は、
:''D''<sub>''X''&rarr;''Y''</sub> := ''O''<sub>''X''</sub> &otimes;<sub>''f''<sup>&minus;1</sup>(''O''<sub>''Y''</sub>)</sub> ''f''<sup>&minus;1</sup>(''D''<sub>''Y''</sub>)
である。この定義は左 ''D''<sub>''X''</sub> 作用は[[連鎖律]]を使う方法で作用し、自然な右作用は ''f''<sup>&minus;1</sup>(''D''<sub>''Y''</sub>) で作用する。プルバックは
:''f''<sup>&lowast;</sup>(''M'') := ''D''<sub>''X''&rarr;''Y''</sub> &otimes;<sub>''f''<sup>&minus;1</sup>(''D''<sub>''Y''</sub>)</sub> ''f''<sup>&minus;1</sup>(''M'')
として定義される。''M'' が左 ''D''<sub>''Y''</sub>-加群であることに対し、そのプルバックは ''X'' 上の左加群である。この函手は[[右完全函手|右完全]]で、その左[[導来函手]]は L''f''<sup>∗</sup> で表される。逆に、右 ''D''<sub>''X''</sub>-加群 ''N'' に対し、
:''f''<sub>&lowast;</sub>(''N'') := ''f''<sub>&lowast;</sub>(''N'' &otimes;<sub>''D''<sub>''X''</sub></sub>  ''D''<sub>''X''&rarr;''Y''</sub>)
は右 ''D''<sub>''Y''</sub>-加群である。これは右完全テンソル積を左完全プッシュフォワードを混ぜ合わせるので、次のように設定を変えることができる。
:''f''<sub>&lowast;</sub>(''N'') := R''f''<sub>&lowast;</sub>(''N'' &otimes;<sup>L</sup><sub>''D''<sub>''X''</sub></sub>  ''D''<sub>''X''&rarr;''Y''</sub>).
これのために、''D''-加群の理論の多くが、[[ホモロジー代数]]、特に[[導来圏]]の全体を使って開発された。

==ホロノミック加群==
===ワイル代数上のホロノミック加群===
ワイル代数は（左と右の）[[ネーター環|ネター環]]であることを示すことができる。さらに、ワイル代数は[[単純環|単純]]である、つまり、両側の[[イデアル]]が[[イデアル|ゼロイデアル]]か、環全体である。これらの性質は、''D''-加群の研究をより管理しやすくする。幸い、[[ヒルベルト多項式]]や多重度や[[加群の長さ]]といった標準的な[[可換環|可換代数]]からの記法が ''D''-加群の上にある。さらに詳しくは、'''ベルンシュタインフィルトレーション'''(Bernstein filtration)は、''D''<sub>''X''</sub> が、（[[多重指数|多重指数記法]]を使い） |α|+|β| ≤ ''p'' であるような微分作用素 ''x''<sup>α</sup>∂<sup>β</sup> の ''K''-線型結合からなる{{仮リンク|フィルトレーション (代数)|label=フィルトレーション|en|filtration (algebra)}} ''F''<sup>''p''</sup>''A''<sub>''n''</sub>(''K'') である。付随する[[次数付き環]]は、2''n'' 個の変数の多項式環に同型であると見ることができる。特に、この環は可換である。

[[有限生成加群|有限生成]]な ''D''-加群 ''M'' は、いわゆる「良い」フィルトレーション ''F''<sup>∗</sup>''M'' を持ち、このフィルトレーションは ''F''<sup>∗</sup>''A''<sub>''n''</sub>(''K'') と整合性を持ち、[[アルティン・リースの補題]]の状況と本質的には平行である。ヒルベルト多項式は、大きな ''n'' に対する函数
:''n'' ↦ dim<sub>''K''</sub> ''F''<sup>''n''</sup>''M''
に一致する{{仮リンク|数値多項式|en|numerical polynomial}}と定義することができる。''A''<sub>''n''</sub>(''K'')-加群 ''M'' の次元 ''d''(''M'') は、ヒルベルト多項式の次数であると定義される。この次数は、'''ベルンシュタインの不等式'''
:''n'' &le; ''d''(''M'') &le; 2''n''.
により有界である。

次元が可能な限り最小な ''n'' である加群を'''ホロノミック'''と呼ぶ。

''A''<sub>1</sub>(''K'')-加群 ''M'' = ''A''<sub>1</sub>(''K'')/''A''<sub>1</sub>(''K'')''P'' （上記参照）は、任意の 0 でない微分作用素 ''P'' に対してホロノミックである。ただし、単純な高次元ワイル代数は成立しない。

===一般的定義===
上で述べたように、ワイル代数上の加群は、アフィン空間上の ''D''-加群に対応する。一般の多様体 ''X'' の ''D''<sub>''X''</sub> に対しては有効ではないベルンシュタインのフィルトレーションは、[[微分作用素|微分作用素の階数]]により定義される ''D''<sub>''X''</sub> 上の'''階数フィルトレーション'''(order filtration)のおかげで、定義を任意のアフィンで滑らかな多様体 ''X'' へと一般化する。付随する次数付き環 gr ''D''<sub>''X''</sub> は[[余接バンドル]] T<sup>∗</sup>''X'' 上の正則函数により与えられる。

'''{{仮リンク|特性多様体|en|characteristic variety}}'''(characteristic variety)は、再び ''M'' を (''D''<sub>''X''</sub>) の階数フィルトレーションに関して）適切なフィルトレーションを持っているとしたとき、gr ''M'' の[[零化域]]の[[イデアルの根基|根基]]により切り出される余接バンドルの部分多様体であると定義される。通常のように、アフィン構成は任意の多様体をつなぎ合わせる。

ベルンシュタインの不等式は、任意の（滑らかな）多様体 ''X'' に対して連続的に成り立つ。上界は、{{nowrap|gr ''D''<sub>''X''</sub>}} 上の余接バンドルの項での解釈の直接的な結果であることに対し、下界はより微妙な問題を含んでいる。

===性質と特徴付け===
ホロノミック加群は、有限次元ベクトル空間のような振る舞いをする傾向を持っている。たとえば、それらの長さは有限である。さらに、''M'' がホロノミックであることと、複体 L''i''<sup>∗</sup>(''M'') のすべてのコホモロジー群が、有限次元 ''K''-ベクトル空間であることは同値である。ここに ''i'' は ''X'' の任意の点の{{仮リンク|閉埋め込み|en|closed immersion}}である。

任意の ''D''-加群 ''M'' に対し、'''双対加群'''は、
:<math>\mathrm D(M) := \mathcal R \mathrm{Hom} (M, D_X) \otimes \Omega^{-1}_X [\operatorname{ dim} X]</math>
により定義される。ホロノミック加群も、[[ホモロジー代数|ホモロジー]]の条件により特徴付けることができる。''M'' がホロノミックであることと、D(''M'') が次数 0 で縮小できる（''D''-加群の導来圏内の対象で分かるように）。この事実は、{{仮リンク|ヴェルディエ双対|en|Verdier duality}}(Verdier duality)や{{仮リンク|リーマン・ヒルベルト対応|en|Riemann–Hilbert correspondence}}に最初に見ることができる。このことは、[[正則環]]のホモロジカルな研究（特に、[[大局次元]]）を拡張することにより、フィルター化された環 ''D''<sub>''X''</sub> へ拡張されることにより証明された。

他のホロノミック加群の特徴付けは、[[シンプレクティック幾何学]]を通してなされている。任意の ''D''-加群 ''M'' の特性多様体 Ch(''M'') は、''X'' の余接バンドル T<sup>∗</sup>''X'' としてみると、{{仮リンク|包合系|label=包合|en|involutive system}}多様体である。加群がホロノミックであることと、Ch(''M'') が[[シンプレクティック多様体#ラグランジアン部分多様体、あるいはその他の部分多様体|ラグラジアン部分多様体]]であることは同値である。

==応用==
初期のホロノミック ''D''-加群の応用は、{{仮リンク|ベルンシュタイン・佐藤の多項式|en|Bernstein–Sato polynomial}}であった。

===カズダン・ルースティック予想===
[[カジュダン-ルスティック多項式|カズダン・ルースティック予想]]は、''D''-加群を使い証明された。

===リーマン・ヒルベルト対応===
{{仮リンク|リーマン・ヒルベルト対応|en|Riemann–Hilbert correspondence}}は、ある ''D''-加群と構成層の間のリンクを確立した。これは、{{仮リンク|偏屈層|en|perverse sheaf}}を導入する動機をもたらした。

== 関連人物 ==
* [[望月拓郎]]

==参考文献==
{{参照方法|date=2015年4月}}
* {{Citation | last1=Beilinson | first1=A. A. | author1-link=Alexander Beilinson | last2=Bernstein | first2=Joseph | author2-link=Joseph Bernstein | title=Localisation de ''g''-modules | mr=610137 | year=1981 | journal=Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique | issn=0249-6291 | volume=292 | issue=1 | pages=15–18}}
* {{Citation | last1=Björk | first1=J.-E. | title=Rings of differential operators | publisher=North-Holland | location=Amsterdam | series=North-Holland Mathematical Library | isbn=978-0-444-85292-2 | mr=549189 | year=1979 | volume=21}}
* {{Citation | last1=Brylinski | first1=Jean-Luc | last2=Kashiwara | first2=Masaki | author2-link=Masaki Kashiwara | title=Kazhdan–Lusztig conjecture and holonomic systems | doi=10.1007/BF01389272 | mr=632980 | year=1981 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | issn=0020-9910 | volume=64 | issue=3 | pages=387–410}}
* {{Citation | last1=Coutinho | first1=S. C. | title=A primer of algebraic ''D''-modules | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=London Mathematical Society Student Texts | isbn=978-0-521-55119-9 | mr=1356713 | year=1995 | volume=33}}
* {{Citation | editor1-last=Borel | editor1-first=Armand | editor1-link=Armand Borel | title=Algebraic D-Modules | publisher=[[Academic Press]] | location=Boston, MA | series=Perspectives in Mathematics | isbn=978-0-12-117740-9 | year=1987 | volume=2}}
*{{SpringerEOM|title=D-module|author=M.G.M. van Doorn|urlname=D-module}}
* {{Citation | last1=Hotta | first1=Ryoshi | last2=Takeuchi | first2=Kiyoshi | last3=Tanisaki | first3=Toshiyuki | title=''D''-modules, perverse sheaves, and representation theory | url=http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/grad_2009/Hotta.pdf | publisher=Birkhäuser Boston | location=Boston, MA | series=Progress in Mathematics | isbn=978-0-8176-4363-8 | mr=2357361 | year=2008 | volume=236}}

== 脚注 ==
<references/>

==外部リンク==
* {{Citation | last1=Bernstein | first1=Joseph | author1-link=Joseph Bernstein | title=Algebraic theory of ''D''-modules | url=http://www.math.columbia.edu/~khovanov/resources/Bernstein-dmod.pdf }}
* {{Citation | last1=Gaitsgory | first1=Dennis | title=Lectures on Geometric Representation Theory | url=http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/267y/catO.pdf}}
* {{Citation | last1=Milicic | first1=Dragan | title=Lectures on the Algebraic Theory of ''D''-Modules | url=http://www.math.utah.edu/~milicic/}}

{{DEFAULTSORT:Dていいかくん}}
[[Category:代数解析]]
[[Category:偏微分方程式]]
[[Category:層の理論]]
[[Category:数学に関する記事]]