DSダイアグラムのソースを表示

{{混同|Data structure ダイアグラム|x1=データ構造の関係を示す線図|link1=データ構造図}}

'''DSダイアグラム'''（DS-diagram）{{Refnest |group="注" |’DS’は’Dehn-Seifert’<ref>{{cite journal |author=Ishii, I., Ishikawa, M., Koda, Y. et al. |title=Positive flow-spines and contact 3-manifolds |journal=Annali di Matematica |date=2023 |doi=10.1007/s10231-023-01314-1}}</ref>又は’developed shape’の略とされる<ref name="MY1987">{{cite journal|和書|author=山下正勝 |date=1987-12 |url=https://hdl.handle.net/2433/100121 |title=DS-diagram と Heegaard diagram(低次元トポロジーの諸問題と最近の成果) |journal=数理解析研究所講究録 |volume=636 |pages=91-107 |hdl=2433/100121 |CRID=1050001335635897856 |ISSN=1880-2818 |publisher=京都大学数理解析研究所}}</ref>。}}は、[[数学]]における[[3次元多様体]]の表現方法の一つ。3次元多様体<math>M</math>を一個の多面体（3次元球体<math>B^3</math>の境界<math>S^2</math>）の面同士を貼合せたものとして表現するとき、その貼合せ写像の特異点（分岐点）を球面上の3-[[正則グラフ]]として表現したものである<ref>{{Cite journal |author=Ikeda, Hiroshi; Yoshinobu, Inoue |date=1985-12 |url=http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=87i:57010&return=pdf |format=PDF |title=Invitation to DS-diagrams |journal=[http://www.math.kobe-u.ac.jp/jmsj/kjm/ Kobe journal of mathematics] |ISSN=02899051 |publisher=神戸大学 |volume=2 |pages=169-186 |CRID=1571980077480491648}}</ref>。

DSダイアグラムは、曲面（コンパクトな2次元多様体）をその辺同士の貼合せとして表示する[[曲面#基本多角形|基本多角形]]の3次元的なアナロジーとなっている。基本多角形が記号列によって内容を一意に表現可能であるのと同様に、DSダイアグラムにおいてもEサイクルに注目することによって記号列で表現することが可能である。

== 定義 ==
===Simple polyhedron===
2次元の有限多面体<math>P</math>は、その任意の点に以下の<math>X</math>の開部分集合に同相な近傍が有るならば、'''simple polyhedron'''<ref name="SM2005">{{cite book
|author=Matveev S.
|title= Algorithmic topology and classification of 3-manifolds, Algorithms and Computation in Mathematics, 9.
|publisher=Springer-Verlag, Berlin
|date=2003
}}</ref><ref name="RB2006">{{cite book
  |title=Branched Standard Spines of 3-manifolds
  |author=Benedetti, R. and Petronio, C.
  |series=Lecture Notes in Mathematics
  |date=2006
  |publisher=Springer Berlin Heidelberg
  |isbn=9783540683452
  |lccn=97007250
}}</ref>（又はclosed fake surface<ref>{{cite journal |author=H. Ikeda |title=Acyclic fake surfaces, Topology 10 (1971) 9–36|url=https://doi.org/10.18910/3551}}</ref>）と呼ばれる。

<math>
\begin{align}
X \equiv &\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 | z=0 \} \\
&\cup \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 | y=0, z\ge 0 \} \\
&\cup \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 | x=0, z\le 0 \}
\end{align}
</math>

<math>\{(t,0,0) \in X | \exists t\in\mathbb{R}\}</math>及び<math>\{(0,t,0) \in X | \exists t\in\mathbb{R}\}</math>に対応する<math>P</math>の点（特異点）の集合を<math>S(P)</math>により表す。その中で、特に<math>(0,0,0) \in X</math>に対応する<math>P</math>の点（頂点）の集合を<math>V(P)(\subseteq S(P))</math>により表す。
<!-- 屡々更に強くP − S(P ) の各連結成分が開円板に同相であることを仮定する場合がある{{Refnest |group="注" |この条件を満たすPはspecial polyhedronと呼ばれる<ref name="SM2005"/>。}} -->

<math>V(P)</math>を頂点とする<math>S(P)</math>は、自然に4-[[正則グラフ]]と看做せる。

simple polyhedronは、貼り合せにより3次元多様体を定義するような多面体を、その多様体内において局所的にどう見えるかにより特徴付けたものとなっている。

=== DSダイアグラム ===
<math>G</math>を<math>S^2</math>に埋め込まれた3-[[正則グラフ]]とする（特に頂点が無く辺しか存在しないものも認める）。
あるsimple polyhedron <math>P</math>が存在して、以下の意味で局所的な[[同相]]写像<math>f: S^2 \rightarrow P</math>が存在するとき、<math>(G, f, P)</math>を'''DSダイアグラム'''という。
ここで<math>V(G)</math>は<math>G</math>の頂点の集合を表す。

#<math>f^{-1}(S(P))=G</math>
#<math>f^{-1}(V(P))=V(G)</math>
#<math>|f^{-1}(x)|=
\begin{cases}
4 & x \in V(P) \\
3 & x \in S(P)-V(P) \\
2 & x \in P-S(P) \\
\end{cases}</math>

DSダイアグラム<math>(G, f, P)</math>に対して、<math>f: S^2 \rightarrow P</math>を、その定義域の<math>S^2</math>を境界とする<math>B^3</math>に自然に拡張することで、一つの3次元多様体<math>B^3/f</math>が対応する{{Refnest |group="注"
|対応する多様体が<math>G, f</math>に依らないことは、それぞれ3-正則グラフの球面への埋め込みに関するWhitneyの定理<ref>{{Cite journal
| author=H. Whitney
| title=2-Isomorphic Graphs.
| journal=American Journal of Mathematics
| volume=55(1)
| pages=245–254
| year=1933
| doi=10.2307/2371127}}</ref>と、[[:en:Alexander's_trick|Alexanderのtrick]]による。}}。特に向き付け可能な多様体が対応する場合、その向きを通常、<math>P, S^2</math>に誘導する向きと整合するように定める。

=== Eサイクル ===
DSダイアグラム<math>(G, f, P)</math>に対し、<math>e</math>を<math>G</math>の[[閉路 |サイクル]]、<math>\Sigma_+, \Sigma_-</math>を<math>S^2-e</math>の2つの連結成分とする。<math>e</math>は以下を満たすとき'''Eサイクル'''（E-cycle）と呼ばれる{{Refnest |group="注" |’E’はequatorに因む。}}<ref>{{Cite journal |author=IKEDA, H. |year=1986 |url=http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=88f:57017&return=pdf |format=PDF |title=DS-diagrams with E-cycle |journal=[http://www.math.kobe-u.ac.jp/jmsj/kjm/ Kobe J. Math.] |volume=3 |pages=103-112 |CRID=1571980075208942592}}</ref>。

#<math>|e \cap f^{-1}(x)|=
\begin{cases}
2 & x \in V(P) \\
1 & x \in S(P)-V(P) \\
\end{cases}</math>
#<math>f|_{\Sigma_+}, f|_{\Sigma_-}</math>はそれぞれ全単射

Eサイクル<math>e</math>が存在し具体的に指定されたDSダイアグラムを、Eサイクル付DSダイアグラム（DS-diagram with an E-cycle）と呼び、<math>(G, f, P; e)</math>等と表す。

=== Eデータ ===

<math>f</math>により<math>P</math>の同じ頂点に写されるEサイクル上の2頂点は、そのEサイクル外の第三の辺が伸びている領域が<math>\Sigma_+, \Sigma_-</math>のいづれかに応じて<math>v^+, v^-</math>と書いてこれを区別することとする。Eサイクルのこの+/-を付した頂点の（円）順列を<math>\Delta =(G,f,P;e)</math>のarrangementと呼び、<math>\mathcal{A}(\Delta)</math>と表す。

更に貼り合せにより生じる多様体が向き付け可能な場合、Eサイクル上の頂点と辺の向きの関係は下図の(l), (r)の2通りに限定されるため、これを頂点に対する型（type）と看做してそれぞれl型、r型と呼び、<math>v^{\pm r}, v^{\pm l}</math>と書いてこれを区別することとする。

[[File:L-type vertex in e-data of 3-manifolds.svg|frameless]]
[[File:R-type vertex in e-data of 3-manifolds.svg|frameless]]

向き付け可能な多様体に対応するEサイクル付DSダイアグラムは、arrangementとtypeにより一意に決まる。そこでarrangement <math>\mathcal{A}(\Delta)</math>と<math>\phi: V(P) \rightarrow \{l,r\}</math>の組を<math>\Delta</math>の'''Eデータ'''（E-data又はE-datum）と定義し、<math>\mathcal{E}(\Delta)</math>と表す。

== 例 ==
* Fig. 1は頂点がなく辺のみを有するグラフ<math>G</math>に対するDSダイアグラムで、(a)は<math>S^2 \times S^1</math>を、(b)は中身の詰まった[[クラインの壺]]（solid Klein bottle）と<math>S^1</math>の直積を表す。
<!-- * Fig. のDSダイアグラムEデータは<math></math>でこれは[[レンズ空間]]<math>L(,)</math>を表す。 -->
* Fig. 2のDSダイアグラムのEデータは<math>a^{+r}c^{-r}b^{+r}d^{-r}c^{+r}e^{-r}d^{+r}a^{-r}e^{+r}b^{-r}</math>で、これは[[ホモロジー球面|ポアンカレ球面]]を表す<ref>{{Cite web| title=Poincaré's homology sphere | url=http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Poincaré's_homology_sphere |accessdate=2024-12-31}}</ref>。
 {| class="wikitable"
 |+  align="bottom" style="caption-side: bottom" | Fig.1. グラフ<math>G</math>が辺Aの3つのコピーのみから成るDSダイアグラム
 |<!--Col1-->[[File:A DS-diagram without vertices.png|frameless|center]]
 |<!--Col2-->[[ファイル:Solid Klein bottle cross S1.svg|frameless|center]]
 |-
 |<!--Col1-->(a) 他の2辺の間にある辺の向きが他の2つと逆で、<math>S^2 \times S^1</math>を表す。
 |<!--Col2-->(b) 最も内側の辺Aの向きが他の2つと逆で、中身の詰まった[[クラインの壺]]と<math>S^1</math>との積を表す。
 |}

[[File:Ds-diagram of poincare homology sphere.png|thumb|Fig.2. [[ホモロジー球面|ポアンカレ球面]]を表すDSダイアグラムの例。緑色の道がEサイクルを表す。]]

== 関連概念 ==
=== 3次元多様体のブロック数 ===
Eサイクル付DSダイアグラム<math>\Delta</math>のarrangementにおいて、連続する+符号の頂点の部分列で、その両端は-符号の頂点に接しているものを正ブロック（positive block）と呼ぶ。<math>\Delta</math>の異なる全ての正ブロックの個数を<math>\Delta</math>の'''ブロック数'''（block number）と呼び、<math>bl(\Delta)</math>により表す。

同じ多様体を表す全てのEサイクル付DSダイアグラム<math>\Delta</math>のブロック数<math>bl(\Delta)</math>の内、最小のものをその'''多様体のブロック数'''<math>Bl(M)</math>と定義する。即ち<math>M(\Delta)</math>により<math>\Delta</math>に対応する3次元多様体を表すとき

<math>Bl(M) \equiv \min_{M(\Delta)=M} bl(\Delta)</math>

ブロック数は明らかに多様体の[[位相的性質|位相不変量]]であり、更に<math>S^3</math>を除いてHeegaard種数に一致することが知られている<ref>{{Cite journal |author=Yuya, Koda |year=2007-05 |url=https://doi.org/10.1007/s00229-007-0097-z |title=Branched spines and Heegaard genus of 3-manifolds |journal=manuscripta mathematica |ISSN=0025-2611 |publisher=Springer Science and Business Media LLC |volume=123 |issue=3 |pages=285-299 |doi=10.1007/s00229-007-0097-z |CRID=1360292618894334208}}</ref>。
<!--
===Heegaard分解===
閉3次元多様体Mの種数gの{{日本語版にない記事リンク|Heegaard分解|en|Heegaard splitting}}<math>M=U \cup_f U'</math>において、[[ハンドル体]]<math>U, U'</math>のそれぞれのcomplete meridian systemを<math>\{D_1, D_2, ..., D_g\}, \{D'_1, D'_2, ..., D'_g\}</math>とし、<math>\{D_1, D_2, ..., D_g\}</math>により<math>U</math>を切り開いたときに、分岐する<math>D_i</math>を<math>D_{i+}, D_{i-}</math>と書くとする。
このとき<math>P \equiv \partial U \cup \bigcup D_i \cup \bigcup D'_i</math>はsimple polyhedronであり、<math>G \equiv \{\partial D_{1\pm}, \partial D_{2\pm}, ..., \partial D_{g\pm}\}</math>は3-正則グラフとなる。

simple polyhedron <math>P</math>が閉3次元多様体<math>M</math>内に存在し、且つ<math>M-P</math>がいくつかの球体からなる場合、<math>P</math>は特異[[三角形分割]]の[[双対]]となる<ref>{{cite book |title=State sum invariants of 3-manifolds and quantum 6j-symbols |author=V.G.Turaev, O.Y.Viro |journal=Topology |date=1991}}</ref>。
-->
== 脚注 ==
=== 注釈 ===
{{Refs |group="注" |2}}
=== 出典 ===
{{reflist |2}}

== 参考文献 ==
* {{Cite journal|author=ENDOH, Mariko; ISHII, Ippei |year=2005 |url=https://doi.org/10.4099/math1924.31.131 |title=A new complexity for 3-manifolds |journal=Japanese journal of mathematics. New series |ISSN=02892316 |publisher=日本数学会 |volume=31 |issue=1 |pages=131-156 |doi=10.4099/math1924.31.131 |CRID=1390282680235459584}}
<!-- <ref name="ME2005"/> -->

== 外部リンク ==
* [http://hakone-seminar.com 箱根セミナー]
* https://math.cs.kitami-it.ac.jp/~kouno/DS-diagram/

{{DEFAULTSORT:ていえすたいあくらむ}}
[[Category:数学]]
[[Category:幾何学]]
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[[Category:位相空間の性質]]
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[[Category:数学に関する記事]]