Ext関手のソースを表示

{{要改訳}}
数学では、[[ホモロジー代数]]の '''Ext関手'''(Ext functors)は、[[Hom関手]]の[[導来関手]]であり、[[Tor関手]]と同様、[[ホモロジー代数学]]の中心概念である。ホモロジー代数学では、[[代数的トポロジー]]のアイデアが[[代数的構造]]の[[不変量]]を定義するのに使われている。[[群のコホモロジー]]や[[リー環]]、[[結合多元環]]はすべてExtの言葉で定義できる。Extという名称は、最初のExt群Ext<sup>1</sup>により[[環上の加群|加群]]の[[本質拡大|拡大]]が分類できることから来ている。
Ext関手は、最初[[代数幾何学]]で使われ、その後は数学の多くの分野で共通して使われている。名称の "Ext" は、[[関手]]と[[アーベル圏]]での拡大(Extension)との関係からきている。
<!--In [[mathematics]], the '''Ext functors''' of [[homological algebra]] are [[derived functor]]s of [[Hom functor]]s. They were first used in [[algebraic topology]], but are common in many areas of mathematics. The name "Ext" comes from the connection between the [[functor]]s and extensions in abelian categories.-->

== 定義と計算 ==
''R'' を[[環 (数学)|環]]とし、Mod<sub>''R''</sub> を ''R'' の上の[[環上の加群|加群]]の[[圏 (数学)|圏]]とする。''B'' を Mod<sub>''R''</sub> の対象とし、Mod<sub>''R''</sub> の固定した対象 ''A'' に対し ''T''(''B'') = Hom<sub>''R''</sub>(''A'',''B'') とする。これは[[完全関手|左完全関手]]であるので、右[[導来関手]] ''R<sup>n</sup>T'' を持っている。Ext関手は、

:<math>\operatorname{Ext}_R^n(A,B)=(R^nT)(B)</math>

により定義される。これは[[入射分解]]<ref>injectiveは、「単射的」「移入的」とも呼ばれる。</ref>

:<math>0 \rightarrow B \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \dots </math>

を適当にとり、

:<math>0 \rightarrow \operatorname{Hom}_R(A,I^0) \rightarrow \operatorname{Hom}_R(A,I^1) \rightarrow \dots.</math>

を計算することにより得ることができる。従って、(''R''<sup>''n''</sup>''T'')(''B'') はこの複体の[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]である。Hom<sub>''R''</sub>(''A'',''B'') は複体から除外されることに注意する。

もうひとつの別な定義は、関手 ''G''(''A'')=Hom<sub>''R''</sub>(''A'',''B'') を使って定義される。固定された加群 ''B'' に対し、これは[[反変関手|反変]]な[[完全関手|左完全関手]]であり、よって、右[[導来関手]] ''R<sup>n</sup>G'' を持ち、

:<math>\operatorname{Ext}_R^n(A,B)=(R^nG)(A)</math>

を定義することができる。

Ext関手は、適当な[[射影分解]]

:<math>\dots \rightarrow P^1 \rightarrow P^0 \rightarrow A \rightarrow 0, </math>

を選択し、双対な計算

:<math>0\rightarrow\operatorname{Hom}_R(P^0,B)\rightarrow  \operatorname{Hom}_R(P^1,B) \rightarrow \dots</math>

を実行することによっても得られる。このとき、(''R<sup>n</sup>G'')(''A'') はこの複体のホモロジーである。再び、Hom<sub>''R''</sub>(''A'',''B'') が複体から除外されることに注意する。

これらの 2つの構成は、[[同型]]となることが分かり、よって両方とも Ext関手の計算に使うことができる。

== 加群の拡大 == <!-- "Extension of modules" redirects here -->

===拡大の同値性===
Ext関手の命名は、加群の拡大(extension)との関係で命名された。''R''-加群 ''A'' と ''B'' が与えられると、''A'' の ''B'' による'''拡大'''は、R-加群の[[完全系列#短完全列|短完全系列]]

:<math>0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow0</math>

である。2つの拡大

:<math>0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow0</math>
:<math>0\rightarrow B\rightarrow E^\prime\rightarrow A\rightarrow0</math>

は、次の[[可換図式]]が存在するときに、（''A'' の ''B'' による拡大として）'''同値'''であるという。

[[Image:EquivalenceOfExtensions.png]].

[[5項補題]]により、真ん中の縦の矢印は同型である。''A'' の ''B'' による拡大が、'''自明な拡大'''

:<math>0\rightarrow B\rightarrow A\oplus B\rightarrow A\rightarrow0</math>

と同値であれば、'''分裂'''(split)といわれる。

''A'' の ''B'' による拡大

:<math>0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0</math>

の[[同値類]]と、

:<math>\operatorname{Ext}_R^1(A,B)</math>

の元との間には、全単射な対応がある。
<!--===Equivalence of extensions===
Ext functors derive their name from the relationship to extensions of modules. Given ''R''-modules ''A'' and ''B'', an '''extension of ''A'' by ''B''''' is a [[short exact sequence]] of ''R''-modules

:<math>0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow0.</math>

Two extensions

:<math>0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow0</math>
:<math>0\rightarrow B\rightarrow E^\prime\rightarrow A\rightarrow0</math>

are said to be '''equivalent''' (as extensions of ''A'' by ''B'') if there is a [[commutative diagram]]

[[Image:EquivalenceOfExtensions.png]].

Note that the [[Five Lemma]] implies that the middle arrow is an isomorphism. An extension of ''A'' by ''B'' is called '''split''' if it is equivalent to the '''trivial extension'''

:<math>0\rightarrow B\rightarrow A\oplus B\rightarrow A\rightarrow0.</math>

There is a bijective correspondence between [[equivalence class]]es of extensions 

:<math>0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0</math>

of ''A'' by ''B'' and elements of

:<math>\operatorname{Ext}_R^1(A,B).</math>-->

===拡大のベール和===
2つの拡大

:<math>0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0</math>
:<math>0\rightarrow B\rightarrow E^\prime\rightarrow A\rightarrow 0</math>

が与えられると、'''ベール和'''(Baer sum)と呼ばれる <math>A</math> からの[[引き戻し (圏論)|引き戻し]](pullback)

<math>\Gamma = \left\{ (e, e') \in E \oplus E' \; | \; g(e) = g'(e')\right\}.</math>

が得られる。

関係式 <math>(f(b)+e, e') \sim (e, f'(b)+e')</math> を与えることと同じであるが、商

<math>Y = \Gamma / \{(f(b), 0) - (0, f'(b))\;|\;b \in B\}</math>,

をとると、拡大

:<math>0\rightarrow B\rightarrow Y\rightarrow A\rightarrow 0</math>

が得られる。ここに第一の → は <math>b \mapsto [(f(b), 0)] = [(0, f'(b))]</math> で、第二の → は <math>(e, e') \mapsto g(e) = g'(e')</math> であるので、E と E' の拡大のベール和と呼ばれる和が得られる。

拡大による同値類を同一視すると、ベール和は可換であり、自明な拡大を恒等元として持っている。拡大 0 → B → E → A → 0 は、射 g を -g に置き換えること反対の eg であり、真ん中の矢の逆にした拡大と同じである。

拡大の同値類を同一視した集合は[[アーベル群]]であり、関手 <math>Ext^1_R(A, B)</math> を実現している。
<!--===The Baer sum of extensions===
Given two extensions

:<math>0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0</math>
:<math>0\rightarrow B\rightarrow E^\prime\rightarrow A\rightarrow 0</math>

we can construct the '''Baer sum''', by forming the [[Pullback (category theory)|pullback]] over <math>A</math>,

<math>\Gamma = \left\{ (e, e') \in E \oplus E' \; | \; g(e) = g'(e')\right\}.</math>

We form the quotient

<math>Y = \Gamma / \{(f(b), 0) - (0, f'(b))\;|\;b \in B\}</math>,

that is, we [[mod out]] by the relation <math>(f(b)+e, e') \sim (e, f'(b)+e')</math>. The extension

:<math>0\rightarrow B\rightarrow Y\rightarrow A\rightarrow 0</math>

where the first arrow is <math>b \mapsto [(f(b), 0)] = [(0, f'(b))]</math> and the second <math>(e, e') \mapsto g(e) = g'(e')</math> thus formed is called the Baer sum of the extensions ''E'' and ''E'''. 

[[Up to]] equivalence of extensions, the Baer sum is commutative and has the trivial extension as identity element. The extension 0 → ''B'' → ''E'' → ''A'' → 0 has for opposite the same extension with exactly one of the central arrows turned to their opposite ''eg'' the morphism ''g'' is replaced by ''-g''. 

The set of extensions up to equivalence is an [[abelian group]] that is a realization of the functor Ext{{su|b=''R''|p=1}}(''A'', ''B'')-->

== アーベル圏の中でのExtの構成 ==
ベール和の見方は、Ext{{su|b='''Ab'''|p=1}}(A, B) の定義を、[[射影加群]]や[[入射加群]]といった観点なしでも、[[アーベル圏]]（圏が射影加群や入射加群をもたない加群であっても）上で Ext関手を定義することが可能となる。単純に、Ext{{su|b='''Ab'''|p=1}}(A, B) を B による A の拡大の同値類の集合とすると、ベール和の下のアーベル群が形成される。同様に、高次 Ext群 Ext{{su|b='''Ab'''|p=n}}(A, B) も '''n-拡大の同値類'''として定義することができる。ここで n-拡大とは完全列

:<math>0\rightarrow B\rightarrow X_n\rightarrow\cdots\rightarrow X_1\rightarrow A\rightarrow0</math>

であり、[[同値関係]]は、すべての m ∈ {1, 2, ..., n} に対し写像 X<sub>m</sub> → X'<sub>m</sub> が存在して[[可換図式]]となるような、つまり[[鎖複体|鎖写像]](chain map) <math>X:\xi\rightarrow\xi</math>' が存在するような2本の完全列
:<math>\xi: 0\rightarrow B\rightarrow X_n\rightarrow\cdots\rightarrow X_1\rightarrow A\rightarrow0</math>
:<math>\xi': 0\rightarrow B\rightarrow X'_n\rightarrow\cdots\rightarrow X'_1\rightarrow A\rightarrow0</math>
の同一視から生成される。
<!--== Construction of Ext in abelian categories ==
The above identification enables us to define Ext{{su|b='''Ab'''|p=1}}(''A'', ''B'') even for [[abelian categories]] '''Ab''' without reference to [[Projective module|projectives]] and [[Injective module|injectives]] (even if the category has no projectives or injectives). We simply take Ext{{su|b='''Ab'''|p=1}}(''A'', ''B'') to be the set of equivalence classes of extensions of ''A'' by ''B'', forming an abelian group under the Baer sum. Similarly, we can define higher Ext groups Ext{{su|b='''Ab'''|p=''n''}}(''A'', ''B'') as equivalence classes of ''n-extensions'', which are exact sequences

:<math>0\rightarrow B\rightarrow X_n\rightarrow\cdots\rightarrow X_1\rightarrow A\rightarrow0</math>

under the [[equivalence relation]] generated by the relation that identifies two extensions 

:<math>\xi: 0\rightarrow B\rightarrow X_n\rightarrow\cdots\rightarrow X_1\rightarrow A\rightarrow0</math>
:<math>\xi': 0\rightarrow B\rightarrow X'_n\rightarrow\cdots\rightarrow X'_1\rightarrow A\rightarrow0</math>

if there are maps ''X<sub>m</sub>'' → ''X′<sub>m</sub>'' for all ''m'' in {1, 2, ..., ''n''} so that every resulting [[Commutative diagram|square commutes]], i.e. if there is a [[chain map]] ''X:<math>\xi</math>→<math>\xi</math>'''.-->

上記の 2つの n-拡大のベール和は、X{{su|b=1|p=′′}} を A 上のX<sub>1</sub> と X{{su|b=1|p=′}} の[[引き戻し (圏論)|引き戻し]](pullback)、'X{{su|b=n|p=′′}} をX<sub>n</sub> と X{{su|b=n|p=′}} の B の下の{{仮リンク|押し出し (圏論)|label=押し出し|en|Pushout (category theory)}}(pushout) として得られる。Weibel, §3.4 を参照。従って、拡大のベール和は、

:<math>0\rightarrow B\rightarrow X''_n\rightarrow X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\rightarrow\cdots\rightarrow X_2\oplus X'_2\rightarrow X''_1\rightarrow A\rightarrow0</math>
として定義される。
<!--The Baer sum of the two ''n''-extensions above is formed by letting ''X{{su|b=1|p=′′}}'' be the [[Pullback (category theory)|pullback]] of ''X<sub>1</sub>'' and ''X{{su|b=1|p=′}}'' over ''A'', and ''X{{su|b=n|p=′′}}'' be the [[Pushout (category theory)|pushout]] of ''X<sub>n</sub>'' and ''X{{su|b=n|p=′}}'' under ''B'' quotiented by the skew diagonal copy of B; see Weibel, §3.4. Then we define the Baer sum of the extensions to be

:<math>0\rightarrow B\rightarrow X''_n\rightarrow X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\rightarrow\cdots\rightarrow X_2\oplus X'_2\rightarrow X''_1\rightarrow A\rightarrow0.</math>-->

== Ext関手の性質（追加） ==
Ext関手は、計算に有益な便利な性質をいくつか持っている。

* B が[[入射加群]]であるか、または、A が[[射影加群]]であれば、i > 0 に対して、Ext{{su|b=R|p=i}}(A, B) = 0 である。

* 逆も成立する。すべての A に対して Ext{{su|b=R|p=1}}(A, B) = 0 であれば、すべての A に対し Ext{{su|b=R|p=i}}(A, B) = 0 で、かつ B は入射的である。すべての B に対し Ext{{su|b=R|p=1}}(A, B) = 0 であれば、すべての B に対し Ext{{su|b=R|p=i}}(A, B) = 0 でかつ A は射影的である。

* <math>\operatorname{Ext}^n_R \left (\bigoplus_\alpha A_\alpha,B \right )\cong\prod_\alpha\operatorname{Ext}^n_R(A_\alpha,B)</math>

* <math>\operatorname{Ext}^n_R \left (A,\prod_\beta B_\beta \right )\cong\prod_\beta\operatorname{Ext}^n_R(A,B_\beta)</math>
<!--== Further properties of Ext ==
The Ext functor exhibits some convenient properties, useful in computations.

* Ext{{su|b=''R''|p=''i''}}(''A'', ''B'') = 0 for ''i'' > 0 
if either ''B'' is [[injective module|injective]] or ''A'' [[projective module|projective]].

* A converse also holds: if Ext{{su|b=''R''|p=1}}(''A'', ''B'') = 0 for all ''A'', then Ext{{su|b=''R''|p=''i''}}(''A'', ''B'') = 0 for all ''A'', and ''B'' is injective; if Ext{{su|b=''R''|p=1}}(''A'', ''B'') = 0 for all ''B'', then Ext{{su|b=''R''|p=''i''}}(''A'', ''B'') = 0 for all ''B'', and ''A'' is projective.

* <math>\operatorname{Ext}^n_R \left (\bigoplus_\alpha A_\alpha,B \right )\cong\prod_\alpha\operatorname{Ext}^n_R(A_\alpha,B)</math>

* <math>\operatorname{Ext}^n_R \left (A,\prod_\beta B_\beta \right )\cong\prod_\beta\operatorname{Ext}^n_R(A,B_\beta)</math>-->

== 特別なExt上の環構造と加群構造 ==
Ext関手を理解するもう一つの非常に有用な方法は以下の通りである: Ext{{su|b=R|p=n}}(A, B) = 0 の要素を、A の[[射影分解]] P<sub>*</sub> に対し、写像 f: P<sub>n</sub> → B の同値類と考えると、B で終わる長完全系列 Q<sub>*</sub> を得て、次数 -n の[[鎖複体#チェイン写像とテンソル積|鎖写像]] f<sub>*</sub>: P<sub>*</sub> → Q<sub>*</sub> へ、加群 P<sub>m</sub> の射影性を使い写像 f を持ち上げる(lift)ことができる。そのような鎖写像の[[鎖複体#チェインホモトピー|ホモトピー類]]は、正確に上記の Ext関手の定義の同値類に対応することが分かる。

たとえば[[環 (数学)|環]] R が体 k や、k-[[体上の多元環|代数]](algebra)の上の[[群環]]のような、十分に良い条件下では、Ext{{su|b=R|p=*}}(k, k) に環の構造を入れることができる。積は同値な非常に多くの解釈を持ち、この解釈は Ext{{su|b=R|p=*}}(k, k) の元の様々な解釈に対応している。

ひとつの解釈として、鎖写像のこれらのホモトピー類の項として解釈がある。従って、2つの元の積は、対応する表現の成分により表現される。すると、k の分解をひとつ選ぶだけで、すべての計算が Hom<sub>R</sub>(P<sub>*</sub>,P<sub>*</sub>) の中でできるようになり、これがまさに Ext<sub>R</sub>(k,k) をコホモロジーとしてもつ微分次数付き環である。

Ext群もまた、完全系列のことばで解釈することができる。このことは、射影加群や入射加群の存在に依存しないという優位性を持っている。従って、上記の観点では、Ext{{su|b=R|p=n}}(A, B) は、ある同値関係の下で、B で始まり、A で終わる長さ n + 2 の完全系列のクラスとなる。従って、これは ... → X<sub>1</sub> → A → 0 と 0 → A → Y<sub>n</sub> → ... を

:<math>\cdots \rightarrow X_1\rightarrow Y_n\rightarrow \cdots </math>

で置き換えることにより、Ext{{su|b=R|p=m}}(C, A) の元とつなぎ合わされる。ここの中の矢印は、函数 X<sub>1</sub> → A と A → Y<sub>n</sub> の合成である。積は'''米田接合積'''と呼ばれる。

これらの観点は、双方で意味を持つ場合は常に同値となる。

同様の解釈の下で、充分に良い条件下では、再び、Ext{{su|b=R|p=*}}(k, M) は Ext{{su|b=R|p=*}}(k, k) 上の[[環上の加群|加群]]である。

== 興味深い例 ==
<math>\mathbb{Z}[G]</math> を[[群 (数学)|群]] G の[[群環]]とすると、<math>\text{Ext}_{\mathbb{Z}[G]}^*(\mathbb{Z}, M)</math> は、M に係数を持つ[[群コホモロジー]] <math>H^*(G, M)</math> である。

p 個の元を持つ有限体 '''F'''<sub>p</sub> に対し、<math>H^*(G, M) = \text{Ext}_{\mathbb{F}_p[G]}^*(\mathbb{F}_p, M)</math> であり、群コホモロジーは選ばれた基礎となる環には依存しない。

A が k-[[体上の多元環|代数]]とすると、<math>\text{Ext}^*_{A \otimes_k A^{op}}(A, M)</math> は、A-双加群に係数を持つ{{仮リンク|ホッホシルトコホモロジー|en|Hochschild cohomology}}<math>HH^*(A, M)</math> である。

R が可換環 k 上の[[リー代数]] <math>\mathfrak g</math> の[[普遍包絡代数]]であれば、<math>\text{Ext}_R^*(k, M)</math> は加群 M に係数を持つ{{仮リンク|リー代数コホモロジー|en|Lie algebra cohomology}} <math>\operatorname{H}^*(\mathfrak g,M)</math> である。
<!--== Interesting examples ==
If '''Z'''[''G''] is the [[group ring|integral group ring]] for a [[Group (mathematics)|group]] ''G'', then Ext{{su|b='''Z'''[''G'']|p=*}}('''Z''', ''M'') is the [[group cohomology]] H*(''G,M'') with coefficients in ''M''.

For '''F'''<sub>''p''</sub> the finite field on ''p'' elements, we also have that H*(''G,M'') = Ext{{su|b='''F'''<sub>''p''</sub>[''G'']|p=*}}('''F'''<sub>''p''</sub>, ''M''), and it turns out that the group cohomology doesn't depend on the base ring chosen. 

If ''A'' is a ''k''-[[algebra over a field|algebra]], then Ext{{su|b=''A'' ⊗<sub>''k''</sub> ''A''<sup>op</sup>|p=*}}(''A'', ''M'') is the [[Hochschild cohomology]] HH*(''A,M'') with coefficients in the ''A''-bimodule ''M''.

If ''R'' is chosen to be the [[universal enveloping algebra]] for a [[Lie algebra]] <math>\mathfrak g</math> over a commutative ring ''k'', then Ext{{su|b=''R''|p=*}}(''k'', ''M'') is the [[Lie algebra cohomology]] <math>\operatorname{H}^*(\mathfrak g,M)</math> with coefficients in the module ''M''.-->

== 脚注 ==
{{reflist}}

==参照項目==
* [[Tor関手]]
* [[グロタンディーク群]]
* [[普遍係数定理#コホモロジーに対する普遍係数定理|コホモロジーの普遍係数定理]]

==参考文献==
* {{Citation | last1=Gelfand | first1=Sergei I. | last2=Manin | first2=Yuri Ivanovich | author2-link=Yuri Ivanovich Manin | title=Homological algebra | isbn=978-3-540-65378-3 | year=1999 | publisher=Springer | location=Berlin}}
* {{Weibel IHA}}

{{DEFAULTSORT:えくすとかんしゆ}}
[[Category:ホモロジー代数]]
[[Category:二項演算]]
[[Category:数学に関する記事]]