Fσ集合のソースを表示

{{DISPLAYTITLE:F<sub>σ</sub>集合}}
[[数学]]の一分野である[[位相空間論]]における '''F<sub>σ</sub>-集合'''とは、[[位相空間]]の[[部分集合]]で、[[閉集合]]の[[可算]][[合併 (集合論)|和]]に書けるようなものを言う。由来としては、F が[[閉集合|閉（集合）]]を意味するフランス語の ''[[:en:wikt:fermé#French|fermé]]'' から、σ が[[合併 (集合論)|合併]]を意味するフランス語の ''[[wikt:somme#French|somme]]'' からそれぞれとられている。

== 性質 ==
F<sub>σ</sub>-集合の[[補集合]]は [[Gδ集合|G<sub>&delta;</sub>-集合]]である。

可算個の F<sub>σ</sub>-集合の合併はまた F<sub>σ</sub>-集合であり、'''有限'''個の F<sub>σ</sub>-集合の交わりはふたたび F<sub>σ</sub>-集合を成す（F<sub>σ</sub>-集合の可算交叉は F<sub>&sigma;&delta;</sub>-集合という）。

== 例と反例 ==
* 任意の閉集合は明らかに F<sub>σ</sub>-集合である。
* 有理数全体の成す集合 '''Q''' は実数全体の成す集合 '''R''' の F<sub>σ</sub>-集合である。無理数全体の成す集合 '''P''' = '''R''' &#x2216; '''Q''' は '''R''' の F<sub>σ</sub>-集合ではない。
* チホノフ空間において、一点集合 {''x''} は閉集合となるから、任意の高々可算な集合は F<sub>σ</sub>-集合になる。
* [[距離化可能空間]]においては、任意の[[開集合]]が F<sub>σ</sub>-集合になり、また任意の[[閉集合]]が G<sub>δ</sub>-集合になる。

[[座標平面]] '''R'''<sup>2</sup> 上の点 (''x'', ''y'') で ''x''/''y'' が[[有理数]]となるようなもの全体の成す集合 ''A'' は F<sub>σ</sub>-集合である。これは ''A'' が原点を通り、[[傾き (数学)|傾き]]が有理数であるような[[直線]]の和
:<math> A = \bigcup_{r \in \mathbb{Q}} \{(ry,y) \mid y \in \mathbb{R}\}</math>
として書けることによる。ここで有理数全体の成す集合 '''Q''' が可算集合であることに注意。

== 参考文献 ==
* [[John L. Kelley]], ''General topology'', [[Van Nostrand Reinhold|van Nostrand]], 1955.
* {{Cite book | last1=Steen | first1=Lynn Arthur | author1-link=Lynn Arthur Steen | last2=Seebach | first2=J. Arthur Jr. | author2-link=J. Arthur Seebach, Jr. | title=[[Counterexamples in Topology]] | origyear=1978 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=[[Dover Publications|Dover]] reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 | mr=507446  | year=1995 }} 

== 関連項目 ==
* [[Gδ集合|G<sub>δ</sub>-集合]]
* [[ボレル階層]]

{{DEFAULTSORT:Fσしゆうこう}}
[[Category:位相空間論]]
[[Category:記述集合論]]
[[Category:数学に関する記事]]