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'''FK理論'''（エフケーりろん、「FK」はFrank-Kamenetskiiの略）とは[[1939年]]に Frank Kamenetskii（[[:en:David A. Frank-Kamenetskii]]）が考案した[[物質]]の[[発火]]に関する[[理論]]である。

物質が[[自然発火]]を起こす[[条件]]を[[計算]]する Frank-Kamenetskii の発火理論、あるいは、[[粉塵爆発]]の発生条件を計算する熱爆発理論として用いられている。

[[化学合成]]の安全においては[[反応]]過程で発火、熱爆発、暴走反応などが起こらないよう[[計算]]するために用いられる理論であり、[[化学実験]]の[[安全管理者|安全管理]]のためには重要な概念である。

[[工業]][[設備]]などで発火[[事故]]が起こる[[リスク]]を計算したり、粉塵爆発が起こる[[危険]]性を評価するために用いられる。

==問題の説明<ref>Frank-Kamenetskii, David Albertovich. Diffusion and heat exchange in chemical kinetics. Princeton University Press, 2015.</ref><ref>Linan, Amable, and Forman Arthur Williams. "Fundamental aspects of combustion." (1993).</ref><ref>Williams, Forman A. "Combustion theory." (1985).</ref><ref>Buckmaster, John David, and Geoffrey Stuart Stephen Ludford. Theory of laminar flames. Cambridge University Press, 1982.</ref><ref>Buckmaster, John D., ed. The mathematics of combustion. Society for Industrial and Applied Mathematics, 1985.</ref>==
一定の温度が維持されている空間<math>T_o</math>を仮定した場合, 
均質な反応混合物を含有する。 容器の特徴的な大きさを<math>a</math>とする。 
混合物は均質であるので、密度<math>\rho</math> は一定である。 発火初期の間、反応物の濃度は無視できる（下記の<math>\text{fuel} + \text{oxidizer} \rightarrow \text{products} + q</math>を参照）、したがって爆発は[[アレニウスの式]]のみによって支配される。

:<math>\rho c_v \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \nabla^2 T + q \rho B Y_{Fo} e^{-E/(RT)}</math>

*<math>T</math>混合物の温度
*<math>c_v</math> 一定の[[熱容量]]
*<math>\lambda</math> [[熱伝導率]]
*<math>B</math> 時間の経過と共に1の次元を有する[[頻度因子]]
*<math>Y_{Fo}</math> 初期燃料の[[質量分率]]
*<math>E</math> [[活性化エネルギー]]
*<math>R</math> [[気体定数]]

===無次元化===
無次元活性化エネルギー<math>\beta</math>と放熱パラメータ<math>\gamma</math>は次のように示される。

:<math>\beta=\frac{E}{RT_o}, \quad \gamma = \frac{q Y_{Fo}}{c_v T_o}</math>

容器を伝わる特徴的な熱伝導時間は<math>t_c = \rho c_va^2/ \lambda </math>で表され、特徴的な燃焼時間は <math>t_f= \left(B e^{-\beta}\right)^{-1}</math>で表され、特徴的な爆発/着火時間は<math>t_e = \left(\beta\gamma B e^{-\beta}\right)^{-1}</math>で表される。 典型的な燃焼プロセスにおいて<math>\gamma\sim 6{-}8,\ \beta\sim 30{-}100</math>は<math>\beta\gamma\gg 1</math>、したがって <math>t_f = \beta\gamma t_e \gg 1</math>, i.e.であることに注意すべきであり、本質的に無視できる程度であり、燃料濃度が初期燃料濃度と同じであると仮定される理由である<math>Y_{Fo}</math>無次元のスケールは以下の式で表される。

:<math>\tau = \frac{t}{t_e}, \quad \theta = \frac{\beta(T-T_o)}{T_o}, \quad \eta^j = \frac{r^j} a, \quad \delta = \frac{t_c}{t_e}</math>

ここで<math>\delta</math>は[[ダムケラー数]]<math>r</math>と平面スラブの中心<math>j=0</math>を原点とする空間座標を表す, 球形の容器では<math>j=1</math>となり 
円筒形の容器では<math>j=2</math>となる。このスケールで方程式は次のようになる。

:<math>\frac{\partial\theta}{\partial \tau} = \frac 1 {\delta}\frac 1 {\eta^j} \frac{\partial}{\partial \eta} \left(\eta^j \frac{\partial \theta}{\partial \eta}\right) + e^{\theta/(1+\theta/\beta)}</math>

Since <math>\beta\gg 1</math>,指数項を線形化すると<math>e^{\theta/(1+\theta/\beta)}\approx e^\theta</math>となる。

:<math>\frac{\partial\theta}{\partial \tau} = \frac 1 \delta \frac 1 {\eta^j} \frac \partial {\partial \eta} \left(\eta^j \frac{\partial \theta}{\partial \eta}\right) + e^\theta</math>

==リファレンス==
<references />

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{{DEFAULTSORT:FKりろん}}
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[[Category:爆発]]
[[Category:理論]]