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{{DISPLAYTITLE:G<sub>δ</sub>集合}}
[[数学]]の一分野である[[位相空間論]]における '''G<sub>δ</sub>-集合'''あるいは内極限集合 (''inner limiting set'') とは、[[位相空間]]の部分集合で開集合の[[可算]][[共通部分 (数学)|交叉]]となっているものを言う。

由来については、''G'' というのが[[開集合]]を意味するドイツ語の ''[[:en:wikt:Gebiet#German|Gebiet]]'' から、δ というのが[[共通部分 (数学)|交わり]]を意味するドイツ語の ''[[:en:wikt:Durchschnitt#German|Durchschnitt]]'' からそれぞれとられたものである。

G<sub>δ</sub>-集合（およびその双対である[[Fσ集合|F<sub>&sigma;</sub>-集合]]）は、[[ボレル階層]]において二階 (second level) の集合であり、より正確には G<sub>δ</sub>-集合の全体はちょうど '''&Pi;'''{{su|p=0|b=2}}-階集合である。

== 例と反例 ==
* 任意の開集合は明らかに G<sub>δ</sub>-集合である。
* [[無理数]]の全体 '''P''' は[[実数直線]] '''R''' の G<sub>δ</sub>-集合である。実際 '''P''' は、''q'' が任意の有理数を亙るときの一点集合 {''q''} の '''R''' における補集合すべての交わりとして表せる。
* [[有理数]]の全体 '''Q''' は実数直線 '''R''' の G<sub>δ</sub>-集合'''ではない'''。実際、'''Q''' が開集合列 ''A''<sub>''n''</sub> の交わりに書けるとすると、各 ''A''<sub>''n''</sub> は（'''Q''' が '''R''' において稠密ゆえ）何れも '''R''' において[[稠密集合|稠密]]でなければならないが、上でやったように無理数全体の集合 '''P''' は稠密開集合の可算交叉として書けるから、'''P''' と '''Q''' との交わりをとれば '''R''' の稠密開集合の可算交叉が[[空集合]]となるものが存在することとなり、[[ベールの範疇定理]]に反する。
* '''R''' 上の至る所微分可能な実数値函数の導函数の零点集合は G<sub>δ</sub>-集合である。この零点集合が内部が空な稠密集合となることは、{{仮リンク|ポンペイウ微分|en|Pompeiu derivative#Pompeiu's construction|label=ポンペイウの構成法}}から示される。

より複雑な G<sub>δ</sub>-集合の例は、次の定理から得られる。

; 定理: 集合 ''D'' を区間 {{math|[0,1]}} 上で定義された、各点で微分不可能な連続函数全体の成す集合とすると、''D'' は区間 {{math|[0,1]}} 上の連続函数の成す集合 {{math|''C''([0,1])}} において稠密で、距離空間としての {{math|''C''([0,1])}} の G<sub>δ</sub>-部分集合を含む<ref name="Negrepontis 1997">{{cite book |last1=Νεγρεπόντης |first1=Σ. |last2=Ζαχαριάδης |first2=Θ. |last3=Καλαμίδας |first3=Ν. |last4=Φαρμάκη |first4=Β. |title=Γενική Τοπολογία και Συναρτησιακη Ανάλυσγη |year=1997 |publisher=Εκδόσεις Συμμετρία |location=Αθήνα, Ελλάδα |isbn=960-266-178-X |pages=55–64 |url=http://www.simmetria.gr/eshop/?149,%CD%C5%C3%D1%C5%D0%CF%CD%D4%C7%D3-%D3.-%C6%C1%D7%C1%D1%C9%C1%C4%C7%D3-%C8.-%CA%C1%CB%C1%CC%C9%C4%C1%D3-%CD.-%D6%C1%D1%CC%C1%CA%C7-%C2.-%C3%E5%ED%E9%EA%DE-%D4%EF%F0%EF%EB%EF%E3%DF%E1-%EA%E1%E9-%D3%F5%ED%E1%F1%F4%E7%F3%E9%E1%EA%DE-%C1%ED%DC%EB%F5%F3%E7 |accessdate=3 April 2011 |language=Greek |chapter=2, Πλήρεις Μετρικοί Χώροι}}</ref>

== 性質 ==
[[距離空間]]（および[[位相空間]]）における G<sub>δ</sub>-集合の概念は、[[ベールの範疇定理]]と同様に距離空間の[[完備距離空間|完備性]]の概念と強く関係する。このことは、[[マズルキェヴィチの定理]]として述べられる。

; 定理 (Mazurkiewicz): (''X'', &rho;) を完備距離空間とするとき、部分集合 ''A'' &sub; ''X'' について次は同値である。
:# ''A'' が ''X'' の G<sub>δ</sub>-集合であること
:# ''A'' 上の[[距離函数]] &sigma; で &rho;|<sub>''A''</sub>（''X'' の距離函数 &rho; の ''A'' への制限）と（位相に関する意味で）同値であるようなものが存在して、(''A'', &sigma;) がふたたび完備距離空間となること

''G''<sub>&delta;</sub>-集合の重要な性質は、位相空間から距離空間への[[連続写像]]がその上で定義され得るということにある。厳密に言えば、そのような写像 ''f'' が連続となるような点全体の成す集合は <math>G_\delta</math>-集合を成すということである。これは、点 ''p'' における連続性というのが &Pi;{{su|p=0|b=2}}-式で定義されることによる。具体的に書けば、任意の正整数 ''n'' に対して ''p'' を含む開集合 ''U'' で任意の ''x'', ''y'' &isin; ''U'' について {{math|''d''(''x'', ''y'') &lt; 1/''n''}} を満たすようなものが取れるが、一旦 ''n'' の値を固定して対応する部分集合 ''U'' が取れるような点 ''p'' の全体を考えるとそれ自身が（開集合の和として）開集合であり、ここで ''n'' に対して[[普遍量化子]]を附すことは得られた開集合たちの可算交叉をとることに対応するから、所期の結論を得る。[[実数直線]]においてはこの逆も成り立つ：
: 実数直線の任意の G<sub>δ</sub>-部分集合 ''A'' に対し、適当な函数 ''f'': '''R''' → '''R''' が存在して、''f'' は ''A'' に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。
このことから、無理数全体の成す集合が連続点集合であるような函数は存在する（[[トマエ函数]]などを参照）が、有理数の上でのみ連続な函数というのは構成不可能であることが帰結される。

=== 基本的な性質 ===
* G<sub>δ</sub>-集合の[[補集合]]は[[Fσ集合|F<sub>σ</sub>]]-集合である。
* 可算個の G<sub>δ</sub>-集合の交わりはやはり G<sub>δ</sub>-集合である。また、'''有限'''個の G<sub>δ</sub>-集合の合併はふたたび G<sub>δ</sub>-集合となる（可算個の G<sub>δ</sub>-集合の合併は G<sub>δσ</sub>-集合と呼ばれる）。
* [[距離化可能空間]]において、任意の[[閉集合]]は G<sub>δ</sub>-集合であり、双対的に任意の開集合は F<sub>σ</sub>-集合になる。
* [[位相的完備]]な空間 ''X'' の[[部分位相空間|部分空間]] ''A'' がそれ自身位相的完備となる必要十分な条件は ''A'' が ''X'' の G<sub>δ</sub>-集合となることである。
* 稠密開集合の可算族の交わりを含むような集合は[[残留的集合|残留的]] (comeagre, residual) であるという。残留的集合は函数の成す位相空間の{{仮リンク|生成的性質|en|generic property}}を定義するのに用いられる。

以下は[[ポーランド空間]]に対するものである<ref name="Fremlin 2003">{{cite book|last=Fremlin|first=D.H.|title=Measure Theory, Volume 4|year=2003|publisher=Digital Books Logistics|location=Petersburg, England|isbn=0-9538129-4-4|pages=334–335|url=http://www.essex.ac.uk/maths/people/fremlin/mt.htm|accessdate=1 April 2011|chapter=4, General Topology}}</ref>:

* (''X'', ''T'') を[[ポーランド空間]]とし、部分集合 ''G'' &sub; ''X'' が（位相 ''T'' に関する）G<sub>δ</sub>-集合とすると、''G'' は[[相対位相]]に関してポーランド空間になる。
* ポーランド空間の位相的な特徴付け： ''X'' がポーランド空間ならば、''X'' はある[[コンパクト空間|コンパクト]][[距離空間]]の適当な G<sub>δ</sub>-部分集合に[[同相]]である。

== G<sub>δ</sub>-空間 ==
'''[[Gδ空間|''G''<sub>δ</sub>-空間]]'''は、その任意の[[閉集合]]が G<sub>δ</sub>-集合となるような位相空間を言う([http://www.jstor.org/stable/2317335 Johnson, 1970]){{Citation needed|date=August 2008}}。[[正規空間]]が G<sub>δ</sub>-空間でもあるとき、その空間は'''[[完全正規空間]]'''であるという。任意の距離化可能空間は完全正規であり、任意の完全正規空間は[[全部分正規空間|全部分正規]]である（いずれの含意も逆は成り立たない）。

== 関連項目 ==
* [[Fσ集合|F<sub>σ</sub>-集合]]

== 参考文献 ==
* [[John L. Kelley]], ''General topology'', [[Van Nostrand Reinhold|van Nostrand]], 1955.  P.134.
* {{Cite book | last1=Steen | first1=Lynn Arthur | author1-link=Lynn Arthur Steen | last2=Seebach | first2=J. Arthur Jr. | author2-link=J. Arthur Seebach, Jr. | title=[[Counterexamples in Topology]] | origyear=1978 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=[[Dover Publications|Dover]] reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 | mr=507446  | year=1995 | postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}}}  P. 162.
* {{Cite book | last=Fremlin | first=D.H. | title=Measure Theory, Volume 4 | origyear=2003 | publisher=Digital Books Logostics | location=Petersburg, England | isbn=0-9538129-4-4  | year=2003 | url=http://www.essex.ac.uk/maths/people/fremlin/mt.htm|accessdate=1 April 2011|chapter=4, General Topology | postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}}}  P. 334.
* Roy A. Johnson (1970). "A Compact Non-Metrizable Space Such That Every Closed Subset is a G-Delta". ''The American Mathematical Monthly'', Vol. 77, No. 2, pp.&nbsp;172–176. [http://www.jstor.org/stable/2317335 on JStor]

== 注記 ==
<references />

{{DEFAULTSORT:Gδしゆうこう}}
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[[Category:記述集合論]]
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