GNS表現のソースを表示

[[作用素代数]]や[[数理物理学]]において、'''GNS表現'''（GNSひょうげん、{{lang-en-short|GNS representation}}）、または'''Gelfand-Naimark-Segal表現'''とは、[[C*-代数]]に対し、'''状態'''と呼ばれる正値[[線形汎関数]]が与えられたときに、[[ヒルベルト空間]]上の[[有界作用素]]による[[表現 (数学)|表現]]を構成する手法<ref name ="araki2009">H. Araki (2009), chapter.2</ref><ref name ="bratteli_robinson2002">O. Bratteli and D. W. Robinson (2002), chapter.2</ref>。GNSの名は、1940年代にGNS表現を導入した三人の数学者[[イズライル・ゲルファント|ゲルファント]]（Gelfand）、{{仮リンク|マーク・ナイマルク|label=ナイマルク|en|Mark Naimark}}（Naimark）、{{仮リンク|アービング・シーガル|label=シーガル|en|Irving Segal}}（Segal）<ref name ="gelfand_naimark1943">I. M. Gelfand and M. A. Naimark [http://mi.mathnet.ru/eng/msb6155 "On the imbedding of normed rings into the ring of operators on a Hilbert space,"] ''Mat. Sborn.'', ''N. S.'' '''12''',  pp.197–217 (1943). </ref><ref name ="segal1947"> I. E. Segal,  "Irreducible representations of operator algebras," ''Bull. Am. Math. Soc.'' '''53''', pp.73–88 (1947)  {{doi|10.1090/S0002-9904-1947-08742-5}} </ref>の頭文字に由来する。GNS表現では、'''巡回ベクトル'''と呼ばれる特別な元に有界作用素による表現を作用させることで、表現空間であるヒルベルト空間自体を生成することができるともに、状態に対する作用素の値は、巡回ベクトルとの内積による期待値として与えられる。このことから、作用素代数に基づく[[場の量子論]]や[[量子統計力学]]の代数的なアプローチでは、物理量である作用素のなす代数から理論を構築しても、GNS表現を用いることで、通常のヒルベルト空間論に基づく理論との対応づけが可能となる。

== 内容 ==
C*-代数<math>\mathfrak{A}</math>において、<math>\varphi :\mathfrak{A} \rightarrow \mathbb{C}</math>を'''状態'''（state）<ref group="注釈">状態という語は、量子力学また量子統計力学において、作用素として与えられる物理量に対し、[[量子状態|状態]]により期待値が与えられることに由来する。</ref>、すなわち、以下の性質を満たす、<math>\mathfrak{A}</math>から複素数体<math>\mathbb{C}</math>への規格化された正値線形汎関数とする。

(1) 線形性 <math> \varphi(\lambda A+ \mu B)=\lambda \varphi(A) +\mu  \varphi(B)
\quad {}^\forall A, B \in  \mathfrak{A}, \, {}^\forall  \lambda, \mu \in \mathbb{C} </math>

(2) 正値性 <math> \varphi(A^{\ast}A) \geq 0 \quad {}^\forall A \in  \mathfrak{A} </math>

(3) 規格化条件<ref group="注釈">規格化条件は、<math>\mathfrak{A}</math>が[[単位元]]<math>I_{\mathfrak{A}}</math>を持つなら、<math> \varphi(I_{\mathfrak{A}})=1 </math>と等価である。</ref> <math> ||\varphi||=\sup \{ |\varphi(A)| \, | \, ||A||=1, \, A \in \mathfrak{A} \}=1 </math>


このとき、<math>\mathfrak{A}</math>のヒルベルト空間<math>\mathcal{H}_{\varphi}</math>上の'''表現'''、すなわち、<math>\mathfrak{A}</math>から<math>\mathcal{H}_{\varphi}</math>の有界作用素のなす代数<math>\mathcal{B}(\mathcal{H}_{\varphi})</math>への*-[[準同型写像]]<ref group="注釈">準同型写像<math>\pi</math>は<math>\pi(A^{\ast})=\pi(A)^{\ast}</math>を満たす時、*-準同型写像と呼ばれる。</ref> <math>\pi_\varphi:\mathfrak{A} \rightarrow \mathcal{B}(\mathcal{H}_{\varphi})</math>で、次の条件を満たすものを構成することができる。この表現を'''GNS表現'''と呼ぶ。

1.　ある元<math>\Omega_\varphi \in \mathcal{H}_{\varphi}</math>が存在し、

:<math>
\varphi(A)=\lang \Omega_\varphi,\pi_\varphi(A)  \Omega_\varphi \rang
\quad {}^\forall A \in  \mathfrak{A}
</math>

を満たす。但し、<math>\lang \, , \, \rang</math>は<math>\mathcal{H}_{\varphi}</math>上の[[内積]]である。

2.　<math>\Omega_\varphi</math>は'''巡回ベクトル'''（cyclic vector）をなす。すなわち、

:<math>
\pi_\varphi(\mathfrak{A})\Omega_\varphi =\{ \pi_\varphi(A)\Omega_\varphi| \, A \in \mathfrak{A} \}
</math>

はノルムによる[[強位相]]について、<math>\mathcal{H}_{\varphi}</math>で[[稠密集合|稠密]]である。

なお、1.のように内積の形式で与えられる状態を'''ベクトル状態'''といい、2.のように巡回ベクトルをもつ表現を'''巡回表現'''という。

GNS表現により、状態<math>\varphi</math>から導入される組<math>(\mathcal{H}_{\varphi},\pi_\varphi,\Omega_\varphi)</math>を'''[[GNS構成法|GNS構成]]'''と呼ぶ。GNS構成は[[ユニタリ同値]]を[[違いを除いて|除いて]]、一意的である。したがって、<math>(\mathcal{H}_{\varphi},\pi_\varphi,\Omega_\varphi)</math>と<math>(\mathcal{H}'_{\varphi},\pi'_\varphi,\Omega'_\varphi)</math>がともにGNS構成であるとき、[[ユニタリ作用素]] <math>U: \mathcal{H}_{\varphi}\rightarrow \mathcal{H}'_{\varphi}</math>が存在し、

:<math>
\pi_{\varphi}(A) U = U \pi'_{\varphi}(A) \quad {}^\forall A \in  \mathfrak{A}
</math>

が成り立つ。

== 既約表現と純粋状態 ==
[[GNS構成法|GNS構成]]<math>(\mathcal{H}_{\varphi},\pi_\varphi,\Omega_\varphi)</math>において、巡回ベクトル<math>\Omega_\varphi</math>から表現空間の元<math>\pi_\varphi(A)\Omega_\varphi</math>が生成されることは、ちょうど[[場の量子論]]で[[フォック空間]]の元が[[真空状態|真空]]から生成されることに対応している。但し、フォック空間の場合には二つの[[状態ベクトル]]は[[生成消滅演算子]]の作用により互いに移りわたれるため、任意の元が巡回ベクトルとなる。こうした性質は、表現の既約性と関連する。表現が[[既約表現]]であるとは、[[不変部分空間]]が<math>\{0\}</math>と表現空間<math>\mathcal{H}</math>のみであるときのことをいう。C*-代数の表現が既約表現であるとき、表現空間のゼロベクトルを除く任意の元が巡回ベクトルとなる。

一方、状態の観点からは、既約表現となるGNS表現を導く状態は、'''純粋状態'''（pure state）<ref group="注釈">純粋状態という語は、量子論における[[量子状態]]の純粋状態、混合状態の概念に由来する。</ref>と呼ばれる特別な状態となる。状態<math>\varphi</math> が純粋状態であるとは、<math>\varphi</math>が異なる二つの状態<math>\varphi_1</math>、<math>\varphi_2</math>による[[凸結合]]<math>\varphi=\lambda\varphi_1+(1-\lambda) \varphi_2 \, (0<\lambda<1)</math>の形に書き表せないときのことをいう。

GNS構成<math>(\mathcal{H}_{\varphi},\pi_\varphi,\Omega_\varphi)</math>で、特に以下の3つの条件は同値となる。

1. <math>(\mathcal{H}_{\varphi},\pi_\varphi)</math>は既約表現である。

2. 状態<math>\varphi</math>は純粋状態である。

3. 状態<math>\varphi</math>は、<math>\mathfrak{A}</math>上の全ての状態のなす集合<math>E_\mathfrak{A}</math>で[[端点]](extreme point) である。

== 表現の構成方法 ==
GNS表現を構成する基本的なアイデアは、状態<math>\varphi</math>から内積を導入し、この内積から定まる[[ノルム]]についての[[完備化]]により、ヒルベルト空間を構成することである。<math>\varphi(A^{\ast}B)=\langle A, B \rangle </math>と定めると状態の線形性と正値性からは、<math>\langle , \rangle</math>は非退化条件 <math>\langle A, A \rangle =0 \Leftrightarrow A=0 </math>を除いて、内積の性質を満たす。ここで、部分集合<math>\mathfrak{N}= \{ A \in \mathfrak{A} | \, \varphi (A^\ast A)=0 \} </math>を考えると<math>\mathfrak{N}</math>は[[イデアル|左イデアル]]であり、[[同値類]]<math>\xi_A=A+\mathfrak{N}</math>による商空間<math>\mathfrak{A}/\mathfrak{N}</math>を考えることができる。このとき、<math>\langle  \xi_A, \xi_B \rangle=\langle A, B \rangle</math> は非退化条件を満たし、内積となる。この[[内積空間]]である<math>\mathfrak{A}/\mathfrak{N}</math>を完備化することでヒルベルト空間<math>\mathcal{H}_{\varphi}</math>が得られ、特に<math>\mathfrak{A}/\mathfrak{N}</math>は<math>\mathcal{H}_{\varphi}</math>で稠密である。ここで<math>\pi_\varphi</math>として、<math>\pi_\varphi(A)\xi_B=\xi_{AB}</math>で定義すると代表元<math>B</math>に依らず、[[well-defined]]な表現となる。議論を簡単にするため、<math>\mathfrak{A}</math>が単位元<math>I</math>を持つとすると、<math>\Omega_\varphi=\xi_{I}</math>で定義される元は、<math>\langle \Omega_\varphi,\pi_\varphi(A) \Omega_\varphi \rangle = \langle \xi_I, \xi_A \rangle=\omega(A)</math>を満たすともに、<math>\overline{\pi_\varphi(\mathfrak{A})\Omega_\varphi}=\overline{\mathfrak{A}/\mathfrak{N}}=\mathcal{H}_{\varphi}</math>であり、巡回ベクトルとなる。

== ゲルファント＝ナイマルクの定理 ==
{{main|ゲルファント＝ナイマルクの定理}}
GNS表現を応用することで、C*-代数の基本構造定理である「任意のC*-代数<math>\mathfrak{A}</math>はあるヒルベルト空間<math>\mathcal{H}</math>上の有界作用素のなす具体的なC*-代数<math>\mathcal{B}(\mathcal{H})</math>と等距離*-同型である」という'''ゲルファント＝ナイマルクの定理'''を導くことができる。<math>E_\mathfrak{A}</math>を状態全体からなる集合としたときに、GNS表現の族<math>\{(\mathcal{H}_{\varphi},\pi_\varphi)\}_{\varphi \in E_\mathfrak{A}}</math>から[[直和表現]]

:<math>\mathcal{H}=\bigoplus_{\varphi \in E_\mathfrak{A}}\mathcal{H}_{\varphi}, \,\, \pi=\bigoplus_{\varphi \in E_\mathfrak{A}}\pi_{\varphi}</math>

を構成すると、これは<math>||\pi(A)||=||A||</math>を満たす忠実な表現であり、<math>\mathfrak{A}</math>は<math>\mathcal{B}(\mathcal{H})</math>と等距離*-同型となる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* Huzihiro Araki, ''Mathematical Theory of Quantum Fields'', Oxford University Press (2009) ISBN 978-0199566402
* Ola Bratteli and Derek W. Robinson, ''Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1: C*- and W*-Algebras. Symmetry Groups. Decomposition of States'', Springer (2002) ISBN 978-3540170938

== 関連項目 ==
* [[C*-代数]]
* [[表現 (数学)]]

{{デフォルトソート:GNSひようけん}}
[[Category:作用素環論]]
[[Category:表現論]]
[[Category:場の量子論]]
[[Category:量子統計理論]]
[[Category:数学に関する記事]]