GRS80のソースを表示

{{測地学}}
'''Geodetic Reference System 1980'''（'''GRS80'''）は、[[測地学]]における[[地球]]の[[重力]]ポテンシャル・[[地球楕円体]]のモデルの一つである。GRS80は一つの幾何学定数と三つの物理定数を基本的に定義している。

GRS80準拠楕円体は現在世界の[[測地系]]で最もよく使われている。その[[長半径]]は 6 378 137&thinsp;m、[[扁平率]]は 1/298.257 222 101 である。<!--
[[測地系]]における「[[地球]]の形」の基準である[[準拠楕円体]] ([[:en:Reference ellipsoid|Reference ellipsoid]]) または[[地球楕円体]]の一つであり、現在世界中で最もよく使われているものである。-->

なお[[GPS]]で用いられる[[測地系]]である[[:en:WGS84|WGS84]]の準拠楕円体はこのGRS80の長半径に等しく、扁平率はほぼ等しい。<!--'''Geodetic Reference System 1980'''の略語である。-->

== 概要 ==
[[重力]]ポテンシャルの観点からの[[地球]]の正確な形は、[[平均海水面]]を大陸まで延長した仮想面によって表現される。これを[[ジオイド]]と呼ぶ。しかし、[[ジオイド]]を直接に[[測量#測地測量（基準点測量）|測地測量]]に用いると計算が極めて複雑になるため、通常はジオイドに最適に近似した[[回転楕円体]]を用いて地球の形を表現する。このような[[回転楕円体]]は[[地球楕円体]]と呼ばれるが、そのうちで個々の[[測地系]]が準拠すべき[[地球楕円体]]は[[準拠楕円体]] ([[:en:Reference ellipsoid|Reference ellipsoid]]) と呼ばれる。GRS80は、[[全地球的測地系]]を構成する[[準拠楕円体]]の一つであり、現在では世界的に最も広く使われているものである。

<!--[[地球楕円体]]や準拠楕円体は、その[[長半径]]（＝赤道半径）''a'' および[[扁平率]] ''f'' によって記述されるのが普通である。GRS80は、'''長半径 6 378 137m''' および'''[[扁平率]] 1/298.257 222 101''' で定義される。-->このシステムは、第17回[[国際測地学・地球物理学連合]] (IUGG) において採択された。これは、本質的に[[グローバル・ポジショニング・システム|GPS]]による測地位置の基礎であるばかりでなく、[[測地学]]コミュニティ以外においても広範に使用される<ref>{{Cite web|和書|url=https://www.gsi.go.jp/LAW/G2000-g2000faq-1.htm#qa1-11 |title=GRS80楕円体とは何か。 |work=世界測地系移行に関する質問集（Ｑ＆Ａ） |accessdate=2012-06-03 |publisher=国土地理院}}</ref>。

[[地図]]・[[海図]]の制作のために様々な国々で使われてきた数多くの他の準拠楕円体は、次第に世界的に共通のGRS80やWGS84を用いる[[全地球的測地系]]に移行しつつある。

=== 日本 ===
日本における測地系も、[[測量法]]と関係法令を改正することにより、2002年4月1日から、GRS80をその一部とする[[全地球的測地系]]に移行した。具体的には、[[測量法]]施行令第3条<ref>{{Cite web|和書|url=https://laws.e-gov.go.jp/law/324CO0000000322 |title=測量法施行令 |accessdate=2012-06-03 |work=e-Gov法令検索 |publisher=総務省行政管理局}}</ref>の改正によって法的に位置づけられた。

ただし、[[水路業務法]]の場合は、国際的な取り決めが異なるために、GRS80とはわずかに異なる[[:en:WGS84|WGS84]]を基にして、[[水路業務法]]施行令第2条第2号<ref>{{Cite web|和書|url=https://laws.e-gov.go.jp/law/413CO0000000433 |title=水路業務法施行令 |accessdate=2012-06-03 |work=e-Gov法令検索 |publisher=総務省行政管理局}}</ref>を改正している。<!--[[扁平率]]がわずかに異なる理由は、[[扁平率#地球の扁平率|地球の扁平率]]を参照のこと。-->

== GRS80の定義数値 ==
基準楕円体面は、[[長半径]]（赤道半径）<math>a</math>と、[[軌道短半径|短半径]]（極半径）<math>b</math> か[[アスペクト比]] <math>(b/a)</math> か[[扁平率]] <math>f</math> かのいずれかとで通常は定義される。

しかしGRS80は<!--例外である。完全な定義のために、''4つの''独立した定数が必要である。GRS80は-->、<math>a</math>、<math>GM</math>、<math>J_2</math> および <math>\omega</math> を基本的な定義数値として選んでいる。
; 定義する幾何学定数
: 長半径 = 赤道半径 = <math>a</math> = 6 378 137 m
; 定義する物理定数
: 空気塊を含む地心重力定数 (Geocentric gravitational constant, including mass of the atmosphere) <math>GM</math> = 3 986 005・10<sup>8</sup> m<sup>3</sup>/s<sup>2</sup>
: 力学的形状係数 (Dynamical form factor) <math>J_2</math> = 108 263・ 10<sup>-8</sup>
: 回転角速度 (Angular velocity of rotation) <math>\omega</math> = 7 292 115・10<sup>-11</sup> s<sup>-1</sup>
上記の定義値から各種の量が導出される。ただし[[扁平率]]<math>f</math>については、導出値の逆数を小数以下9桁に丸めて定義値の扱いとしてよいことになっている。
: <math>f</math> = 1/298.257 222 101

== GRS80の導出値 ==
=== 扁平率 <math>f</math>の導出 ===
GRS80の離心率を与える式は、
: <math>e^2  =  \frac {a^2 - b^2}{a^2} = 3J_2 + \frac4{15} \frac{\omega^2 a^3}{GM} \frac{e^3}{2q_0}</math>{{Sfn|Moritz|1980|pp=395,398}}
で与えられる。ここで、
: <math>2q_0 = \left(1 + \frac3{\left(e'\right)^2}\right) \arctan\left(e'\right) - \frac3{e'}</math> 
なお、 <math>e' = e/\sqrt{1 - e^2}</math> は第二離心率である。すると、
: <math>e^2 = 0.006\,694\,380\,022\,903\,415\,749\,574\,948\,586\,289\,306\,212\,443\,890\ldots</math>
<math>e^2 = f(2-f)</math> であるから
: <math>1/f = 298.257\,222\,100\,882\,711\,\ldots</math>
この値を小数点第9位まで丸めて
: '''<math>f = 1/298.257\,222\,101</math>'''
を地球楕円体GRS80の定義値として使用している。

なお、[[グローバル・ポジショニング・システム]]で使用される測地系は、[[:en:WGS84|WGS84]] (World Geodetic System 1984) と呼ばれる。WGS84楕円体では、計算方法の違いにより極めてわずかだが値が異なる。WGS84楕円体の扁平率は、
: '''<math>f = 1/298.257\,223\,563</math>'''
と定義されている。詳細は[[扁平率#地球の扁平率]]、[[地球楕円体#WGS84楕円体]]、[[測地系#WGS84]]を参照。
<!--
(扁平率の導出に関して2016年2月4日記述、以下検算してません　ノート参照）-->

=== その他の導出値 ===
<!--GRS 80は、[[赤道]]半径（＝[[長半径]]）と[[扁平率]]を次のように定義している。

赤道半径 a = 6 378 137m（正確に）

[[扁平率]]：<math>f=\frac{1}{298.257\ 222\ 101}</math>（正確に）
-->
[[楕円]]または[[回転楕円体]]の[[長半径]]を ''a''、[[軌道短半径|短半径]]を ''b'' とすると、[[扁平率]]は
:<math>f=\frac{a-b}{a}=1-\frac{b}{a}</math>
であるので、上記の定義から、

[[極半径]] b = 6 356 752.314 140 356mとなる。

また[[扁平率]]は、0.003 352 810 681 182 319である。

[[離心率]]の2乗 <math>e^2</math> = f(2-f) であるから、<math>e^2</math> = 0.006 694 380 022 900 788、

[[離心率]] e は、0.081 819 191 042 815 791となる。

[[扁平率#第三扁平率|第3扁平率]] n は（[[子午線弧#子午線弧長の計算|子午線弧長の計算]]に用いられる）、

<math>\quad n =\frac{a-b}{a+b}=\frac{f}{2-f}</math>

であり、n = 0.001 679 220 394 628 744 689 667である。
<!--
=== 扁平率の導出 ===
基準楕円体面は、[[長半径]]（赤道半径）<math>a</math>と、[[短半径]]（極半径）<math>b</math> か[[アスペクト比]] <math>(b/a)</math> か[[扁平率]] <math>f</math> かのいずれかとで通常は定義される。しかし、GRS80は例外である。完全な定義のために、''4つの''独立した定数が必要である。GRS80は、<math>a</math>、<math>GM</math>、<math>J_2</math> および <math>\omega</math> をそれらとして選ぶことにより、幾何学定数 <math>f</math> の量が導出される。
; 定義する[[幾何学]][[定数]]
: 長半径 = 赤道半径 = <math>a</math> = '''6 378 137''' m（正確に）
; 定義する物理定数
: 空気塊を含む地心重力定数 (Geocentric gravitational constant, including mass of the atmosphere) <math>GM</math> = 3 986 005・10<sup>8</sup> m<sup>3</sup>/s<sup>2</sup>
: 動的フォームファクタ (Dynamical form factor) <math>J_2</math> = 108 263・ 10<sup>-8</sup>
: 回転角速度 (Angular velocity of rotation) <math>\omega</math> = 7 292 115・10<sup>-11</sup> s<sup>-1</sup>
-->
; 導出された幾何学定数
: 扁平率 = <math>f</math> = 0.003 352 810 681 225
: 扁平率の逆数 = <math>1/f</math> = 298.257 222 101
: 短半径 = 極半径 = <math>b</math> = 6 356 752.314 14 m
: アスペクト比 = <math>b/a</math> = 0.996 647 189 318 816
: [[国際測地学・地球物理学連合]]が定義する平均半径 (Mean radius) R<sub>1</sub>= (2a+b)/3 =  6 371 008.7714 m
: 正積の平均半径 ([[:en:Earth radius#Mean radii|Authalic mean radius]]) = 6 371 007.1810 m
: 同じボリュームの球の半径 (Radius of a sphere of the same volume) = <math>(a^2b)^{1/3}</math> = 6 371 000.7900 m
: リニア偏心 (Linear eccentricity) = <math>(a^2-b^2)^{.5}</math> = 521 854.0097 m
: 両極を通る楕円断面の[[離心率]] (Eccentricity of elliptical section through poles) = <math>\sqrt{a^2-b^2}/a</math> = 0.081 819 191 0435;
: 極の[[曲率半径]] (Polar radius of curvature) = <math>a^2/b</math> = 6 399 593.6259 m
: 赤道上の子午線曲率半径 (Equatorial radius of curvature for a meridian) = <math>b^2/a</math> = 6 335 439.3271 m
: 子午線象限 (Meridian quadrant) = 赤道から極までの[[子午線弧]]長 = 10 001 965.7293 m;
<!--
;[[扁平率]] <math>f</math>
離心率は超越方程式の解となる<ref>p395, p398 of Bulletin Geodesique for 1980</ref>。
<math>e^2  =  \frac {(a^2 - b^2)}{a^2} = 0.00324789 + Z \left ( \frac {e^3}{(1 + \frac {3}{{e'}^2})(\arctan e') - \frac {3}{e'}} \right )</math>
: ここで、<math>Z = \frac {(6.378137)^3(2.835996862572)}{797201}</math>
<math>(e')^2</math> を <math>e^2/(1 - e^2)</math>、<math>\arctan (e')</math> を <math>\arcsin (e)</math><ref>[http://plug.thruhere.net/toys/bigcalculator/BigCalculator.html Jason Tiscione's Big Calculator]</ref> と置き換えると、<math>e^2</math> の丸めた値が出てくる。
: <math>e^2</math> = 0.006 694 380 022 903 415 749 574 948 586 289 306 212 443 890
そこから、<math>f</math> の丸めた値を逆数のように計算する。
: 298.257 222 100 882 711 243 162 8366
この値を、小数以下9桁に丸めた、'''1/f = 298.257 222 101''' が、定義値として用いられる。
-->

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
<references/>

== 参考文献 ==
* その他の派生物理定数および測地学の数式は、次を参照されたい。{{cite journal |last=Moritz |first=Helmut |authorlink=:de:Helmut Moritz |title=Geodetic Reference System 1980 |journal=Bulletin Géodésique |volume=54 |issue=3 |date=September 1980 |pages=395–405 |doi=10.1007/BF02521480 |ref=harv}} Republished (with corrections) in {{cite journal |last=Moritz |first=Helmut |authorlink=:de:Helmut Moritz |date=March 2000 |title=Geodetic Reference System 1980 |journal=Journal of Geodesy |volume=74 |issue=1 |pages=128–162 |doi=10.1007/S001900050278 |ref=harv}}

== 関連項目 ==
* [[全地球的測地系]]
* [[地球]]
* [[国土地理院]]

== 外部リンク ==
* [http://www.gfy.ku.dk/~iag/HB2000/part4/grs80_corr.htm GRS 80 Specification] {{en icon}}

{{Architecture-stub}}
{{DEFAULTSORT:しいああるえすはちしゆう}}
[[Category:測地学]]
[[Category:測量]]