Hom関手のソースを表示

[[圏論]]において、[[対象 (圏論)|対象]]の間の[[射 (圏論)|射]]の集合（{{Lang|en|hom-set}}ともいう）は、[[集合の圏]]への[[関手]]を構成する。この関手を'''Hom関手'''（ほむかんしゅ、{{Lang-en|Hom functor}}）と呼び、圏論や数学の他の分野で多くの応用を持つ。
==定義==
{{Mvar|C}} を{{仮リンク|局所的に小さな圏|en|locally small category}}、つまり、任意のhom-クラスが[[クラス (集合論)|真クラス]]ではなく[[集合]]である[[圏 (数学)|圏]]とする。{{Mvar|C}} の中のすべての対象 {{Mvar|A}} と {{Mvar|B}} に対し、次のように[[集合の圏]] {{Math|'''Set'''}} への関手を定義する。
{| class=wikitable
|-
!{{Math|Hom (''A'', _) : ''C'' → '''Set'''}}
!{{Math|Hom (_, ''B'') : ''C''<sup>op</sup> → '''Set'''}}
|-
|[[共変関手]] {{Math|Hom(''A'', _)}} は以下で与えられる：
*{{Math|Hom(''A'', _)}} は {{Mvar|C}} の各対象 {{Mvar|X}} を集合 {{Math|Hom(''A'', ''X'')}} へ写す。
*{{Math|Hom(''A'', _)}} は {{Mvar|C}} の各射 {{Math|''f'' : ''X'' → ''Y''}} を、<math>g \mapsto f\circ g</math> で定義される写像 {{Math|Hom(''A'', ''f'') : Hom(''A'', ''X'') → Hom(''A'', ''Y'')}} へ写す。
|[[反変関手]] {{Math|Hom(_, ''B'')}} は以下で与えられる：
*{{Math|Hom(_, ''B'')}} は {{Mvar|C}} の各対象 {{Mvar|X}} を集合 {{Math|Hom(''X'', ''B'')}} へ写す。
*{{Math|Hom(_, ''B'')}} は {{Mvar|C}} の各射 {{Math|''h'' : ''X'' → ''Y''}} を、<math>g \mapsto g\circ h</math> で定義される写像 {{Math|Hom(''h'', ''B'') : Hom(''Y'', ''B'') → Hom(''X'', ''B'')}} へ写す。
|}
関手 {{Math|Hom(_, ''B'')}} は、{{Mvar|B}} の'''{{仮リンク|点の関手|en|functor of points}}'''（{{Lang-en|functor of points}}）とも呼ばれる。関手のペア {{Math|Hom(''A'', _)}} と {{Math|Hom(_, ''B'')}} は[[自然変換|自然な]]方法で関係付けられる。任意の射のペア {{Math|''f'' : ''B'' → ''B' ''}}と {{Math|''h'' : ''A' ''→ ''A''}} に対して、次の図式が[[可換図式|可換]]となる。

[[File:hom functor.svg|center|320px]]

2つの経路は {{Math|''g'' : ''A'' → ''B''}} を {{Math|''f''∘''g''∘''h'' : ''A' ''→''B' ''}}に写す。

上の図式の可換性は、{{Math|Hom(_, _)}} が {{Math|''C'' × ''C''}} から {{Math|'''Set'''}} への、第1変数について反変で第2変数について共変である{{仮リンク|双関手|en|bifunctor}}であることを示している。すなわち、{{Math|Hom(_, _)}} は双関手<math display="block">\mathop{\mathrm{Hom}}(\_,\_):C^{\mathrm{op}}\times C\to\mathbf{Set}</math>である。{{Math|''C''<sup>op</sup>}} は {{Mvar|C}} の[[双対圏|逆圏]]である。関手が圏 {{Mvar|C}} からのものであることを強調するために、{{Math|Hom<sub>''C''</sub> (_, _)}} という記号が使われることもある。

==米田の補題==
{{Main|米田の補題}}
上の可換図式を見ると、すべての射 {{Math|''h'' : ''A' ''→ ''A''}} は[[自然変換]]<math display="block">\mathop{\mathrm{Hom}}(h,\_):\mathop{\mathrm{Hom}}(A,\_)\to\mathop{\mathrm{Hom}}(A',\_)</math>を与え、すべての射 {{Math|''f'' : ''B'' →''B' ''}}は自然変換<math display="block">\mathop{\mathrm{Hom}}(\_,f):\mathop{\mathrm{Hom}}(\_,B)\to\mathop{\mathrm{Hom}}(\_,B')</math>を与える。[[米田の補題]]は、Hom関手の間の'''すべての'''自然変換はこの形であると主張する。言い換えると、Hom関手は、圏 {{Mvar|C}} から[[関手圏]] {{Math|'''Set'''<sup>''C''<sup>op</sup></sup>}} への埋め込みとなる[[忠実充満関手|充満かつ忠実な関手]]を与える。

==内部Hom関手==
圏 {{Mvar|C}} 上の関手が、{{Math|'''Set'''}} ではなく圏 {{Mvar|C}} 自身に値を持ち、{{Math|Hom}} のような振る舞いをする関手を持っているかもしれない。そのような関手は'''内部Hom関手'''と呼ばれ、しばしば
:<math>\left[\_,\_\right] : C^{\mathrm{op}} \times C \to C</math>
と書かれたり、<math display="block">\mathord{\Rightarrow} : C^{\mathrm{op}} \times C \to C</math>と書かれたりする。あるいは、単に小文字のみで
:<math>\text{hom}(\_,\_) : C^{\text{op}} \times C \to C</math>
と書かれることもある。例としては[[:en:Category of relations]]などを参照。内部Hom関手を持つ圏は、{{仮リンク|閉圏|en|closed category}}と呼ばれる。



閉圏の[[モノイド圏|単位対象]]を {{Mvar|I}} とする。このとき、次の同型が成り立つ。<math display="block">\text{Hom}(I, \text{hom}(-, -)) \simeq \text{Hom}(-, -)</math>[[モノイド閉圏|閉モノイダル圏]]の場合には、これは[[カリー化]]の概念へ拡張される。すなわち、
:<math>\text{Hom}(X, Y \Rightarrow Z) \simeq \text{Hom}(X\otimes Y, Z)</math>

である。ここで <math>\otimes</math> は[[モノイド圏|モノイダル圏]]の定義によって与えられる'''内部積関手'''である。同型は {{Mvar|X}} と {{Mvar|Z}} の双方で自然である。言い換えると、閉モノイダル圏では、内部Hom関手は内部積関手の[[随伴関手]]である。対象 <math>Y \Rightarrow Z</math> を'''内部Hom'''と呼ぶ。<math>\otimes</math> が[[デカルト閉圏|デカルト積]] <math>\times</math> であるとき、対象 <math>Y \Rightarrow Z</math> を[[指数対象]]と呼び、<math>Z^Y</math> と書くこともある。

内部Homは、圏の{{仮リンク|内部言語|en|internal language}}と呼ばれる[[形式言語|言語]]を形成する。最も有名なものには、デカルト閉圏の内部言語である[[単純型付きラムダ計算]]や、[[閉モノイド圏|対称モノイダル閉圏]]の内部言語である{{仮リンク|線形型システム|en|linear type system}}がある。

==性質==

* 次の形の関手は[[前層]]である：<math display="block">\mathop{\mathrm{Hom}}(\_ ,A):C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}</math>同様に、{{Math|Hom(''A'', _)}} の形の関手は余前層である。

* 関手 {{Math|''F'' : ''C'' → '''Set'''}} がある {{Math|Hom(''A'', _)}} と[[自然変換|自然に同型]]であるとき、{{Mvar|F}} は[[表現可能関手]]であるという。同様に、{{Math|Hom(_, ''A'')}} に自然同型な関手は余表現可能と呼ばれることもある。

* 関手 {{Math|Hom(_, _) : ''C''<sup>op</sup> × ''C'' → '''Set'''}} は定義から{{日本語版にない記事リンク|プロファンクタ|en|Profunctor}}であり、特に恒等プロファンクタ <math>\text{id}_C \colon C\nrightarrow C</math> である。

* 内部hom関手は[[極限 (圏論)|極限]]を保存する。すなわち、{{Math|hom(''X'', _) : ''C'' → ''C''}} は極限を極限へ写し、同様に {{Math|hom(_, ''X'') : ''C''<sup>op</sup> → ''C''}} は {{Math|''C''<sup>op</sup>}} の極限（すなわち {{Mvar|C}} の余極限）を {{Mvar|C}} の極限に写す。ある意味では、このことは極限や余極限の定義として採用することもできる。

* {{Math|'''A'''}} をアーベル圏、{{Mvar|A}} を {{Math|'''A'''}} の対象とすると、{{Math|Hom<sub>'''A'''</sub> (''A'', _)}} は、{{Math|'''A'''}} から[[アーベル群]]の圏 {{Math|'''Ab'''}} への[[左完全関手|左完全]]共変関手である。この関手が[[完全関手|完全]]であることと、''A'' が[[射影加群#定義|射影的対象]]であることとは同値である<ref>Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.</ref>。

* {{Mvar|R}} を[[環 (数学)|環]]、{{Mvar|M}} を左 {{Mvar|R}}-[[環上の加群|加群]]とする。関手 {{Math|Hom<sub>''R''</sub> (''M'', _) : '''Mod'''-''R'' → '''Ab'''}} は、[[加群のテンソル積|テンソル積]]関手 {{Math|_ ⊗<sub>''R''</sub> ''M'' : '''Ab''' → '''Mod'''-''R''}} の[[随伴関手|右随伴関手]]である。

==関連項目==
* [[Ext関手]]
* [[関手圏]]
* [[表現可能関手]]

== 脚注 ==
<references/>

==参考文献==
* {{Cite book |first=Saunders |last=Mac Lane |authorlink=Saunders Mac Lane|title=Categories for the Working Mathematician | edition=Second |date=September 1998 |publisher=Springer |isbn=0-387-98403-8}}
* {{Cite book|first=Robert|last=Goldblatt|title=Topoi, the Categorial Analysis of Logic|url=http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Gold010&id=3|accessdate=2009-11-25|edition=Revised|year=2006|origyear=1984|publisher=[[Dover Publications]]|isbn=978-0-486-45026-1}}
* {{Cite book| last=Jacobson| first=Nathan| author-link=Nathan Jacobson| date=2009| title=Basic algebra| edition=2nd| volume = 2 | series= | publisher=Dover| isbn = 978-0-486-47187-7}}
== 外部リンク ==
* Hom functor at n-lab url=http://ncatlab.org/nlab/show/hom-functor
* Internal Hom at n-lab url=http://ncatlab.org/nlab/search?query=Internal+Hom

{{圏論}}

{{DEFAULTSORT:Homほむかんしゆ}}
[[Category:関手]]
[[Category:数学に関する記事]]