J-不変量のソースを表示

{{DISPLAYTITLE:''j''-不変量}}
[[Image:KleinInvariantJ.jpg|right|thumb|480px|複素平面内のクラインの ''j''-不変量]]
数学では[[複素解析|複素変数]]&nbsp;τ の函数である[[フェリックス・クライン]]の '''''j''-不変量''' (''j''-invariant)（もしくは'''''j''-函数'''）とは、複素数の[[上半平面]]上に定義された {{math|SL(2, '''Z''')}} のウェイト 0 の[[モジュラー形式|モジュラー函数]]である。{{mvar|j}}-不変量として、[[尖点]]で一位の極を持つ以外は正則な関数であり、次を満たすものが一意に定まる。
:<math>j\left(e^{\frac{2}{3}\pi i}\right) = 0, \quad j(i) = 1728</math>

{{mvar|j}}の有理函数はモジュラーであり、実際にすべてのモジュラー函数を与える。古典的には、{{mvar|j}}-不変量は {{math|'''C'''}} 上の[[楕円曲線]]のパラメータ化として研究されていたが、驚くべきことに、[[モンスター群]]の対称性との関係を持っている（この関係は[[モンストラス・ムーンシャイン]]と呼ばれる）。

==定義==
{{Further|楕円曲線|[[楕円曲線#複素数上の楕円曲線|複素数上の楕円曲線]]|モジュラー形式}}

''j''-不変量はある無限和（下記の ''g''<sub>2</sub>, ''g''<sub>3</sub> を参照）で純粋に定義することができるが、これらは楕円曲線の同型類を考えることが動機となる。'''C''' 上のすべての楕円曲線 ''E'' は複素トーラスであるので、ランク 2 の格子、つまり '''C''' の 2 次元格子と同一視できる。格子の互いに平行な反対側の辺を同一視することで、そのようにみなすことができる。複素数を格子に掛けることは格子の回転やスケーリングに対応し、これらは楕円曲線の同型類を保存することがわかり、このことから、格子を 1 と[[上半平面]] '''H''' のある元 τ によって生成されると考えてよい。逆に、

:<math>g_2  = 60\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-4},</math>
:<math>g_3 = 140\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-6},</math>

と定義すると、この格子は[[ヴァイエルシュトラスの楕円函数]]を通して、y<sup>2</sup> = 4x<sup>3</sup> − g<sub>2</sub>x - g<sub>3</sub> で定義された '''C''' 上の楕円曲線に対応する。このとき、''j''-不変量は、
:<math>j(\tau) = 1728\,\frac{g_2^3}{\Delta}</math>
と定義される。ここに'''モジュラー判別式'''(modular discriminant) Δ は
:<math>\Delta = g_2^3 - 27g_3^2</math>
である。

Δ はウェイト 12 の[[モジュラー形式]]であることと、''g''<sub>2</sub> はウェイト 4 のモジュラー形式であるのでその3乗はウェイト 12 であることを示すことができる。したがって、 ''j'' がこれらの商であることから ''j''  はウェイト 0 のモジュラ函数であり、特に、SL(2, '''Z''') の作用の下に不変な有理型函数 '''H''' → '''C''' である。以下に説明するように ''j'' は全射であり、このことは '''C''' 上の楕円曲線の同型類と複素数の間の全単射を与えることを意味する。

==基本領域==
[[Image:ModularGroup-FundamentalDomain.svg|thumb|480px|上半平面上に作用するモジュラ群の基本領域]]

2つの変換 τ → τ + 1 と τ → -τ<sup>−1</sup> は[[モジュラ群]]と呼ばれる[[群 (数学)|群]]を生成し、この群は[[射影線型群|射影特殊線型群]] PSL(2, '''Z''') と同一視できる。この群に属する適当な変換
:<math> \tau \mapsto \frac{a\tau + b}{c\tau +d}, \qquad ad-bc =1,</math>
を選択することにより、τ を j の{{仮リンク|基本領域|en|fundamental region}}(fundamental region)内にあり ''j'' に対して同じ値をとる、ある値に帰着させることができる。基本領域は次の条件を満たす τ から構成されている。

:<math>\begin{align}
        |\tau| &\ge 1 \\
  -\tfrac{1}{2} &< \mathfrak{R}(\tau) \le \tfrac{1}{2} \\
  -\tfrac{1}{2} &< \mathfrak{R}(\tau) < 0 \Rightarrow |\tau| > 1
\end{align}.</math>

函数 ''j'' (τ) をこの領域へ制限すると、複素数 '''C''' のすべての値をちょうど一度だけ取る。言い換えると、'''C''' すべての元 ''c'' に対し、''c'' = ''j''(&tau;) となる基本領域の元 τ が一意に存在する。このように、''j'' は基本領域を全複素平面へ写像するという性質を持っている。

リーマン面として、基本領域の種数は 0 であり、すべての（レベル 1 の）モジュラー函数は ''j'' の[[有理函数]]であり、逆に、''j'' のすべての有理函数はモジュラー函数である。言い換えると、モジュラー函数全体のなす体は '''C'''(''j'') である。

== 類体論と ''j''-不変量 ==
''j''-不変量は、多くの注目すべき性質を有する。

*τ が[[虚数乗法]]である、すなわち、虚数部が正である虚[[二次体]]の任意の元である（従って、j-不変量が定義される）ならば、''j''(τ) は[[代数的整数]]である<ref>{{cite book | first=Joseph H. | last=Silverman | authorlink=:en:Joseph H. Silverman | title=The Arithmetic of Elliptic Curves | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | publisher=[[Springer-Verlag]] | volume=106 | year=1986 | isbn=0-387-96203-4 | zbl=0585.14026 | page=339 }}</ref>。

* 体の拡大 {{math|'''Q'''[j (τ), τ]/'''Q'''(τ)}} はアーベル的、すなわち、[[ガロア群]]がアーベル的になる。

* Λ を {1, τ} で生成される '''C''' の中の格子とすると、乗法の下に Λ を固定する '''Q'''(τ) のすべての元が、{{仮リンク|整環|en|order (ring theory)}}(order)と呼ばれる環の単位元(unit)を形成することが容易にわかる。同様に、同じ整環の生成子 {1, τ′} を持つ格子は、'''Q'''(τ) 上で ''j'' (τ) の[[代数的数#共役数|代数的共役]]である ''j'' (τ') を定義する。包含関係に従い、'''Q'''(τ) の唯一の最大整環は、'''Q'''(τ) の代数的整数の環であり、その環を持つ τ の値は、'''Q'''(τ) の[[分岐 (数学)#不分岐|不分岐拡大]]を導く。

これらの古典的な結果は、[[虚数乗法]]論の出発点となっている。

==超越的性質==
1937年、{{仮リンク|テオドール・シュナイダー|en|Theodor Schneider}}(Theodor Schneider)は、前述の τ が上半平面で二次の無理数であれば ''j''(τ) は代数的数であるということを証明した。加えて、 τ が[[代数的数]]だが虚二次体の数でないならば、''j''(τ) は超越数であることをも証明した。

''j''-函数は数多くの超越的性質を持つ。{{仮リンク|クルト・マーラー|en|Kurt Mahler}}(Kurt Mahler)はマーラー予想とも呼ばれる特別な超越性を予想し、1990年代にユーリ・ネステレンコ(Yu. V. Nesternko)とパトリス・フィリポン(Patrice Phillipon)の結果の系として証明された。マーラー予想とは、τ が上半平面にあればexp(2πiτ) と ''j''(τ) は双方が同時に代数的にはならないであろうという予想である。現在はより強い結果が知られていて、例えば、exp(2πiτ) が代数的であれば次の 3つの数は代数的に独立で、超越数になる。

:<math>j(\tau), \frac{j^\prime(\tau)}{\pi}, \frac{j^{\prime\prime}(\tau)}{\pi^2}.</math>

==q-展開とムーンシャイン==
''j'' の注目すべき性質のいくつかは、q = exp(2πiτ) での[[ローラン級数]]として書かれる[[モジュラ形式#q-展開|q-展開]]（[[フーリエ級数]]展開）に関連している。''q''-展開は、
:<math>j(\tau) = {1 \over q} + 744 + 196884 q + 21493760 q^2 + 864299970 q^3 + 20245856256 q^4 + \cdots</math>
で始まっている。

なお、 j は尖点で一位の[[極 (複素解析)|単純極]]を持つので、q-展開には q<sup>−1</sup> 未満の項がない。

このフーリエ係数はすべて整数であり、このことがいくつかの[[ほとんど整数|概整数]]、例えば有名な{{仮リンク|ラマヌジャン定数|en|Ramanujan's constant}}(Ramanujan's constant)の理由となる。
:<math>e^{\pi \sqrt{163}} \approx 640320^3 + 744</math>

{{math|q<sup>n</sup>}} の係数の{{仮リンク|漸近公式|en|asymptotic formula}}(asymptotic formula)は、{{仮リンク|ハーディ・リトルウッドの円周法|label=|en|Hardy–Littlewood circle method}}(Hardy–Littlewood circle method)で示すことができたように、

:<math>\frac{e^{4\pi\sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}</math>,

により与えられる。<ref>{{cite book|first=Hans|last=Petersson|authorlink=:en:Hans Petersson |title=Über die Entwicklungskoeffizienten der automorphen Formen|journal=Acta Mathematica|volume=58|issue=1|year=1932|pages=169–215|mr=1555346|doi=10.1007/BF02547776}}</ref><ref>{{cite book|first=Hans|last=Rademacher|authorlink=:en:Hans Rademacher |title=The Fourier coefficients of the modular invariant j(τ)|journal=American Journal of Mathematics|volume=60|year=1938|pages=501–512|mr=1507331|issue=2|doi=10.2307/2371313|publisher=The Johns Hopkins University Press|jstor=2371313}}</ref>

===ムーンシャイン===
{{main|モンストラス・ムーンシャイン}}
さらに注目すべきは、q の正のべき乗の項のフーリエ係数が{{仮リンク|モンスター頂点代数|label=ムーンシャイン加群|en|Monster vertex algebra}}(moonshine module)と呼ばれる[[モンスター群]]の無限次元[[次数付き環|次数付き代数]]表現の次数部の次元であることである。特に、q<sup>n</sup> の係数は、ムーシャイン加群の次数 n の次元となっている。第一の例は{{仮リンク|グライス代数|en|Griess algebra}}(Griess algebra)であり、この代数は次元 196,884 で、項196884q に対応している。この驚くべき観察が[[モンストラス・ムーンシャイン|ムーンシャイン理論]]の出発点であった。

ムーンシャイン予想の研究は、[[ジョン・ホートン・コンウェイ]]と{{仮リンク|シモン・ノートン|en|Simon P. Norton}}(Simon P. Norton)により種数 0 のモジュラ函数を見つけることに発展した。[[ジョン・G・トンプソン]]は、
:<math>q^{-1} + {O}(q)</math>
という形式に正規化される種数 0 のモジュラ函数が、有限個しか存在しないことを証明した。<!--後日、クミンス(Cummins)は、それらはちょうど 6486 個あり、そのうち 616 個が整数係数を持つことを示した<ref name=Cum04>{{cite journal | last=Cummins | first=C.J. | title=Congruence subgroups of groups commensurable with ''PSL''(2,'''Z''')$ of genus 0 and 1 | journal=Exp. Math. | volume=13 | number=3 | pages=361–382 | year=2004 | issn=1058-6458 | zbl=1099.11022 }}</ref>。-->

==別の表現==
λ を{{仮リンク|モジュララムダ函数|en|modular lambda function}}(modular lambda function)とし、x = λ(1−λ) と置くと
:<math>j(\tau) = \frac{256(1-x)^3}{x^2} </math>
を得る。
:<math> \lambda(\tau) = \frac{\theta_2^4(0,\tau)}{\theta_3^4(0,\tau)} = k^2(\tau)</math>
は、[[テータ函数|ヤコビのテータ函数]] <math>\theta_{m}</math> の比率であり、楕円モジュラス <math>k(\tau)</math> の二乗である。<ref name=C108>Chandrasekharan (1985) p.108</ref> λ が次の[[複比|非調和比]](cross-ratio)の 6つの値で入れ替わるときは、j の値は不変である<ref name=C110>{{citation | last=Chandrasekharan | first=K. | authorlink=:en:K. S. Chandrasekharan | title=Elliptic Functions | series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | volume=281 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1985 | isbn=3-540-15295-4 | zbl=0575.33001 | page=110 }}</ref>。
:<math>\left\lbrace { \lambda, \frac{1}{1-\lambda}, \frac{\lambda-1}{\lambda}, \frac{1}{\lambda}, \frac{\lambda}{\lambda-1}, 1-\lambda } \right\rbrace.</math>

j の分岐点は {0, 1, ∞} であるので、{{仮リンク|ベリイ函数|en|Belyi function}}(Belyi function)である<ref>{{citation | last1=Girondo | first1=Ernesto | last2=González-Diez | first2=Gabino | title=Introduction to compact Riemann surfaces and dessins d'enfants | series=London Mathematical Society Student Texts | volume=79 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2012 | isbn=978-0-521-74022-7 | zbl=1253.30001 | page=267 }}</ref>。

==テータ函数による表現==

<math>q=e^{\pi i \tau}</math> （[[ノーム_(数学)|ノーム]]）と定義し直すと、[[テータ函数|ヤコビのテータ函数]]
:<math>
\vartheta(0; \tau) = \vartheta_{00}(0; \tau) = 1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \left(e^{\pi i\tau}\right)^{n^2} = \sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}</math>
から[[テータ函数#指標付きテータ函数|指標付きテータ函数]]を導くことができる。次のように置くこととする。
:<math>a=\theta_{2}(0; q)=\vartheta_{10}(0; \tau)</math>
:<math>b=\theta_{3}(0; q)=\vartheta_{00}(0; \tau)</math>
:<math>c=\theta_{4}(0; q)=\vartheta_{01}(0; \tau)</math>
ここに <math>\theta_{m}</math> と <math>\vartheta_{n}</math> は記法を変えたものとした。すると、[[ヴァイエルシュトラスの楕円函数#定数 e1, e2, e3|ヴァイエルシュトラス定数]] g<sub>2</sub>, g<sub>3</sub> と[[デデキントのイータ関数|デデキントのエータ函数]] η(τ) に対して、
:<math>g_2(\tau) = \tfrac{2}{3}\pi^4 \left(a^8 + b^8 + c^8\right)</math>
:<math>g_3(\tau) = \tfrac{4}{27}\pi^6 \sqrt{\frac{(a^8+b^8+c^8)^3-54(abc)^8}{2}}</math>
:<math>\Delta = g_2^3-27g_3^2 = (2\pi)^{12}\eta(\tau)^{24} = (2\pi)^{12} \left(\tfrac{1}{2}a b c\right)^8</math>
となる。このようにすると、j (τ) を早く計算できる形に書き換えることができる。
::<math>j(\tau) = 1728\frac{g_2^3}{g_2^3-27g_3^2} = 32 {(a^8 + b^8 + c^8)^3 \over (a b c)^8}.</math>
ただし、
:<math>a^4 - b^4 + c^4 = 0</math>
であることに注意する。

==代数的定義==
今までは、j を複素変数の函数として考えてきたが、楕円曲線の同型類の不変量としては、j を純粋に代数的に定義することもできる。
:<math>y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6</math>
を任意の体の上の平面楕円曲線とすると、
:<math>b_2 = a_1^2 + 4a_2,\quad b_4 = a_1a_3 + 2a_4</math>
:<math>b_6 = a_3^2 + 4a_6,\quad b_8 = a_1^2a_6 - a_1a_3a_4 + a_2a_3^2 + 4a_2a_6 - a_4^2</math>
:<math>c_4 = b_2^2 - 24b_4,\quad c_6 = -b_2^3 + 36b_2b_4 - 216b_6</math>
と定義することができ、
:<math>\Delta = -b_2^2b_8 + 9b_2b_4b_6 - 8b_4^3 - 27b_6^2</math>
と表すと、これは楕円曲線の[[判別式]]を表している。

ここで、楕円曲線の j-不変量を
:<math>j = {c_4^3 \over \Delta}</math>
と定義する。

楕円曲線が定義されている体の標数が 2 もしくは 3 でない場合に、この定義は
:<math>j= 1728{c_4^3 \over c_4^3-c_6^2}</math>
と書き直すことができる。

==逆函数==
j-不変量の[[逆写像|逆函数]]は、[[超幾何級数|超幾何函数]] <sub>2</sub>F<sub>1</sub> で表すこともできる（{{仮リンク|ピカール・フックス方程式|en|Picard–Fuchs equation}}(Picard–Fuchs equation)も参照）。与えられた数値 N に対して 式 j(τ) = N を τ について解くためには、少なくとも 4つの方法が知られている。 

'''方法 1''': {{仮リンク|モジュララムダ函数|en|modular lambda function}}(modular lambda function) λ の6次式を解く方法。
:<math>j(\tau) = \frac{256(1-\lambda(1-\lambda))^3}{(\lambda(1-\lambda))^2}.</math>
x = λ(1−λ) とすると 6次式は x の 3次式となる。すると、λ の 6つの値のどれに対しても、
:<math>\tau = i \ \frac{{}_2F_1 \left (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},1,1-\lambda \right )}{{}_2F_1 \left (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},1,\lambda \right)}</math>
となる。 

'''方法 2''': γ の 4次式を解く方法。
:<math>j(\tau) = \frac{27(1+8\gamma)^3}{\gamma(1-\gamma)^3}.</math>
任意の 4つの[[函数の根|根]]に対して、
:<math>\tau = \frac{i}{\sqrt{3}} \frac{{}_2F_1 \left (\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},1,1-\gamma \right)}{{}_2F_1 \left(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},1,\gamma \right )}</math>
となる。

'''方法 3''': β の 3次式を解く方法。
:<math>j(\tau) = \frac{64(1+3\beta)^3}{\beta(1-\beta)^2}.</math>
すると、任意の 3つの根に対し、
:<math>\tau = \frac{i}{\sqrt{2}} \frac{{}_2F_1 \left (\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4},1,1-\beta \right)}{{}_2F_1 \left(\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4},1,\beta \right )}</math>
となる。

'''方法 4''': α の 2次式を解く方法。
:<math>j(\tau)=\frac{1728}{4\alpha(1-\alpha)}.</math>
すると、
:<math>\tau = i \ \frac{{}_2F_1 \left (\tfrac{1}{6},\tfrac{5}{6},1,1-\alpha \right)}{{}_2F_1 \left(\tfrac{1}{6},\tfrac{5}{6},1,\alpha \right )}</math>
となる。

2つの根は τ と -1/τ であるが、j (τ) = j (-1/τ) であるために、どの α を選んでも差異はない。後半 3つの方法は、[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン|ラマヌジャン]]の交代基底についての[[楕円函数]]論で発見された。

逆函数は、これらの根の比率が有界でないにもかかわらず、楕円函数の周期の高精度な計算を通して、うまく適用することが可能である。また、関連する帰結として、2 のべきの大きさをもつ虚数軸上の点で j の値が二次の根となることを通して（逆関数を）表すことができる（このようにして、[[定規とコンパスによる作図]]が可能となる）。レベルが 2 の[[モジュラ函数]]は 3次式であるので、この結果は自明ではない。

==π公式==

{{仮リンク|チュダノフスキーのアルゴリズム|label=チュダノフスキー兄弟|en|Chudnovsky algorithm}}(Chudnovsky brothers)は、1987年に、
:<math>\frac{1}{\pi} = \frac{12}{640320^{3/2}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (163 \cdot 3344418k + 13591409)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}</math>
を発見し、<math>j\big(\tfrac{1+\sqrt{-163}}{2}\big) = -640320^3</math> という事実を示すことに使用した。同様な公式は、{{仮リンク|ラマヌジャン・佐藤級数|en|Ramanujan-Sato series}}(Ramanujan-Sato series)を参照。

==ボーチャーズの積公式==

次は[[リチャード・ボーチャーズ]]によって発見された<ref>{{cite book|first=R.E.|last=Borcherds|authorlink=:en:Hans Rademacher |title=Monstrous moonshine and monstrous Lie superalgebras|journal=Invent. Math. 109|volume=60|year=1992|pages=405–
444.}}</ref>。

:: <math>j(\tau)-j(\tau') = {1 \over q} \prod_{n,m=1}^\infty (1-q^n {q'}^m)^{c_{nm}}</math>

である（ここでc_nはj関数のq展開におけるq^nの係数）．

== 特殊値 ==
j-不変量は、{{仮リンク|基本領域|en|fundamental domain}}(fundamental domain)の「角」
:<math>\tfrac{1}{2}\left(1 + i \sqrt{3}\right)</math> 
では 0 となる。

以下に、いくつかの特殊値を示す{{疑問点範囲|1=（J = j/1728 を使って表示している）|date=2020年7月|title=ノートでは J = 1728 j という定義が出されていますが、どちらが正しいのでしょうか。|talksection=日本語化にあたり}}。

:<math>\begin{align}
                                      J(i) &= J \left( \tfrac{1 + i}{2} \right) = 1 \\
                   J\left(\sqrt{2}i\right) &= \big(\tfrac{5}{3}\big)^3 \\
                                     J(2i) &= \big(\tfrac{11}{2}\big)^3 \\
                  J\left(2\sqrt{2}i\right) &= \tfrac{125}{216} \left(19 + 13\sqrt{2} \right)^3\\
                                     J(4i) &= \tfrac{1}{64} \left(724 + 513\sqrt{2} \right)^3\\
         J\left( \tfrac{1 + 2i}{2} \right) &= \tfrac{1}{64} \left(724 - 513\sqrt{2} \right)^3\\
 J\left( \tfrac{1 + 2\sqrt{2}i}{3} \right) &= \tfrac{125}{216} \left(19 - 13\sqrt{2} \right)^3\\
                                     J(3i) &= \tfrac{1}{27} \left(2 + \sqrt{3}\right)^2 \left(21 + 20\sqrt{3}\right )^3 \\
                  J\left(2\sqrt{3}i\right) &= \tfrac{125}{16} \left(30 + 17\sqrt{3}\right)^3\\
 J\left( \tfrac{1 + 7\sqrt{3}i}{2} \right) &= -\tfrac{64000}{7} \left(651 + 142\sqrt{21} \right)^3\\
J\left(\tfrac{1 + 3\sqrt{11}i}{10} \right) &= \tfrac{64}{27} \left(23 - 4\sqrt{33}\right)^2 \left(-77 + 15\sqrt{33} \right)^3\\
                  J\left(\sqrt{21}i\right) &= \tfrac{1}{128} \left(3 + \sqrt{7} \right)^5 \left( 17 + 7\sqrt{3} + 59\sqrt{7} + 35\sqrt{21}\right)^3\\
     J\left( \tfrac{\sqrt{30}i}{1} \right) &= \tfrac{1}{4} \left(7 + 5\sqrt{2} + 3\sqrt{5} + 2\sqrt{10} \right)^4 \left( 55 + 30\sqrt{2} + 12\sqrt{5} + 10\sqrt{10} \right)^3\\
     J\left( \tfrac{\sqrt{30}i}{2} \right) &= \tfrac{1}{4} \left(7 + 5\sqrt{2} - 3\sqrt{5} - 2\sqrt{10} \right)^4 \left( 55 + 30\sqrt{2} - 12\sqrt{5} - 10\sqrt{10} \right)^3\\
     J\left( \tfrac{\sqrt{30}i}{5} \right) &= \tfrac{1}{4} \left(7 - 5\sqrt{2} + 3\sqrt{5} - 2\sqrt{10} \right)^4 \left( 55 - 30\sqrt{2} + 12\sqrt{5} - 10\sqrt{10} \right)^3\\
    J\left( \tfrac{\sqrt{30}i}{10} \right) &= \tfrac{1}{4} \left(7 - 5\sqrt{2} - 3\sqrt{5} + 2\sqrt{10} \right)^4 \left( 55 - 30\sqrt{2} - 12\sqrt{5} + 10\sqrt{10} \right)^3\\
J\left(\tfrac{1+\sqrt{31}i}{2}\right)&=\left(1-\left(1+\frac{\sqrt{19}}{2}\left(\sqrt{\tfrac{13-\sqrt{93}}{13+\sqrt{93}}}\cdot\sqrt[3]{\tfrac{\sqrt{31}+\sqrt{27}}{\sqrt{31}-\sqrt{27}}}+\sqrt{\tfrac{13+\sqrt{93}}{13-\sqrt{93}}}\cdot\sqrt[3]{\tfrac{\sqrt{31}-\sqrt{27}}{\sqrt{31}+\sqrt{27}}}\right)\right)^2\right)^3\\
J(5i) &= \left( 1 + \tfrac{9}{4} \sqrt{5} \left( 13 + 5 \sqrt{5} \right)^2 \right)^3\\
J\left( \tfrac{5 i + 1}{2} \right) &= \left( 1 - \tfrac{9}{4} \sqrt{5} \left( 13 - 5 \sqrt{5} \right)^2 \right)^3\\
J(6i) &= \tfrac{1}{216}\left(2 + \sqrt{3}\right)^{10} \left(231 + 380\sqrt{3} + \left(204 + 158\sqrt{3} \right)\sqrt[4]{12}\right)^3\\
J(\sqrt{70}i) &= \left(1 + \tfrac{9}{4}\left(303 + 220\sqrt{2} + 139\sqrt{5} + 96\sqrt{10}\right)^2 \right)^3\\
J(\sqrt{94}i) &= \left(1 + \tfrac{9}{8192} \left(3 + 2\sqrt{2} + \sqrt{9+8\sqrt{2}}\right)^8 \left(8 + \left(-1 - \sqrt{2} + \sqrt{9+8\sqrt{2}}\right) \left(-2 + 2\sqrt{2} + \sqrt{3 + 4\sqrt{2} + 3\sqrt{9 + 8\sqrt{2}}}\right)\right)^2\right)^3\\
J(7i) &= \left( 1 + \tfrac{9}{32}\sqrt[4]{28} \left(3+\sqrt{7}\right)^3 \left(13 + 3\sqrt{7} + \left(6+\sqrt{7} \right)\sqrt[4]{28}\right)^2 \right)^3\\
J(8i) &= \left( 1 + \tfrac{9}{4} \sqrt[4]{2} \left (1 + \sqrt{2} \right) \left(123 + 104\sqrt[4]{2} + 88\sqrt{2} + 73\sqrt[4]{8}\right)^2 \right)^3\\
J(10i) &= \left(1 + \tfrac{9}{8}\left(2402 + 1607\sqrt[4]{5} + 1074\sqrt[4]{25} + 719\sqrt[4]{125}\right)^2 \right)^3\\
J\left( \tfrac{5 i}{2} \right) &= \left(1 + \tfrac{9}{8}\left(2402 - 1607\sqrt[4]{5} + 1074\sqrt[4]{25} - 719\sqrt[4]{125}\right)^2 \right)^3\\
J(\sqrt{130}i) &= \left(1 + \tfrac{9}{4}\left(7392 + 3289\sqrt{5} + 2040\sqrt{13} + 917\sqrt{65}\right)^2 \right)^3\\
J(\sqrt{190}i) &= \left(1 + 18 \left(31570 + 22323\sqrt{2} + 14139\sqrt{5} + 9998\sqrt{10}\right)^2 \right)^3\\
J(2\sqrt{58}i) &= \left(1+\tfrac{9}{256}\left(1+\sqrt{2}\right)^5\left(5+\sqrt{29}\right)^5\left(793+907\sqrt{2}+237\sqrt{29}+103\sqrt{58}\right)^2\right)^3\\
J\left( \tfrac{1 + \sqrt{1435}i}{2} \right) &= \left( 1 - 9 \left ( 9892538 + 4424079\sqrt{5} + 1544955\sqrt{41} + 690925\sqrt{205} \right )^2 \right)^3\\
J\left( \tfrac{1 + \sqrt{1555}i}{2} \right) &= \left( 1 - 9 \left ( 22297077 + 9971556\sqrt{5} + \left ( 3571365 + 1597163\sqrt{5} \right ) \sqrt{\tfrac{31 + 21\sqrt{5}}{2}} \right)^2 \right)^3\\
\end{align}</math>

2014年にはいくつかの特殊値が計算された<ref>{{cite web
 | last = Adlaj
 | first = Semjon
 | title = Multiplication and division on elliptic curves, torsion points and roots of modular equations
 | url = http://www.ccas.ru/depart/mechanics/TUMUS/Adlaj/ECCDG.pdf
 | accessdate = 17 October 2014}}</ref>。

:<math>\begin{align}
J \left( \tfrac{5 i + 2}{4} \right) &= \left( 1 - \tfrac{9 \left( 1 + \sqrt{5} \right)^{38}}{2^{41} \sqrt{2}} \Bigl( 7485 - 762 \sqrt{2} + 1479 \sqrt{5} - 3072 \sqrt{10} - \sqrt[4]{5} \left( 178 - 2221 \sqrt{2} + 3148 \sqrt{5} - 1289 \sqrt{10} \right) \Bigr)^2 \right)^3\\
J \left( \tfrac{10 i + 1}{2} \right) &= \left( 1 - \tfrac{9 \left( 1 + \sqrt{5} \right)^{38}}{2^{41} \sqrt{2}} \Bigl( 7485 - 762 \sqrt{2} + 1479 \sqrt{5} - 3072 \sqrt{10} + \sqrt[4]{5} \left( 178 - 2221 \sqrt{2} + 3148 \sqrt{5} - 1289 \sqrt{10} \right) \Bigr)^2 \right)^3\\
J \left( \tfrac{5 i}{4} \right) &= \left( 1 + \tfrac{9 \left( 1 + \sqrt{5} \right)^{38}}{2^{41} \sqrt{2}} \Bigl( 7485 + 762 \sqrt{2} + 1479 \sqrt{5} + 3072 \sqrt{10} - \sqrt[4]{5} \left( 178 + 2221 \sqrt{2} + 3148 \sqrt{5} + 1289 \sqrt{10} \right) \Big)^2 \right)^3\\
J(20 i) &= \left( 1 + \tfrac{9 \left( 1 + \sqrt{5} \right)^{38}}{2^{41} \sqrt{2}} \Bigl( 7485 + 762 \sqrt{2} + 1479 \sqrt{5} + 3072 \sqrt{10} + \sqrt[4]{5} \left( 178 + 2221 \sqrt{2} + 3148 \sqrt{5} + 1289 \sqrt{10} \right) \Bigr)^2 \right)^3
\end{align}</math>

これ以前に示したすべての値は実数である。複素共役のペアは、<math>J(10 i)</math> と <math>J(5 i/2)</math> に対し、参考文献のように値に沿って、上記のように対称的になっていると推察される。

:<math>\begin{align}
J \left( \tfrac{5 i \pm 1}{4} \right) &= \left(1 - \tfrac{9}{8}\left((2402 - 1074\sqrt{5}) i \pm (1607 - 719\sqrt{5}) \sqrt[4]{5} \right)^2 \right)^3
\end{align}</math>

4つの特殊値は、2つの複素共役のペアにより与えられる<ref>{{cite web
 | first = Semjon
 | last = Adlaj
 | title = Torsion points on elliptic curves and modular polynomial symmetries | url=http://www.ccas.ru/sabramov/seminar/lib/exe/fetch.php?media=adlaj140924.pdf
 | booktitle = The joined MSU-CCRAS Computer Algebra Seminar
 | place = Moscow, Russia
 | year = 2014 |accessdate=2014-10-15}}</ref>。

:<math>\begin{align}
J \left( \tfrac{4 \left( 5 i \pm 1 \right)}{13} \right) = \left(1 - \tfrac{9 \left( 1 - \sqrt{5} \right)^{38}}{2^{41} \sqrt{2}} \Bigl( 7485 - 762 \sqrt{2} - 1479 \sqrt{5} + 3072 \sqrt{10} \pm i \sqrt[4]{5} \left( 178 - 2221 \sqrt{2} - 3148 \sqrt{5} + 1289 \sqrt{10} \right) \Bigr)^2 \right)^3\\
J \left( \tfrac{5 \left( 4 i \pm 1 \right)}{17} \right) = \left(1 + \tfrac{9 \left( 1 - \sqrt{5} \right)^{38}}{2^{41} \sqrt{2}} \Bigl( 7485 + 762 \sqrt{2} - 1479 \sqrt{5} - 3072 \sqrt{10} \pm i \sqrt[4]{5} \left( 178 + 2221 \sqrt{2} - 3148 \sqrt{5} - 1289 \sqrt{10} \right) \Bigr)^2 \right)^3
\end{align}</math>

==参考文献==
{{reflist}}
*{{citation|first=Tom M.|last=Apostol|authorlink=Tom M. Apostol|title=Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory|mr=0422157|year=1976|publisher=Springer-Verlag|series=Graduate Texts in Mathematics |volume=41|location=New York}}. Provides a very readable introduction and various interesting identities.
**{{citation|first=Tom M.|last=Apostol|authorlink=Tom M. Apostol|title=Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory|edition=2nd |year=1990 |isbn=0-387-97127-0|mr=1027834}}
*{{citation|doi=10.4153/CMB-1999-050-1|first1=Bruce C.|last1=Berndt|author1-link=:en:Bruce C. Berndt |first2=Heng Huat|last2=Chan|title=Ramanujan and the modular j-invariant|url=http://www.journals.cms.math.ca/cgi-bin/vault/public/view/berndt7376/body/PDF/berndt7376.pdf|journal=Canadian Mathematical Bulletin|volume=42|issue=4|year=1999|pages=427–440|mr=1727340}}. Provides a variety of interesting algebraic identities, including the inverse as a hypergeometric series.
*{{citation|first=David A.|last=Cox|authorlink=:en:David A. Cox |title=Primes of the Form x^2 + ny^2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication|mr=1028322|year=1989|publisher= Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc.|location=New York}} Introduces the j-invariant and discusses the related class field theory.
*{{citation|first1=John Horton|last1=Conway|author1-link=John Horton Conway|first2=Simon|last2=Norton|author2-link=:en:Simon P. Norton |title=Monstrous moonshine|journal=Bulletin of the London Mathematical Society|volume=11|issue=3|year=1979|pages=308–339|mr=0554399|doi=10.1112/blms/11.3.308}}. Includes a list of the 175 genus-zero modular functions.
*{{citation|first=Robert A.|last=Rankin|authorlink=:en:Robert Alexander Rankin |title=Modular forms and functions |year=1977|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|isbn=0-521-21212-X|mr=0498390}}. Provides a short review in the context of modular forms.
*{{citation|first=Theodor|last=Schneider|authorlink=:en:Theodor Schneider |title=Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale|journal=Math. Annalen|volume=113|year=1937|pages=1&ndash;13|mr=1513075|doi=10.1007/BF01571618}}.

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