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'''K-理論'''（Kりろん、{{lang-en-short|''K-theory''}}）は、大まかには、大きな[[行列]]を用いて定まる空間の[[不変量]]についての理論である<ref>{{Citation|last = Atiyah |first = Michael |authorlink = Michael Atiyah |year = 2000 |title = K-Theory Past and Present |arxiv = math/0012213 |version = v1 |postscript =  }}</ref>。[[位相空間]]や[[概型|スキーム]]上で定義された[[ベクトル束]]で生成される[[環 (数学)|環]]の研究に端を発する。[[代数的位相幾何学|代数トポロジー]]における K-理論は、[[位相的K理論|位相的 K-理論]]と呼ばれる一種の{{仮リンク|超常コホモロジー論|en|extraordinary cohomology theory}}である。[[代数学]]や[[代数幾何学]]における K-理論は[[代数的K-理論|代数的 K-理論]]と呼ばれる。また、K-理論は[[作用素環論]]においても基本的な道具である。

K-理論は、位相空間やスキームに対して環を対応させる K-[[函手]]の族を構成する。これらの環は、元の空間やスキームの構造のいくつかの側面を反映している。代数トポロジーにおいてホモロジーやコホモロジーといった[[群 (数学)|群]]への函手を考えるのと同様に、元の空間やスキームを直接調べるよりもこのような環の方が容易に種々の性質をしらべることができる。K-理論のアプローチから得られる結果の例としては、{{仮リンク|ボットの周期性|en|Bott periodicity}}(Bott periodicity)や[[アティヤ＝シンガーの指数定理]]や{{仮リンク|アダムズ作用素|en|Adams operation}}(Adams operation)がある。

[[高エネルギー物理学]]では、K-理論、特に{{仮リンク|ツイストしたK理論|en|twisted K-theory|label=ツイストした K-理論}}(twisted K-theory)は、[[タイプII超弦理論|II-型弦理論]]に現れる。そこでは、K-理論が、[[Dブレーン]]や{{仮リンク|ラモン-ラモン場|en|Ramond–Ramond field|label=ラモン-ラモン場}}(Ramond–Ramond field)の強さ、[[一般化された複素構造|一般化された複素多様体]]上の[[スピノル]]を分類すると予想されている。[[物性物理学]]では、K-理論は、[[トポロジカル絶縁体]]、[[超伝導]]や安定[[フェルミ面]]を分類することに使われる。詳細は{{仮リンク|K-理論 (物理学)|en|K-theory (physics)}}(K-theory (physics))の項を参照。
== 黎明期 ==
K理論は[[アレクサンドル・グロタンディーク]]が{{仮リンク|グロタンディーク-リーマンロッホの定理|en|Grothendieck–Riemann–Roch theorem}}(Grothendieck–Riemann–Roch theorem)を定式化する際に考案された。K理論のKは「類」を意味するドイツ語 "Klasse" の頭文字に由来する<ref>Karoubi, 2006</ref>。グロタンディークは、[[代数多様体]] X 上の[[連接層]]を扱う必要があった。このために層自体を直接扱うのではなく、層の{{仮リンク|同型類|en|isomorphism class}}(isomorphism class)を生成系に持ち、それらの拡大が群の和となるような関係式を用いて群を定義した。この群は、[[局所自由層]]からつくられる時 K(X)、任意の連接層を用いるときは G(X) と書かれ、いずれも[[グロタンディーク群]]と呼ばれる。K(X) は[[コホモロジー|コホモロジー的]]であり、G(X) は[[ホモロジー (数学)|ホモロジー的]]に振る舞う。

X が[[滑らかな代数多様体]]のとき、この二つのグロタンディーク群は一致する。X が滑らかな[[アフィン多様体|アフィン代数多様体]]ならば、局所自由層の任意の拡大は分裂するので、別な方法でグロタンディーク群を定義することもできる。

[[位相空間]] X に対してもその K 理論を[[ベクトル束]]に同じ構成を適用することで、{{harvtxt|Atiyah|Hirzebruch|1959}} により定義された。{{仮リンク|ボット周期性定理|en|Bott periodicity theorem}}(Bott periodicity theorem)を用いることで、K理論を{{仮リンク|超常コホモロジー論|en|extraordinary cohomology theory}}(extraordinary cohomology theory)の基礎とした。これは[[アティヤ＝シンガーの指数定理|指数定理]]の別証明 (circa 1962) において重要な役割を果たす。さらにこのアプローチは[[C*-環]]に対する[[非可換位相幾何学|非可換]] ''K''-理論を導く。 

1955年にはすでに[[ジャン＝ピエール・セール]]は、[[ベクトル束]]のアナロジーとして[[射影加群]]を用いて「[[多項式環]]上の任意の有限生成射影加群が[[自由加群]]である」ことを言う{{仮リンク|キレン-サスリンの定理|label=セール予想|en|Quillen–Suslin theorem}}(Serre's conjecture)を定式化していたが、これが肯定的に解かれたのは20年を経た後のことであった（[[スワンの定理]](Swan's theorem)はこのアナロジーのもうひとつの側面である）。

== 理論の展開 ==
代数的 K-理論のもうひとつの歴史的な起源は、ホワイトヘッドらによる仕事にも見られる。これは後に{{仮リンク|ホワイトヘッドねじれ|en|Whitehead torsion}}(Whitehead torsion)と呼ばれるものである。

その後「高次 K-理論函手」の部分的な定義がさまざまに提唱され、最終的に[[ダニエル・キレン]]によって1969年と1972年に[[ホモトピー論]]を用いた互いに同値な二つの有力な定義が与えられた。また、擬イソトピー(pseudo-isotopy)の研究と関連する「空間の代数的 K-理論」を調べるため、K-理論の一変形が[[フリードヘルム・ヴァルトハウゼン]]によっても与えられた。現代に於いては高次 K-理論の研究は、代数幾何学および{{仮リンク|モチーフコホモロジー|en|motivic cohomology}}と関連する。

付帯[[二次形式]]をもつ対応する構成は、一般に{{仮リンク|L理論|en|L-theory|label= L-理論}}と名付けられ、{{仮リンク|手術 (数学)|en|surgery theory|label=手術}}(surgery)の主な道具立てとなっている。

[[弦理論]]において、{{仮リンク|ラモン-ラモン場|en|Ramond–Ramond field}}(Ramond–Ramond field)の強さや安定 [[Dブレーン]]のチャージの K-理論分類が、初めて提唱されたのは1997年のことであった<ref>by Ruben Minasian (http://string.lpthe.jussieu.fr/members.pl?key=7), and [[Greg Moore (physicist)|Gregory Moore]] (http://www.physics.rutgers.edu/~gmoore) in [http://xxx.lanl.gov/abs/hep-th/9710230 K-theory and Ramond–Ramond Charge].</ref>。
==応用==

===チャーン指標===
{{main|チャーン類#チャーン指標}}
[[チャーン類]]は、空間の{{仮リンク|位相的K-理論|en|topological K-theory}}(topological K-theory)からその有理コホモロジー（の完備化）への環の準同型を構成することに使うことができる。[[直線束]] L のチャーン指標 ch(L) は、

:<math>\operatorname{ch}(L) = \exp(c_{1}(L)) := \sum_{m=0}^\infty \frac{c_1(L)^m}{m!}</math>

により定義される。

一般のベクトル束 V が 第一チャーン類 <math>x_i = c_1(L_i)</math> を持つ直線束の直和 <math>V = L_1 \oplus ... \oplus L_n</math> であれば、V のチャーン指標 ch(V) は、

:<math> \operatorname{ch}(V)  = e^{x_1} + \dots + e^{x_n} :=\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!}(x_1^m + ... + x_n^m). </math>
と加法的に定義される。

チャーン指標はベクトル束のテンソル積についてうまく振る舞い、[[ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理]]の定式化に用いられる。
==同変K-理論==
{{main|同変K-理論}}
[[同変K-理論|代数的同変K-理論]]は群作用つきのスキームに対して定まるK理論である。X をスキームとし、[[代数群]] G の作用が定まっているとする。Coh<sup>G</sup>(X)を G 同変連接層の圈とし、それに対するキレン(Quillen)の[[代数的K-理論#Q-構成|Q-構成]]により代数的K理論を定める。定義により、
:<math>K_i^G(X) = \pi_i(B^+ \operatorname{Coh}^G(X))</math>
である。特に、K<sup>G</sup><sub>0</sub>(X) は Coh<sup>G</sup>(X) の[[グロタンディーク群]]である。この理論はトーマソン(R. W. Thomason)によって1980年代に研究され<ref>Charles A. Weibel, [http://www.ams.org/notices/199608/comm-thomason.pdf Robert W. Thomason (1952–1995)].</ref> 、局所化定理のような通常のK理論における基本的な定理の同変版を証明した。

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{citation| url=http://www.ams.org/journals/bull/1959-65-04/S0002-9904-1959-10344-X/S0002-9904-1959-10344-X.pdf | format=PDF | title= Riemann–Roch theorems for differentiable manifolds | first1=M. F. | last1=Atiyah | author1-link=マイケル・アティヤ|first2=F. | last2= Hirzebruch |author2-link=フリードリッヒ・ヒルツェブルフ| series= Bull. Amer. Math. Soc. 65 | pp=276–281. | mr= 0110106 | zbl= 0142.40901 | year=1959}}
* {{Citation | last1=Atiyah | first1=Michael Francis | author1-link=マイケル・アティヤ| title=K-theory | publisher=[[Addison-Wesley]] | edition=2nd | series=Advanced Book Classics | isbn=978-0-201-09394-0 | mr=1043170 | year=1989}}
*{{Citation | editor1-last=Friedlander | editor1-first=Eric | editor2-last=Grayson | editor2-first=Daniel | title=Handbook of K-Theory | url=http://www.springerlink.com/content/978-3-540-23019-9/ | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-30436-4 | mr=2182598 | year=2005}}
*{{Citation | last1=Swan | first1=R. G. | title=Algebraic K-Theory | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | series=Lecture Notes in Mathematics No. 76 | year=1968}}
* [[Max Karoubi]] (1978), [http://www.institut.math.jussieu.fr/~karoubi/KBook.html K-theory, an introduction] Springer-Verlag
** Max Karoubi (2006), "K-theory. An elementary introduction", {{arxiv|math|0602082}}
* [[Allen Hatcher]], ''[http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html Vector Bundles & K-Theory]'', (2003)

== 関連項目 ==
* [[代数的K-理論|代数的 ''K''-理論]]
* {{仮リンク|位相的K理論|en|Topological K-theory|label= 位相的 ''K''-理論}}
* {{仮リンク|コホモロジー論の一覧|en|List of cohomology theories}}
* {{仮リンク|K理論 (物理学)|en|K-theory (physics)|label= ''K''-理論 (物理学)}}
* {{仮リンク|作用素K理論|en|Operator K-theory|label= 作用素 ''K''-理論}}
* {{仮リンク|KK理論|en|KK-theory|label= ''KK''-理論}}
* {{仮リンク|L理論|en|L-theory|label= ''L''-理論}}
* {{仮リンク|ボット周期性|en|Bott periodicity}}

== 外部リンク ==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
* [http://www.institut.math.jussieu.fr/~karoubi/ Max Karoubi's Page]
* [http://www.math.uiuc.edu/K-theory/ K-theory preprint archive]

{{Topology}}
{{Algebra}}
{{DEFAULTSORT:K けいりろん}}
[[Category:K-理論]]
[[Category:数学に関する記事]]