KMS状態のソースを表示

[[量子力学]]や[[場の量子論]]の系の[[統計力学]]では、熱平衡状態にある系の性質を数学的な対象で記述することができて、[[久保亮五|久保]]-マーティン-[[ジュリアン・シュウィンガー|シュウィンガー]]状態(KMS state)、一般には '''KMS状態''' と呼ばれる。この状態は、{{harvtxt|Kubo|1957}} で導入された '''KMS条件'''(KMS condition）を満たし、{{harvtxt|Martin|Schwinger|1959}}ではこれを使い [[熱力学|熱力学的]] [[グリーン函数]] を定義し、{{harvs|txt | last1=Haag | first1=Rudolf | author1-link=Rudolf Haag | last2=Winnink | first2=M. | last3=Hugenholtz | first3=N. M.  | year=1967 }} は熱平衡状態を定義することに使った。

== KMS状態 ==

最も簡単に研究できる場合は、有限次元の[[ヒルベルト空間]]の場合で、そこでは[[相転移]]や[[自発的対称性の破れ]]といった複雑なことが発生しない。'''熱平衡状態'''の[[密度行列]]は次式で与えられる。

:<math>\rho_{\beta,\mu}=\frac{e^{-\beta \left(H-\mu N\right)}}{\mathrm{Tr}\left[ e^{-\beta \left(H-\mu N\right)} \right]}=\frac{e^{-\beta \left(H-\mu N\right)}}{Z(\beta,\mu)}</math>

ここに ''H'' は[[ハミルトニアン (量子力学)|ハミルトニアン作用素]]であり、''N'' は[[数演算子]]（もしくは、より一般的には、[[電荷]]作用素）であり、

:<math>Z(\beta,\mu)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \mathrm{Tr}\left[ e^{-\beta \left(H-\mu N\right)} \right]</math>

は[[分配函数 (場の量子論)|分配函数]]である。''N'' は ''H'' と可換であり、言い換えれば、粒子数は[[保存則|保存]]される。

[[ハイゼンベルク描像]]では密度行列は時間ともに変化しないが、作用素は時間依存である。特に、τ だけ時刻を進める作用素 ''A'' の変換は次式の作用素を与える。

:<math>\alpha_\tau(A)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  e^{iH\tau}A e^{-iH\tau}</math>

[[内部対称性]]「回転」を持つ時間発展の組み合わせは、さらに一般的に次の式を与える。

:<math>\alpha^{\mu}_{\tau}(A)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  e^{i\left(H-\mu N\right)\tau} A e^{-i\left(H-\mu N\right)\tau}</math>

代数的な計算を少し行うと、[[期待値]]

:<math>\langle\alpha^\mu_\tau(A)B\rangle_{\beta,\mu}=\mathrm{Tr}\left[\rho \alpha^\mu_\tau(A)B\right]=\mathrm{Tr}\left[\rho B \alpha^\mu_{\tau+i\beta}(A)\right]=\langle B\alpha^\mu_{\tau+i\beta}(A)\rangle_{\beta,\mu}</math>

が、任意の2つの作用素 ''A'' と ''B'' 及び任意の実数 τ に対して与えられる（すべて有限次元のヒルベルト空間を前提とする）。ここでは密度行列が任意の (''H''-μ''N'') の函数と可換であり、[[跡 (線型代数学)|トレース]]が巡回的可換であるという事実を使う。

最初に示唆したように、無限次元ヒルベルト空間では、相転移、自発的な対称性の破れ、[[トレースクラス]]ではない作用素、分散函数の発散というような、多くの問題に直面する。

''z'' の[[複素函数]] <math>\langle\alpha^\mu_z(A)B\rangle</math> は複素数の帯状境域 <math>-\beta < \Im{z} < 0</math> で収束し、一方、もし ''H''-μ''N'' の[[スペクトル (関数解析学)|スペクトル]]は下から有界であること、密度が指数函数的に増加しない（{{仮リンク|ハゲドーン温度|en|Hagedorn temperature}}(Hagedorn temperature)参照）というような技術的な仮定を設けると <math>\langle B\alpha^\mu_z(A)\rangle</math> は帯状領域 <math>0 < \Im{z} < \beta</math> で収束する。函数が収束すると、必然的にそれらの微分として定義されている帯状領域の中で[[解析接続]]され、次の式が成り立つこと得る。

:<math>\frac{d}{dz}\langle\alpha^\mu_z(A)B\rangle=i\langle\alpha^\mu_z\left(\left[H-\mu N,A\right]\right)B\rangle</math>
:<math>\frac{d}{dz}\langle B\alpha^\mu_z(A)\rangle = i\langle B\alpha^\mu_z\left(\left[H-\mu N,A\right]\right)\rangle</math>

しかし、'''KMS 状態''' を次式を満たす任意の状態として定義することができる。

:<math>\langle \alpha^\mu_\tau(A)B\rangle=\langle B\alpha^\mu_{\tau+i\beta}(A)\rangle</math>

ここでは <math>\langle\alpha^\mu_z(A)B\rangle</math> と <math>\langle B\alpha^\mu_z(A)\rangle</math> は、それら帯状領域の中で ''z'' の解析函数である。

<math>\langle\alpha^\mu_\tau(A)B\rangle</math> と <math>\langle B\alpha^\mu_{\tau+i\beta}(A)\rangle</math> は、問題の中の解析函数の[[シュワルツの超函数|超函数]]としての境界値である。

この式は、体積と粒子数を無限大とする熱力学的極限を正しく与えるが、もし相転移や自発的対称性の破れが存在すれば、KMS 状態は一意ではない。

KMS 状態の密度行列は、{{仮リンク|富田・竹崎理論|en|Tomita–Takesaki theory}}(Tomita–Takesaki theory)を経て、[[ユニタリ変換]]と関係している。ユニタリ変換は、時間遷移（あるいは時間遷移とゼロでない化学ポテンシャルの[[内部対称性]]の変換）を合わせた変換を意味する。

==参考文献==

*{{Citation | last1=Haag | first1=Rudolf | author1-link=Rudolf Haag | last2=Winnink | first2=M. | last3=Hugenholtz | first3=N. M. | title=On the equilibrium states in quantum statistical mechanics | doi=10.1007/BF01646342 | mr=0219283 | year=1967 | journal=Communications in Mathematical Physics | issn=0010-3616 | volume=5 | pages=215–236|bibcode = 1967CMaPh...5..215H }}
*{{citation | last = Kubo | first = R. | authorlink = 久保亮五 | title = Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. I. General Theory and Simple Applications to Magnetic and Conduction Problems |journal = [[Journal of the Physical Society of Japan]] |volume = 12 | issue = 6 | pages = 570–586 | year = 1957 | doi = 10.1143/JPSJ.12.570}}
*{{citation | last = Martin | first = Paul C. | last2 = Schwinger | first2 = Julian | title = Theory of Many-Particle Systems. I | year = 1959 | journal = [[Physical Review]] | volume = 115 | issue = 6 | pages = 1342–1373 | doi = 10.1103/PhysRev.115.1342|bibcode = 1959PhRv..115.1342M }}

[[Category:統計力学]]
[[Category:場の量子論]]