Kynea数のソースを表示

'''Kynea数'''とは、
:<math>4^n + 2^{n + 1} - 1</math> または <math>(2^n + 1)^2 - 2</math> で表される自然数である。

上の数式の通り、4の ''n'' 乗と ''n''+1 番目の[[メルセンヌ数]]の和である。Kynea数はCletus Emmanuelによって研究され、Cletus Emmanuelの娘の名にちなんでKynea数と名付けられた<ref>[http://tech.groups.yahoo.com/group/primenumbers/message/14584 Cletus Emmanuel's statement on Yahoo group PrimeNumbers]</ref>。Kynea数は小さい順に
: [[7]], [[23]], [[79]], [[287]], 1087, 4223, 16639, 66047, 263167, 1050623, 4198399, 16785407, ... ({{OEIS2C|A093069}})
と続く。

== 性質 ==
''n''番目のKynea数を二進記数法で表すと、1の後に''n'' - 1 個の 0 が並び、''n'' + 1 個の 1 が並ぶ。
そのため、
:<math>4^n + \sum_{i = 0}^n 2^i</math>
とも表現できる。
例えば23は二進記数法で10111であり、79は1001111となる。
''n''番目のKynea数と''n''番目の[[キャロル数]]は、2<sup>n+1</sup> の符号が異なるだけであるため、その差は 2{{sup|''n''+2}} である。

== Kynea素数 ==
{| class="infobox" style="width: 15em; font-size: 90%; text-align: center;"
|-----
| colspan="3" align="center" | '''Kynea 数'''
|-----
| '''n''' || 10進 || 2進
|-----
| '''1''' || 7 || 111
|-----
| '''2''' || 23 || 10111
|-----
| '''3''' || 79 || 1001111
|-----
| '''4''' || 287 || 100011111
|-----
| '''5''' || 1087 || 10000111111
|-----
| '''6''' || 4223 || 1000001111111
|-----
| '''7''' || 16639 || 100000011111111
|-----
| '''8''' || 66047 || 10000000111111111
|-----
| '''9''' || 263167 || 1000000001111111111
|}
7から3つおきに、Kynea数は7の倍数になる。そのため、3''x'' + 1 番目（0<''x''）のKynea数は素数にはなりえない。Kynea素数は、小さい順に 7, 23, 79, 1087, 66047, 263167, 16785407, …({{OEIS2C|A091514}})と並ぶ。

{{As of|2018|2}}, 既知の最大のKynea素数は''n'' = 661478番目のKynea数であり、398250桁の数である<ref>[http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=121801 Entry for 661478th Kynea number] at [[Prime Pages]]</ref><ref>[http://www.noprimeleftbehind.net/Carol-Kynea-prime-search.htm Carol and Kynea Prime Search] by Mark Rodenkirch</ref>。この素数はMark Rodenkirchが2016の6月にCKSieveプログラムとPrimeFormGWを用いて発見したものであり、50番目のKynea素数である。

{{Col-begin}}
{{Col-1-of-2}}

{{Col-2-of-2}}
{{Portal|数学}}
{{Col-end}}

== 一般化 ==
'''''b''進Kynea数'''を、 (''b''<sup>''n''</sup> + 1)<sup>2</sup> &minus; 2 （''n'' ≥ 1）と定義できる。''b''進Kynea数は''b''が奇数の場合には偶数であるため、''b''が偶数のときにのみKynea素数を持つ。

{(2''b'')<sup>''n''</sup> + 1}<sup>2</sup> &minus; 2 が素数となる''b''進Kynea数の、最小の項は
:1, 1, 1, 1, 22, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 24, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 8, 2, 1, 1, 2, 172, 1, 1, 354, 1, 1, 3, 29, 3, 423, 8, 1, 11, 1, 5, 2, 4, 11, 1, 6, 1, 3, 57, 24, 368, 1, 1, 1, 11, 19, 1, 3, 1, 13, 1, 12, 1, 41, 3, 1, 3, 4, 4, 2, 1, 152, 1893, 1, 12, 6, 2, 1, 11, 1, 2, 1, 3, 14, 1, 2, 6, 2, 1, 1017, 3, 30, 6, 3, ...番目に現れる

{|class="wikitable"
|''b''
|(''b''<sup>''n''</sup>+1)<sup>2</sup> − 2 が素数となる''n'' (''n'' が30000までは網羅)
|[[OEIS]]
|-
|2
|1, 2, 3, 5, 8, 9, 12, 15, 17, 18, 21, 23, 27, 32, 51, 65, 87, 180, 242, 467, 491, 501, 507, 555, 591, 680, 800, 1070, 1650, 2813, 3281, 4217, 5153, 6287, 6365, 10088, 10367, 37035, 45873, 69312, 102435, 106380, 108888, 110615, 281621, 369581, 376050, 442052, 621443, 661478, ...
|{{OEIS2C|A091513}}
|-
|4
|1, 4, 6, 9, 16, 90, 121, 340, 400, 535, 825, 5044, 34656, 53190, 54444, 188025, 221026, 330739, ...
|
|-
|6
|1, 2, 3, 4, 9, 12, 30, 49, 56, 115, 118, 376, 432, 1045, 1310, 6529, 7768, 8430, 21942, 26930, 33568, 50800, ...
|{{OEIS2C|A100902}}
|-
|8
|1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 17, 29, 60, 167, 169, 185, 197, 550, 12345, 15291, 23104, 34145, 35460, 36296, 125350, ...
|
|-
|10
|22, 351, 1061, ...
|{{OEIS2C|A100904}}
|-
|12
|1, 2, 8, 60, 513, 1047, 7021, 7506, 78858, ...
|
|-
|14
|1, 5, 60, 72, 118, 181, 245, 310, 498, 820, 962, 2212, 3928, 5844, 5937, ...
|{{OEIS2C|A100906}}
|-
|16
|2, 3, 8, 45, 170, 200, 2522, 17328, 26595, 27222, 110513, ...
|
|-
|18
|1, 10, 21, 25, 31, 1083, 40485, ...
|
|-
|20
|1, 15, 44, 77, 141, 208, 304, 1169, 3359, 5050, 22431, 34935, ...
|
|-
|22
|3, 166, 814, 1851, 2197, 3172, 3865, 19791, ...
|{{OEIS2C|A100908}}
|-
|24
|24, 321, 971, 984, ...
|
|-
|26
|1, 2, 8, 78, 79, 111, 5276, 8226, 19545, 75993, ...
|
|-
|28
|1, 2, 11, 15, 586, 993, 5048, 24990, ...
|
|-
|30
|2, 3, 57, 129, 171, 9837, 30359, 157950, ...
|
|-
|32
|1, 3, 13, 36, 111, 136, 160, 214, 330, 1273, 7407, 20487, 21276, 22123, 75210, ...
|
|-
|34
|1, 2, 14, 29, 61, 146, 2901, 6501, 8093, ...
|
|-
|36
|1, 2, 6, 15, 28, 59, 188, 216, 655, 3884, 4215, 10971, 13465, 16784, 25400, ...
|
|-
|38
|6, 279, 3490, ...
|
|-
|40
|2, 49, 144, 825, 2856, 2996, 5166, 7824, 9392, 40778, ...
|
|-
|42
|1, 3, 4, 81, 119, 2046, 2466, 4020, 7907, 8424, 25002, ...
|
|-
|44
|3, 195, 1482, 8210, 20502, 60212, 95940, ...
|
|-
|46
|1, 54, 2040, 3063, ...
|
|-
|48
|1, 207, 329, 1153, 4687, 13274, 25978, ...
|
|-
|50
|4, 38, 93, 120, 4396, 11459, 25887, ...
|
|}

{{As of|2018|2}}, ''b''進Kynea数で知られている最大の素数は (30<sup>157950</sup> + 1)<sup>2</sup> &minus; 2 である。

== 関連項目 ==
[[キャロル数]]

==参考文献==
<references/>

==外部リンク==
* {{MathWorld|title=Near-Square Prime|urlname=Near-SquarePrime}}
* [http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=121801 Prime Database entry for Kynea(661478)]
* [http://harvey563.tripod.com/Carol_Kynea.txt Carol and Kynea Primes]
* [http://www.noprimeleftbehind.net/Carol-Kynea-prime-search.htm Carol and Kynea Prime Search]

{{素数の分類}}
{{Classes of natural numbers}}

{{DEFAULTSORT:きねあ すう}}
[[Category:数列]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:数学のエポニム]]