NURBSのソースを表示

[[Image:NURBS 3-D surface.gif|thumb|right|200px|3次元のNURBS曲面は複雑で有機的な形状をとることができる。制御点は曲面の方向と位置を支配する。最下部の四角形はこの曲面のXY平面上への投影である]]
[[Image:NURBstatic.svg|thumb|right|NURBS曲線の例<br />[[:Image:Spline01.gif|Animated version]]]]
'''NURBS'''は'''Non-Uniform Rational B-Spline'''（非一様有理Bスプライン）の略で、曲線や曲面を生成するために[[コンピュータグラフィックス]]で一般的に採用される数学的モデルである。その柔軟性と正確性から[[モデラー|モデリング]]用の形状にも、解析的な用途にも向いている。

==歴史==
NURBSは[[1950年代]]に[[船体]]や[[航空機]][[自動車]]の外表面形状に使われるような{{仮リンク|自由曲面|en|Freeform surface modelling}}を数学的に正確に表現する必要のあったエンジニアらによって開発された。必要に応じていつでも同一の形状を完璧に再生成できる仕組みはそれ以前にはなく、曲面の表現には[[デザイナー]]によって形作られた物理的[[模型]]を用いる以外の方法がなかった。

この開発における[[パイオニア]]として、共にフランス出身の[[ルノー]]のエンジニア[[ピエール・ベジェ]]と[[シトロエン]]の{{仮リンク|ポール・デ・カスティリョ|en|Paul de Casteljau}} がいる。ベジエとデ・カスティリョはほとんど同時期に開発を進めており、そのことを互いに知らなかった。このモデルが一般的にコンピュータグラフィックスのユーザ間で[[スプライン曲線]]のひとつである[[ベジェ曲線]]として知られているのは、彼が自分の研究を出版したからである。いっぽうデ・カスティリョは彼の開発した[[パラメトリック曲面]]を評価するためのアルゴリズムとして知られるのみにとどまる。[[1960年代]]にNURBSはベジェ曲線を一般化したモデルであることがわかった。NURBSがその名の通り非一様有理Bスプラインであるのに対し、ベジェ曲線は一様非有理Bスプライン（uniform non-rational B-splines、ただし、一様非有理BスプラインとかUNRBSと呼ばれることはない）であるといえる。

当初はNURBSの利用は[[自動車産業|自動車メーカー]]内で用いられる商用の[[CAD]]ソフトだけに限定されていたが、その後に標準的なコンピュータグラフィックスソフトにも採用されていった。
[[1989年]]に初めて[[シリコングラフィックス|Silicon Graphics]]の[[ワークステーション]]上でリアルタイムで[[インタラクティブ]]なNURBSのレンダリングが可能になった。[[1993年]]にはCAS Berlinという[[ベルリン工科大学]]と共働関係にあった小さな[[ベンチャー|スタートアップ]]企業がNöRBSという名の[[パーソナルコンピュータ]]上で動作するNURBSモデラを開発した。NURBSの技術は現在ではほとんどの業務用のデスクトップCGソフトに採用されている。それらのソフトのほとんどは、NURBSエンジンを専門の企業から購入している。

==使用==
[[Image:motoryacht design i.png|250px|thumb|right|モーターヨットのモデリング]]
NURBSはCADや[[CAM]]、[[CAE]]で一般的に用いられており、[[IGES]]、[[ISO 10303|STEP]]、{{仮リンク|ACIS|en|ACIS}}、[[PHIGS]]など数々の[[世界標準]]に採用されている。コンピュータグラフィックスソフトやアニメーションソフトウェアパッケージにも採用されていることがある。[[Maya]]や[[Cinema 4D]]が有名である。<!--
民生品では[[2004年]]発売の[[ソニー・コンピュータエンタテインメント]] (SCE) 製携帯ゲーム機の[[PlayStation Portable]]にも搭載されている。PSPの発売当時はSCEの主力据え置きゲーム機であった[[PlayStation 2]]にすら搭載されていない新機能であるとして話題になった。--><!--数式を計算するだけならファミコンにすら「搭載」可能です。多分グラフィックプロセッサの機能か何かなのだと思いますが、「搭載」ではなくまともに説明できないようでは特筆事項になりません-->

NURBSはコンピュータプログラムにとって都合がよいだけでなく、人間による編集にも向いている。NURBS曲線を布の縦糸と横糸に使ったものがNURBS曲面といえる。その形状は制御点(control point)により定義され、制御点を編集し移動することによって曲面形状を変化させられる。
NURBS曲面は特に、やや単純な幾何形状をコンパクトに表現するのに強みがある。俗に有機的曲面と呼ばれるキャラクタなどのモデリングには[[サブディビジョンサーフェス]]が向いており、実際ゲーム業界やアニメーション業界ではNURBSよりもこちらのほうが普及している。サブディビジョンサーフェスは全体が柔らかい生物的なモデルには無類の強さを誇るが、数学的に尖った角のある形状はどうしても表現できないためCADでの利用はまずない。NURBSの数学的な正確性という強みとサブディビジョンサーフェスの柔らかな形状という強みを併せ持った新しいスプラインが[[T-スプライン]]である。これらはNURBSの2分の1の制御点数で柔らかな形状を表現できる。

一般的に言って、NURBS曲線やNURBS曲面の編集は極めて直観的で予想を裏切らないものである。モデリングはベジェ曲線のように要素の制御点をいじって編集することもできるし、より高度な[[スプラインモデリング]]のような階層状の制御を行うこともできる。スプラインモデリングとは、NURBS曲面の四角い「布」のうち数辺のみをNURBS曲線で定義して曲面そのものの生成はソフトに任せる方法である。こうすることで本来無数の制御点が必要になるような複雑な形状をずっと少ない制御点で表現されるスプライン数本で滑らかに表すことができる。

==曲線・曲面の連続性==
{{main|滑らかな関数}}
例えばモーターヨットの船体の表面をモデリングしていると仮定しよう。大抵の場合、モデルはNURBS曲面1枚では表しきれない（モーターヨットを一枚の伸縮自在の布で包むことは相当無理をすれば不可能ではないが、NURBSの性質上避けるべきである）。そのため「パッチ」と呼ばれる何枚かのNURBS曲面をつなぎあわせて継ぎ接ぎをすることになる。モーターヨットの船体を滑らかにしたい場合、継ぎ接ぎの跡は残したくない。複数のNURBS曲面を滑らかに、あたかも一枚の曲面であるかのように溶け込ませあうためには、数学的な[[幾何的連続性]]を確保しなければならない。

NURBSの特徴を活かし、高度なモデリングツールでは幾何的連続性を様々なレベルで実現することが可能である。

位置連続Positional continuity (G0): 2つの曲線・曲面が当該部分で「接続」されていることを保証する。接続しているだけなので、尖ったコーナーやエッジが生じる可能性がある。こういった接続では[[ハイライト]]は繋がっておらずトリップする。また製造過程で問題を起こすことがある。

接線連続Tangential continuity (G1): 当該部分でのベクトルが平行で、同じ方向を向いていることを保証する。この接続ではハイライトは繋がっているが滑らかでないことがある。ただネジやエンジン内部など審美的な要素の低い一般的な工業製品では十分な滑らかさである。このレベルの滑らかさを持っているサーフェスをクラスBサーフェスClass-B Surfaceと呼ぶことがある。エッジに単純な角丸（フィレット）をかけた場合、そのエッジは接線連続になる。

曲率連続Curvature continuity (G2): 接線連続G1よりさらに厳しく、当該部分でのベクトルが同じ長さであることを保証する。曲率連続なエッジに落ちるハイライトは滑らかであるため、それら2つのサーフェスはあたかもひとつであるかのように見える。そのため人目に触れやすい外面の表面はこのレベルで表現されていることが望ましい。このレベルの滑らかさを持っているサーフェスをクラスAサーフェスClass-A Surfaceと呼ぶことがある。iPhoneなどのApple製品や一般的な自動車は曲率連続のサーフェスでモデリングされている。{{節スタブ}}
<!--
Geometric continuity mainly refers to the shape of the resulting surface; since NURBS surfaces are functions, it is also possible to discuss the derivatives of the surface with respect to the parameters. This is known as [[parametric continuity]]. Parametric continuity of a given degree implies geometric continuity of that degree.

First- and second-level parametric continuity (C0 and C1) are for practical purposes identical to positional and tangential (G0 and G1) continuity.  Third-level parametric continuity (C2), however, differs from curvature continuity in that its parameterization is also continuous.  In practice, C2 continuity is easier to achieve if uniform B-splines are used.

The definition of the continuity 'C''n''' requires that the ''n''<sup>th</sup> derivative of the curve/surface (<math>d^n C(u)/du^n</math>) are equal at a joint.<ref>Foley, van Dam, Feiner & Hughes: ''[[Computer Graphics: Principles and Practice]]'', section 11.2, [[Addison-Wesley]] 1996 (2nd ed.).</ref> Note that the (partial) derivatives of curves and surfaces are vectors that have a direction and a magnitude. Both should be equal.

Highlights and reflections can reveal the perfect smoothing, which is otherwise practically impossible to achieve without NURBS surfaces that have at least G2 continuity. This same principle is used as one of the surface evaluation methods whereby a [[Ray tracing (graphics)|ray-traced]] or [[reflection mapping|reflection-mapped]] image of a surface with white stripes reflecting on it will show even the smallest deviations on a surface or set of surfaces.  This method is derived from car prototyping wherein surface quality is inspected by checking the quality of reflections of a neon-light ceiling on the car surface. This method is also known as "Zebra analysis".
-->

==技術的な定義==
'''NURBS曲線'''はその''次数''とウェイトの指定された複数の''制御点''のセット、そして''ノットベクトル''で構成される<ref>{{cite book
| title = Bio-Inspired Self-Organizing Robotic Systems
| doi = 10.1007/978-3-642-20760-0
|isbn=978-3-642-20759-4
|editor=Meng, Yan, Jin, Yaochu
|publisher=Springer
| accessdate = 2014-01-06
| page = 9
}}</ref>。前述のとおりNURBSはB-スプラインとベジエ曲線の一般化された表現だが、最大の違いは制御点がウェイトを持つことである。ウェイトを持つことを表すのが''有理rational''であるということで、NURBSはB-スプラインの有理である特別なケースである。<!-- 一般化generalizedされたB-Splineとあるのにその直後に特別なケースspecialと言っているのが少しわかりにくい -->
[[Image:Surface modelling.svg|400px|right]]
ベジエやNURBS曲線に含まれるパラメータ（媒介変数）を様々な値に変化させるとその曲線は2, または3次元の[[直交座標系]]上で表せる。同様にベジエやNURBS曲面に含まれるパラメータ（媒介変数）を様々な値に変化させるとその曲面は直交座標系上で表せる。
NURBS曲線／曲面は以下の点で有用である：
* [[アフィン変換]]を行っても[[不変量|不変]]である<ref>{{Cite book|author=David F. Rogers |date=2001|title=An Introduction to NURBS with Historical Perspective |capter=section 7.1 |oclc=319637975}}</ref>。そのため回転や移動（これらは代表的な[[アフィン写像である]]）といった変換を各制御点ごとに行えばNURBS曲線や曲面もそっくりそのまま変換される
* 自由曲面と、[[円錐]]や[[円柱 (数学)|円柱]]などの幾何的で標準的な形状の両方を表せる。例えばベジエ曲面は正確な円を表せないという致命的な欠陥があるがNURBSは可能である
* あらゆる性質の表面を表現できる柔軟性。生物的な形状もサブディビジョンサーフェスなどに比べればやや難度が高いだけで可能だし、ベジエでは難しい曲率連続の曲面も作れる
* [[ポリゴンメッシュ]]などのより単純な方法に比べ、少ないメモリ消費で形状を表現できる
* [[数値的安定性|数値的に安定]]で正確なアルゴリズムを用いてかなり速く形状を評価できる

以下の節では2次元上のNURBS曲線に限定して記述するが、全ての記述は3次元上、またはそれ以上の次元においても適用可能であることに留意してほしい。
===制御点===
制御点は一般に曲線上の点ではなく、曲線の形状を決定するために用いられる{{Sfn|Gershenfeld|1999|p=141}}。曲線上のとある点の位置は、その前後に配置されたいくつかの制御点の位置の重み付き線形和で表現される。制御点が曲線上の各点に与える影響は、その点と制御点の間の距離によって定義され、一般には距離が短いほど影響が大きくなる。次数<math>d</math>の曲線、すなわち各制御点への重みがパラメータ<math>t</math>の<math>d</math>次多項式で定まる[[基底関数]]により表現される場合を考えると、パラメータ空間は各制御点により<math>d+1</math>個に分割され、その区間内でのみ曲線上の点に影響を与える。これらの区間の両端では、基底関数の値は滑らかに0に近づく。この時の曲線の滑らかさは曲線の次数<math>d</math>により決定される。

基底関数の一例として次数が1のものを考えると、これは[[三角形関数|三角形関数（テント関数）]]であり、その値は0から1へ向かって線形に上昇し、その後、1から0へ向かって線形に降下する。この場合、次数が1であることから、曲線のとある区間上の点は2つの制御点から影響を受ける。基底関数が0から1へと上昇する間に、2つの制御点のうち手前の制御点からの影響が低下していく。この結果として得られる曲線（曲面）は基底関数の連続性から、ポリライン（あるいはポリゴン）であり、連続性を持つものの、制御点が影響を与える区間の端点においては微分不可能である。なお、区間の内部の点においては、基底関数が多項式であり、基底関数により定まる重みと制御点の位置の線形和で曲線が定義される以上、曲線は十分に滑らかで無限階微分可能である。

多くのアプリケーションにおいて、上記のような制御点が特定の区間内の曲線にのみ影響を与える、すなわち基底関数の台が局所的であることが有利に働く。三次元形状のモデリングにおいては、一つの制御点を移動して形を整える際、一部の形状のみが変化して、それ以外の領域には影響を与えないためである。

とある曲線（例えばペンで紙にスケッチしたカーブ）を制御点により定義される多項式曲線により近似したい場合、理論上は制御点は多ければ多いほど近い形状を得ることができる一方で、有限個数の制御点で表せる曲線には限界がある。そのため、NURBS曲線において、個々の制御点には[[ウェイト]]というスカラー量が設定されており、これにより制御点の数を増やすことなく、より自由度の高い曲線の表現が可能となっている。NURBS曲線の一種と考えられる[[B-スプライン曲線]]等では各制御点への重みは一様に1となっているが、これを一部のみ2とすればその制御点の影響力が2倍になり、0とあれば影響力はなくなる。このような重みの非一様性（non-unifomity）の結果として各制御点にかかる重み付き線形和の係数が[[有理関数]]（rational function）で表されることがNURBS（Non-Uniform Rational B-Spline）の名前の由来である。この結果としてNURBS曲線は、主に円や楕円などの[[円錐曲線]]を数学的に厳密に表現できることに加え、通常の三次元モデリングにおいては、この他の[[スプライン曲線]]と同様に、重みを意識せずに利用することができる。

また、曲線や曲面といった形状処理以外の応用に目を向けると、制御点には一般的な次元の概念を見いだせる。通常、曲線を定義する場合には二次元座標上の点を、曲面を定義する場合には三次元座標上の点を制御点として用いるが、制御点の次元が二次元ないし三次元である必要はない。例えば一次元の制御点は画像処理におけるトーンマッピング曲線を定義などの目的で用いられている。また、[[ロボットアーム]]の制御においては、アームの制御空間の次元は、アームの動きの自由度と等しくなり、一般に3より大きな値をとる。そのため、ロボットアームの制御において、より滑らかな動きを実現する目的では、より高次元の制御点により定義された高次元空間上の曲線が用いられる。このように、制御点と曲線は同一の次元を持つ空間上に定義され、ある一次元の曲線パラメータによって曲線が定義されるが、複数のパラメータの間で制御点を補間することにより、曲面やより高次元の超曲面を定義することも可能となる。

<!--
The control points can have any [[dimensionality]]. One-dimensional points just define a [[scalar (mathematics)|scalar]] function of the parameter. These are typically used in image processing programs to tune the brightness and color curves. Three-dimensional control points are used abundantly in 3D modeling, where they are used in the everyday meaning of the word 'point', a location in 3D space.
Multi-dimensional points might be used to control sets of time-driven values, e.g. the different positional and rotational settings of a robot arm. NURBS surfaces are just an application of this. Each control 'point' is actually a full vector of control points, defining a curve. These curves share their degree and the number of control points, and span one dimension of the parameter space. By interpolating these control vectors over the other dimension of the parameter space, a continuous set of curves is obtained, defining the surface.

-->

===ノットベクトル===
{{節スタブ}}<!--
The knot vector is a sequence of parameter values that determines where and how the control points affect the NURBS curve. The number of knots is always equal to the number of control points plus curve degree plus one (i.e. number of control points plus curve order). The knot vector divides the parametric space in the intervals mentioned before, usually referred to as ''knot spans''. Each time the parameter value enters a new knot span, a new control point becomes active, while an old control point is discarded.
It follows that the values in the knot vector should be in nondecreasing order, so (0, 0, 1, 2, 3, 3) is valid while (0, 0, 2, 1, 3, 3) is not.

Consecutive knots can have the same value. This then defines a knot span of zero length, which implies that two control points are activated at the same time (and of course two control points become deactivated). This has impact on continuity of the resulting curve or its higher derivatives; for instance, it allows the creation of corners in an otherwise smooth NURBS curve.
A number of coinciding knots is sometimes referred to as a knot with a certain '''multiplicity'''. Knots with multiplicity two or three are known as double or triple knots.
The multiplicity of a knot is limited to the degree of the curve; since a higher multiplicity would split the curve into disjoint parts and it would leave control points unused. For first-degree NURBS, each knot is paired with a control point.

The knot vector usually starts with a knot that has multiplicity equal to the order. This makes sense, since this activates the control points that have influence on the first knot span. Similarly, the knot vector usually ends with a knot of that multiplicity.
Curves with such knot vectors start and end in a control point.

The the values of the knots control the mapping between the input parameter and the corresponding NURBS value. For example, if a NURBS describes a path through space over time, the knots control the time that the function proceeds past the control points. For the purposes of representing shapes, however, only the ratios of the difference between the knot values matter; in that case, the knot vectors (0, 0, 1, 2, 3, 3) and (0, 0, 2, 4, 6, 6) produce the same curve. The positions of the knot values influences the mapping of parameter space to curve space. Rendering a NURBS curve is usually done by stepping with a fixed stride through the parameter range. By changing the knot span lengths, more sample points can be used in regions where the curvature is high. Another use is in situations where the parameter value has some physical significance, for instance if the parameter is time and the curve describes the motion of a robot arm. The knot span lengths then translate into velocity and acceleration, which are essential to get right to prevent damage to the robot arm or its environment. This flexibility in the mapping is what the phrase ''non uniform'' in NURBS refers to.

Necessary only for internal calculations, knots are usually not helpful to the users of modeling software.  Therefore, many modeling applications do not make the knots editable or even visible. It's usually possible to establish reasonable knot vectors by looking at the variation in the control points. More recent versions of NURBS software (e.g., [[Maya|Autodesk Maya]] and [[Rhinoceros 3D]]) allow for interactive editing of knot positions, but this is significantly less intuitive than the editing of control points.
-->
===ノットと制御点の違い===
{{節スタブ}}<!--
A common misconception is that each knot is paired with a control point. This is true only for degree 1 NURBS (polylines). For higher degree NURBS, there are groups of 2 x degree knots that correspond to groups of (degree+1) control points. For example, suppose we have a degree 3 NURBS with 7 control points and knots 0,0,0,1,2,5,8,8,8. The first four control points are grouped with the first six knots. The second through fifth control points are grouped with the knots 0,0,1,2,5,8. The third through sixth control points are grouped with the knots 0,1,2,5,8,8. The last four control points are grouped with the last six knots.

Some modelers that use older algorithms for NURBS evaluation require two extra knot values for a total of (degree+N+1) knots.<ref name="What is NURBS Geometry">[http://www.rhino3d.com/nurbs/]</ref>
-->
===次数と階数===
NURBS曲線の''階数order''は、その曲線上の任意の点へ影響をおよぼす制御点の数である。''次数degree''はその曲線の項の数である。階数＝次数+1であり、曲線は次数（つまり階数−1）個の項をもつ多項式であらわされる。階数2のNURBS曲線の次数は1であり、つまりy=ax+bのような直線である。次数2のNURBS曲線の階数は3となり、2つの項で構成される''線形''多項式で表現される。そのため[[円錐曲線|二次曲線]]と呼ばれる。同様に階数4であれば次数3, [[3次関数]]を表す。制御点の数は階数以上である必要がある。大抵のCADではそれ以下の制御点で曲線描画が終われないか、そうでなければとりうる最高の階数に置き換えられる（例えば[[Rhinoceros 3D]]で次数5に指定して曲線を描く場合、ほんとうに次数5の曲線にしたいのならば初点と終点を含めて6点以上制御点をうてばよく、4点しか打たなかった場合は次数が3、3点しか指定しなかった場合は次数が2の曲線になる）。

定義上は階数5や階数7のものも問題ないが、実際のCADでは2,3,4,6,8（それぞれ次数が1,2,3,5,7）、特にほとんどの用途がこなせる階数4=次数3の曲線が多く用いられる。高い階数のものはより滑らかになるが、高すぎる階数は内部的に数値的問題を引き起こしやすく、しかも計算が無意味に遅くなるため実用上意味がない。

===基底関数===
{{節スタブ}}
NURBSの基底関数はB-スプラインの基底関数と同じものを使う（NURBSはB-スプラインの一族に属する）。ふつう<math>N_{i,n}(u)</math>で表される。ここで<math>i</math> は<math>i</math>番目の制御点に対応し、<math>n</math>は基底関数の次数である<ref>Les Piegl & Wayne Tiller: ''The NURBS Book'', chapter 2, sec. 2</ref>。媒介変数の依存性(<math>u</math>)はしばしば問題にならないため<math>N_{i,n}</math>と表されることが多い。<!-- この基底関数の定義は<math>n</math>について再帰である。←ここよくわからなかったのでコメントアウトします。原文はThe definition of these basis functions is recursive in <math>n</math>. -->

次数<math>n=0</math>の関数<math>N_{i,0}</math>は[[定数関数]]となる。対応するノットの範囲で1であり、それ以外のノットでは0になる。
同様に考えていくと、<math>N_{i,n}</math>は<math>N_{i,n-1}</math>と<math>N_{i+1,n-1}</math>の線形近似である。
<!--
The latter two functions are non-zero for
<math>n</math> knot spans, overlapping for <math>n-1</math> knot spans.  The function <math>N_{i,n}</math> is computed as

[[Image:nurbsbasisconstruct.svg|thumb|right|From top to bottom: Linear basis functions <math>N_{1,1}</math> (blue) and <math>N_{2,1}</math> (green) (top), their weight functions <math>f</math> and <math>g</math> (middle) and the resulting quadratic basis function (bottom). The knots are 0, 1, 2, and 2.5]]

: <math>N_{i,n} = f_{i,n} N_{i,n-1} + g_{i+1,n} N_{i+1,n-1}</math>

<math>f_i</math> rises linearly from zero to one on the interval where <math>N_{i,n-1}</math> is non-zero, while <math>g_{i+1}</math> falls from one to zero on the interval where <math>N_{i+1,n-1}</math> is non-zero. As mentioned before, <math>N_{i,1}</math> is a triangular function, nonzero over two knot spans rising from zero to one on the first, and falling to zero on the second knot span. Higher order basis functions are non-zero over corresponding more knot spans and have correspondingly higher degree. If <math>u</math> is the parameter, and <math>k_i</math> is the <math>i</math><sup>th</sup> knot, we can write the functions <math>f</math> and <math>g</math> as

: <math>f_{i,n}(u) = {{u - k_i} \over {k_{i+n} - k_i}}</math>

and

: <math>g_{i,n}(u) = {{k_{i+n} - u} \over {k_{i+n} - k_{i}}}</math>

The functions <math>f</math> and <math>g</math> are positive when the corresponding lower order basis functions are non-zero. By [[mathematical induction|induction]] on n it follows that the basis functions are non-negative for all values of <math>n</math> and <math>u</math>. This makes the computation of the basis functions numerically stable.

Again by induction, it can be proved that the sum of the basis functions for a particular value of the parameter is unity. This is known as the '''partition of unity''' property of the basis functions.

[[Image:nurbsbasislin2.png|frame|Linear basis functions]]

[[Image:nurbsbasisquad2.png|frame|Quadratic basis functions]]

The figures show the linear and the quadratic basis functions for the knots {..., 0, 1, 2, 3, 4, 4.1, 5.1, 6.1, 7.1, ...}

One knot span is considerably shorter than the others. On that knot span, the peak in the quadratic basis function is more distinct, reaching almost one. Conversely, the adjoining basis functions fall to zero more quickly. In the geometrical interpretation, this means that the curve approaches the corresponding control point closely. In case of a double knot, the length of the knot span becomes zero and the peak reaches one exactly. The basis function is no longer differentiable at that point. The curve will have a sharp corner if the neighbour control points are not collinear.
-->

===NURBS曲線の一般式===
前節で説明した基底関数<math>N_{i,n}</math>を用いて、NURBS曲線Cは一般に次のような式で表すことができる<ref>Les Piegl & Wayne Tiller: ''The NURBS Book'', chapter 4, sec. 2</ref>。

: <math>C(u) = \sum_{i=1}^{k} {\frac
{N_{i,n}w_i}
{\sum_{j=1}^k N_{j,n}w_j}}
\bold{P}_i = \frac
{\sum_{i=1}^k {N_{i,n}w_i \bold{P}_i}}
{\sum_{i=1}^k {N_{i,n}w_i}}
</math>

ここで、 <math>k</math>は制御点の個数。制御点<math>\bold{P}_i</math>はウェイト<math>w_i</math>を持つ。分母は[[正規化係数]]であり、全てのウェイトが1である場合1になる。この式は通例次のように記述される：
: <math>C(u)=\sum_{i=1}^k R_{i,n}(u)\bold{P}_i</math>

ここで関数<math>R_{i,n}(u)</math>

: <math>R_{i,n}(u) = {N_{i,n}(u)w_i \over \sum_{j=1}^k N_{j,n}(u)w_j}</math>

は''有理基底関数''と呼ばれる。
===NURBS曲面の一般式===
NURBS曲面はNURBS曲線の[[テンソル積]]で得られる。2つの独立媒介変数<math>u</math>と<math>v</math> で表される。(それぞれ<math>i</math>と <math>j</math>に対応する):<ref>Les Piegl & Wayne Tiller: ''The NURBS Book'', chapter 4, sec. 4</ref>
: <math>S(u,v) = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l R_{i,j}(u,v) \bold{P}_{i,j} </math>

またこの場合有理基底関数は

: <math>R_{i,j}(u,v) = \frac {N_{i,n}(u) N_{j,m}(v) w_{i,j}} {\sum_{p=1}^k \sum_{q=1}^l N_{p,n}(u) N_{q,m}(v) w_{p,q}}</math>

となる。

==NURBSオブジェクトの変形==
{{節スタブ}}

NURBSオブジェクトには様々な変形をほどこすことができる。例えばある曲線が次数<math>d</math>であり<math>n</math>個の制御点で表されているとしよう。全く同じ曲線が次数<math>d</math>であり<math>n+1</math>個の制御点で表すことができる。ただそのためには複数の制御点の位置が変更され、またノットがひとつノットベクトルに追加されることになる。

こういった変形はデザインの過程で様々な方法で用いられている。以下に変形の例を示す<ref>Les Piegl & Wayne Tiller: ''The NURBS Book'', chapter 5</ref><ref>{{Cite journal| author=L. Piegl |title=Modifying the shape of rational B-splines. Part 1: curves |journal=Computer-Aided Design |volume=21 |issue=8 |date=October 1989 |pages= 509-518 |issn=0010-4485 |doi=10.1016/0010-4485(89)90059-6 }}</ref>。

===ノットの追加===
'''ノットの追加'''は文字通りノットをノットベクトルに追加する変形。曲線の次数が<math>d</math>であるとき、<math>d-1</math>個の制御点が新しい<math>d</math>個の制御点で置き換えられる。ノットの追加は曲線の形状自体は変更しないが、制御点は移動する。ノットは複数回追加できる。
<!--
=== Knot removal ===
'''Knot removal''' is the reverse of knot insertion. Its purpose is to remove knots and the associated control points in order to get a more compact representation. Obviously, this is not always possible while retaining the exact shape of the curve. In practice, a tolerance in the accuracy is used to determine whether a knot can be removed. The process is used to clean up after an interactive session in which control points may have been added manually, or after importing
a curve from a different representation, where a straightforward conversion process leads to redundant control points.

=== Degree elevation ===
A NURBS curve of a particular degree can always be represented by a NURBS curve of higher degree. This is frequently used when combining separate NURBS curves,
e.g., when creating a NURBS surface interpolating between a set of NURBS curves or when unifying adjacent curves. In the process, the different curves should be brought to the same degree, usually the maximum degree of the set of curves. The process is known as '''degree elevation'''.
-->

===曲率===
[[微分幾何学]]において最も重要なのは[[曲率]]<math>\kappa</math>である。曲率はその曲線のエッジやコーナーなど局部的な様子を示すのに最適である。1次と2次の導関数の関係性を示すものでもあるため、曲線の形状を正確に知るためにも有用である。一度導関数がわかれば簡単な計算で曲線全体の曲率がわかる。

<math>\kappa=\frac{|r'(t) \times r''(t)|}{|r'(t)|^3}</math>
または近似式で2次導関数の弧長で計算することもできる：
<math>\kappa=|r''(s_o)|</math>.
このような曲率の直接的な計算ができることは、[[ポリゴンメッシュ|ポリゴンによる表現]]に対するNURBSのような媒介変数曲線の大きな強みである。

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
<references />

== 参考文献 ==
{{More footnotes|date=April 2009}}
{{Refbegin|2}}
* {{Cite book|first=Les |last=Piegl |first2=Wayne |last2=Tiller |title=The NURBS Book'' |publisher=Springer-Verlag |year=1995–1997 |edition=2nd |chapter=The main reference for Bézier, B-Spline and NURBS; chapters on mathematical representation and construction of curves and surfaces, interpolation, shape modification, programming concepts. |oclc=319637975 }}
* Thomas Sederberg (Semester 2011) ''NURBS'', {{PDFlink|[http://cagd.cs.byu.edu/~557/text/ch6.pdf Chapter 6: B-splines]}}, BYU, Syllabus Builder.
* {{Cite journal|first=Lyle |last=Ramshaw |title=Blossoming: A connect-the-dots approach to splines |journal=Research Report 19, |publisher=Compaq Systems Research Center |location=Palo Alto, CA |date=June 1987 |url=http://www.hpl.hp.com/techreports/Compaq-DEC/SRC-RR-19.pdf |format=PDF }}
* {{Cite book|first=David F. |last=Rogers |title=An Introduction to NURBS with Historical Perspective |publisher=Morgan Kaufmann Publishers |year=2001 |oclc=319637975}} Good elementary book for NURBS and related issues.
* {{Cite book|last=Gershenfeld |first=Neil A. |title=The nature of mathematical modeling |publisher=Cambridge university press |year=1999 |isbn=0-52157095-6 |ref=harv}}
* Gerald E. Farin:「NURBS 射影幾何学から実務まで（第2版）」、共立出版、ISBN 978-4-320-01679-8（2001年8月10日）.
** Gerald Farin: ''NURBS FOR CURVES AND SURFACE DESIGN'', SIAM, ISBN 0-89871286-6 (1991).
{{Refend}}

==関連項目==
* [[PlayStation Portable]]

==外部リンク==
* [http://www.rw-designer.com/NURBS Clear explanation of NURBS for non-experts]
* [http://geometrie.foretnik.net/files/NURBS-en.swf Interactive NURBS demo]
* [http://www.cs.wpi.edu/~matt/courses/cs563/talks/nurbs.html About Nonuniform Rational B-Splines - NURBS]
* [http://ibiblio.org/e-notes/Splines/Intro.htm An Interactive Introduction to Splines]
* http://www.cs.bris.ac.uk/Teaching/Resources/COMS30115/all.pdf
* http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/AV0405/DONAVANIK/bezier.html
* http://mathcs.holycross.edu/~croyden/csci343/notes.html (Lecture 33: Bézier Curves, Splines)
* http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/notes.html
* [http://octave.sourceforge.net/nurbs A free software package for handling NURBS curves, surfaces and volumes] in [[Octave]] and [[Matlab]]

{{Applied-math-stub}}
{{Software-stub}}

{{DEFAULTSORT:NURBS}}
[[Category:CAD]]
[[Category:曲線]]
[[Category:コンピュータグラフィックス]]
[[Category:補間]]
[[Category:数学に関する記事]]