P進ホッジ理論のソースを表示

{{DISPLAYTITLE:''p''進ホッジ理論}}
'''''p'' 進ホッジ理論'''（ピーしんホッジりろん、{{lang-en-short|p-adic Hodge theory}}）とは、剰余体の標数が[[素数]] ''p'' である[[標数|標数0]]の[[局所体]]<ref group="注釈">この記事では、''局所体''とは[[完備距離空間|完備]][[離散付値|離散付値体]]であって剰余体が[[完全体]]であるものとする。</ref>（例えば ''p'' 進数体 [[P進数|'''Q'''<sub>''p''</sub>]]）の[[ガロア表現|''p'' 進ガロア表現]]の分類や研究をする数学の理論である。この理論は[[ジャン＝ピエール・セール]]と[[ジョン・テイト]]による[[アーベル多様体]]の{{仮リンク|テイト加群|en|Tate module}}と[[ホッジ・テイト加群|ホッジ・テイト表現]]の研究にはじまる。ホッジ・テイト表現は[[ホッジ分解]]に似た ''p'' 進[[コホモロジー]]の分解と関係があることに因み、''p'' 進ホッジ理論という名前がつけられた。[[代数多様体]]の[[エタール・コホモロジー]]から生じる ''p'' 進ガロア表現を研究対象として発展を遂げた。この理論における多くの基本的な概念は{{仮リンク|ジャン＝マルク・フォンテーヌ|en|Jean-Marc Fontaine}}により生み出された。

==''p'' 進表現の分類==
''K''を、局所体であってその剰余体 ''k'' の標数が ''p'' であるものとする。''K'' の[[絶対ガロア群]]''G<sub>K</sub>'' から '''Q'''<sub>''p''</sub> 上の有限次元[[ベクトル空間]] ''V'' の一般線形群への[[連続_(数学)|連続]]準同型 &rho; : ''G<sub>K</sub>''→ GL(''V'') を、この記事では ''K'' の ''p 進表現''と呼ぶことにする。''K'' の ''p'' 進表現全体は[[アーベル圏]]を構成する。そのアーベル圏をこの記事では <math>\mathrm{Rep}_{\mathbf{Q}_p}(K)</math> と表す。''p'' 進ホッジ理論では ''p'' 進表現を振る舞いの良さによって分類する。振る舞いの良さが同じものは <math>\mathrm{Rep}_{\mathbf{Q}_p}(K)</math> の部分圏を構成し、その部分圏から研究が容易な[[線型代数学|線型代数]]的な対象からなる圏への[[忠実関手]]が、''p'' 進ホッジ理論により得られる。基本となる部分圏とその包含関係は次の図で示される<ref>{{harvnb|Fontaine|1994|p=114}}</ref>。
:<math>\operatorname{Rep}_\mathrm{cris}(K)\subsetneq\operatorname{Rep}_{st}(K) \subsetneq \operatorname{Rep}_{dR}(K)\subsetneq \operatorname{Rep}_{HT}(K) \subsetneq \operatorname{Rep}_{\mathbf{Q}_p}(K)</math>
図中の部分圏はその右側の部分圏に真に含まれる[[充満部分圏]]であり、左から順番に、クリスタリン表現、準安定表現、ド・ラム表現、ホッジ・テイト表現、全ての ''p'' 進表現の圏と呼ばれる。これらに加えて、潜在的クリスタリン表現の圏 Rep<sub>pcris</sub>(''K'') と潜在的準安定表現の圏 Rep<sub>pst</sub>(''K'') が考察の対象となる。後者は前者を真に含み、前者は一般に Rep<sub>cris</sub>(''K'') を真に含む。さらに、 Rep<sub>pst</sub>(''K'') は一般に Rep<sub>st</sub>(''K'') を真に含み、Rep<sub>dR</sub>(''K'') に含まれる。''K'' の剰余体が有限体であれば Rep<sub>pst</sub>(''K'') = Rep<sub>dR</sub>(''K'') が成り立つ。このことは ''p'' 進モノドロミー定理と呼ばれている。

==<span id="周期環"></span>周期環と数論幾何学における比較同型 ==
フォンテーヌは、{{仮リンク|p 進周期環|label=''B''<sub>dR</sub>|en|Ring of p-adic periods}}、''B''<sub>st</sub>、''B''<sub>cris</sub>、''B''<sub>HT</sub>といった ''G<sub>K</sub>'' の[[群作用|作用]]とある種の線形代数的構造を持つ'''周期環'''<ref group="注釈">これらの環は考えている局所体 ''K'' に依存するが、その依存関係は記号から省略するのが一般的である。</ref>と呼ばれる環をつくり、周期環 ''B'' と ''p'' 進表現 ''V'' に対して、いわゆる'''デュドネ加群'''
:<math>D_B(V)=(B\otimes_{\mathbf{Q}_p}V)^{G_K}</math>
を考えるという ''p'' 進ホッジ理論の研究手法を考案した。デュドネ加群は ''G<sub>K</sub>'' 作用は持たないが、線型代数的構造を ''B'' から受け継いでおり、 特に固定体 <math>E:=B^{G_K}</math> 上のベクトル空間になっている<ref group="注釈">''B'' = ''B''<sub>HT</sub>, ''B''<sub>dR</sub>, ''B''<sub>st</sub>, ''B''<sub>cris</sub> に対して、<math>B^{G_K}</math> はそれぞれ ''K'', ''K'', ''K''<sub>0</sub>, ''K''<sub>0</sub> である。ここで、''K''<sub>0</sub> = Frac(''W''(''k''))、すなわち ''k'' の{{仮リンク|ヴィット・ベクトル|en|Witt vector}}の[[商体]]である。</ref>。この記号を使ってフォンテーヌによる {{仮リンク|B許容表現|label=''B'' 許容表現|en|B-admissible representation}}の理論に当てはめることにより、先の ''p'' 進表現の部分圏は定義される。すなわち、* を HT、dR、st、crisのいずれかとすると、圏 Rep<sub>∗</sub>(''K'')は周期環 ''B''<sub>∗</sub> に対して
:<math>\dim_ED_{B_\ast}(V)=\dim_{\mathbf{Q}_p}V</math>
が成り立つ、もしくは、同じことであるが、 {{仮リンク|B許容表現|label=比較射|en|B-admissible representation}}
:<math>\alpha_V:B_\ast\otimes_ED_{B_\ast}(V)\longrightarrow B_\ast \otimes_{\mathbf{Q}_p}V</math>
が[[同型写像]]となるような ''p'' 進表現 ''V'' 全体からなる圏として定義される。

この定式化と周期環という名前は、 [[数論幾何学|数論]]と[[複素幾何学]]における比較同型写像に関連した研究結果と予想に起源を持つ:

* ''X'' を複素数体 '''[[複素数|C]]''' 上の[[固有射|固有]]かつ[[滑らかな射|滑らかな]] な[[概型|スキーム]]とする。''X'' の '''C''' 上の[[ケーラー微分|代数的ド・ラームコホモロジー]] と ''X''('''C''') の[[特異ホモロジー#コホモロジー|特異コホモロジー]] の間には古典的な比較同型写像
::<math>H^\ast_{\mathrm{dR}}(X/\mathbf{C})\cong H^\ast(X(\mathbf{C}),\mathbf{Q})\otimes_\mathbf{Q}\mathbf{C}</math>
:が存在する。この同型写像は、[[微分形式]]を[[代数的サイクル|サイクル]]に沿って[[積分法|積分]]することで定義される代数的ド・ラーム・コホモロジーと特異コホモロジーの{{仮リンク|ペアリング|en|pairing}}を考えることにより定義される。この積分の積分値は[[周期 (数体系)|周期]]と呼ばれる複素数であるが、一般には有理数にはならない。これが、比較同型写像の定式化で特異コホモロジーに '''C''' を[[係数環の変更#係数拡大|テンソル]]することが必要な理由である。複素数体 '''C''' は代数的 ド・ラームコホモロジーと特異コホモロジーの比較同型に必要な全ての周期を含んでいるので、そのことに鑑みて '''C''' をこの古典的な状況での周期環と呼んでもよいだろう。

*60年代半ば、テイトは、''K'' 上の固有かつ滑らかなスキーム ''X'' に対して、同様の同型写像が代数的ド・ラーム・コホモロジーと ''p'' 進エタール・コホモロジーの間に存在するだろうと予想した（ホッジ・テイト予想、C<sub>HT</sub> とも表記される）<ref>{{harvnb|Serre|1967}} 参照</ref>。予想を述べるためにいくつか記号を導入する。'''C'''<sub>''K''</sub> を ''K'' の[[代数的閉包]]の [[完備距離空間#完備化|完備化]]、'''C'''<sub>''K''</sub>(''i'') を '''C'''<sub>''K''</sub> に ''G<sub>K</sub>'' を ''g''·''z'' = χ(''g'')<sup>''i''</sup>''g''·''z'' で作用させたもの（χ は [[円分指標|''p'' 進円分指標]]、''i'' は整数）、そして <math>B_{\mathrm{HT}}:=\oplus_{i\in\mathbf{Z}}\mathbf{C}_K(i)</math> と置く。テイトの予想とは、''G<sub>K</sub>'' 作用を持つ[[次数付きベクトル空間]]としての同型
::<math>B_{\mathrm{HT}}\otimes_K\mathrm{gr}H^\ast_{\mathrm{dR}}(X/K)\cong B_{\mathrm{HT}}\otimes_{\mathbf{Q}_p}H^\ast_{\mathrm{\acute{e}t}}(X\times_K\overline{K},\mathbf{Q}_p)</math>
:が存在し、かつこれは関手間の同型射となるであろうというものである（<math>\mathrm{gr}H^\ast_{\mathrm{dR}}</math> はド・ラーム・コホモロジーの[[ホッジ構造#ホッジ構造の定義|ホッジ・フィルトレーション]]に随伴する次数付き環）。テイトをはじめとする多くの数学者の貢献ののち、この予想は[[ゲルト・ファルティングス]]によって80年代後半に証明された<ref>{{harvnb|Faltings|1988}}</ref>。

*''p'' 進体 ''K'' 上の良い還元を持つアーベル多様体 ''X'' に対して、 [[アレクサンドル・グロタンディーク]]はテイトの定理を次のように再定式化した。すなわち、''X'' の特殊ファイバーの [[クリスタリン・コホモロジー]] ''H''<sup>1</sup>(''X''/''W''(''k'')) ⊗ '''Q'''<sub>''p''</sub> （フロベニウス自己準同型の作用と（''K'' をテンソルしたときの）ホッジ・フィルトレーション付き）と、 ''p'' 進エタール・コホモロジー ''H''<sup>1</sup>(''X'','''Q'''<sub>''p''</sub>) （''K'' のガロア群の作用付き）は、同じだけの情報を持つ、と。この２つのコホモロジーは ''X'' の {{仮リンク|バルソッティ・テイト群|label=''p'' 可除群|en|Barsotti–Tate group}}を同種を除いて決定するだけの情報を持っている。グロタンディークは ''p'' 進体上の良い還元を持つ全ての代数多様体に対して ''p'' 進エタール・コホモロジーからクリスタリン・コホモロジーを得る直接的な方法と、その逆の方法があるはずだと予想した<ref>{{harvnb|Grothendieck|1971|p=435}}</ref>。グロタンディークが予想したこの関係は'''神秘関手'''（ミステリアス関手とも呼ばれる）として知られるようになった。

ホッジ・テイト予想を、ド・ラーム・コホモロジーに随伴する次数つきの対象からド・ラーム・コホモロジーそのものに対する予想に改善するために、フォンテーヌは''{{仮リンク|フィルトレーション_(数学)|label=フィルターつき|en|filtration (mathematics)}}'' の環 ''B''<sub>dR</sub> であって、随伴する次数つき代数が ''B''<sub>HT</sub> となるものを作り出した<ref>{{harvnb|Fontaine|1982}}</ref>。そして、''K'' 上の固有かつ滑らかなスキーム ''X'' に対して、''G<sub>K</sub>'' 作用とフィルター付きのベクトル空間としての同型
:<math>B_{\mathrm{dR}}\otimes_KH^\ast_{\mathrm{dR}}(X/K)\cong B_{\mathrm{dR}}\otimes_{\mathbf{Q}_p}H^\ast_{\mathrm{\acute{e}t}}(X\times_K\overline{K},\mathbf{Q}_p)</math>
が存在するだろうと予想した<ref>{{harvnb|Fontaine|1982}}, Conjecture A.6</ref>。この予想はC<sub>dR</sub> と呼ばれている。複素数体上における特異コホモロジーの比較同型と照らし合わせると、''B''<sub>dR</sub> は代数的ド・ラーム・コホモロジーと ''p'' 進エタール・コホモロジーの比較に必要とされる全ての（''p'' 進）周期を含んでいる環だと思うことができる。これが ''B''<sub>dR</sub> が ''p 進周期の環''と呼ばれる所以である。

同様に、グロタンディークの神秘関手を説明する予想を定式化するために、フォンテーヌは ''G<sub>K</sub>'' 作用と"フロベニウス" φ を持ち係数を ''K''<sub>0</sub> から ''K'' に拡大するとフィルトレーションを持つ環 ''B''<sub>cris</sub> を作り出した。そして、 ''K'' 上の良い還元をもつ固有かつ滑らかなスキーム ''X'' に対して、φ と ''G<sub>K</sub>'' の作用と係数を ''K'' に拡大したときのフィルトレーション付きベクトル空間としての同型
:<math>B_{\mathrm{cris}}\otimes_{K_0}H^\ast_{\mathrm{dR}}(X/K)\cong B_{\mathrm{cris}}\otimes_{\mathbf{Q}_p}H^\ast_{\mathrm{\acute{e}t}}(X\times_K\overline{K},\mathbf{Q}_p)</math>
が存在するだろうと予想した<ref>{{harvnb|Fontaine|1982}}, Conjecture A.11</ref>。ここで、<math>H^\ast_{\mathrm{dR}}(X/K)</math> にはクリスタリン・コホモロジーとの比較を使って φ 作用を持つ ''K''<sub>0</sub> ベクトル空間としての構造をいれている。この予想は C<sub>cris</sub> と呼ばれる。予想 C<sub>dR</sub> と 予想 C<sub>cris</sub> はファルティングスによって証明された<ref>{{harvnb|Faltings|1989}}</ref>。

''X'' を ''K'' 上の（良い還元をもつ）固有かつ滑らかなスキームとし、''V'' をその ''i'' 次の ''p'' 進エタール・コホモロジー群から得られる ''p'' 進ガロア表現とすると、これら2つの予想を前述の ''B''<sub>∗</sub> 許容表現の考え方にあてはめることにより、
:<math>D_{B_\ast}(V)=H^i_{\mathrm{dR}}(X/K)</math>
が成り立つことが分かる。このことから、デュドネ加群とは ''V'' に関係のある他のコホモロジーだという見方もできる。

80年代後半、フォンテーヌとウーヴェ・ヤンセンは ''X'' が準安定還元を持つ場合の比較同型について予想を立てた。この予想は C<sub>st</sub> と呼ばれている。予想の定式化のために、フォンテーヌは、環 ''B''<sub>st</sub> であって、''G<sub>K</sub>'' と"フロベニウス" φ が作用し、({{仮リンク|p進対数|label=''p'' 進対数|en|p-adic logarithm}}の延長を一つ固定し、さらに)係数を ''K''<sub>0</sub> から ''K'' に拡大するとフィルトレーションを持ち、そして"モノドロミー作用素" ''N'' を持つものを作り出した<ref>{{harvnb|Fontaine|1994}}, Exposé II, section 3</ref>。準安定還元をもつ ''X'' のド・ラーム・コホモロジーには、[[兵藤治]]により創始されたログ・クリスタリン・コホモロジー<ref>{{harvnb|Hyodo|1991}}</ref>との比較を使って φ の作用とモノドロミー作用素を定義できる。予想 C<sub>st</sub> は、φ 作用、''G<sub>K</sub>'' 作用、''K'' に係数拡大したときのフィルトレーション、そしてモノドロミー作用素 ''N'' を持つベクトル空間としての同型
:<math>B_{\mathrm{st}}\otimes_{K_0}H^\ast_{\mathrm{dR}}(X/K)\cong B_{\mathrm{st}}\otimes_{\mathbf{Q}_p}H^\ast_{\mathrm{\acute{e}t}}(X\times_K\overline{K},\mathbf{Q}_p)</math>
が成り立つだろうというものである。この予想は90年代後半に[[辻雄]]によって証明された<ref>{{harvnb|Tsuji|1999}}</ref>。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}
=== 出典 ===
{{Reflist|2}}

==参考文献==
===一次資料===
*Tate, John (1966), "''p''-Divisible Groups", in Proceedings of a Conference on Local Fields, Springer, 1967. doi:10.1007/978-3-642-87942-5
*{{Citation
| last=Faltings
| first=Gerd
| author-link=Gerd Faltings
| title=''p''-adic Hodge theory
| year=1988
| journal=Journal of the American Mathematical Society
| volume=1
| issue=1
| pages=255–299
| mr=0924705
| doi=10.2307/1990970
}}
*{{Citation
| last=Faltings
| first=Gerd
| author-link=Gerd Faltings
| contribution=Crystalline cohomology and ''p''-adic Galois representations
| title=Algebraic analysis, geometry, and number theory
| isbn=978-0-8018-3841-5
| mr=1463696
| publisher=Johns Hopkins University Press
| location=Baltimore, MD
| editor-last=Igusa
| editor-first=Jun-Ichi
| pages=25–80
}}
*{{Citation
| last=Fontaine
| first=Jean-Marc
| author-link=Jean-Marc Fontaine
| title=Sur certains types de représentations ''p''-adiques du groupe de Galois d'un corps local; construction d'un anneau de Barsotti–Tate
| year=1982
| journal=[[Annals of Mathematics]]
| volume=115
| issue=3
| mr=0657238
| pages=529–577
| doi=10.2307/2007012
}}
*{{Citation
| last=Grothendieck
| first=Alexander
| author-link=Alexander Grothendieck
| contribution=Groupes de Barsotti–Tate et cristaux
| title=Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970)
| volume=1
| year=1971
| pages=431–436
| mr=0578496
}}
*{{Citation
| last=Hyodo
| first=Osamu
| title=On the de Rham–Witt complex attached to a semi-stable family
| year=1991
| journal=[[Compositio Mathematica]]
| volume=78
| issue=3
| pages=241–260
| mr=1106296
}}
*{{Citation
| last=Serre
| first=Jean-Pierre
| author-link=Jean-Pierre Serre
| contribution=Résumé des cours, 1965–66
| title=Annuaire du Collège de France
| location=Paris
| year=1967
| pages=49–58
}}
*{{Citation
| last=Tsuji
| first=Takeshi
| title=''p''-adic étale cohomology and crystalline cohomology in the semi-stable reduction case
| year=1999
| journal=[[Inventiones Mathematicae]]
| volume=137
| issue=2
| mr=1705837
| pages=233–411
| doi=10.1007/s002220050330
| bibcode=1999InMat.137..233T
}}

===二次資料===
*{{Citation
| last=Berger
| first=Laurent
| contribution=An introduction to the theory of ''p''-adic representations
| year=2004
| publisher=Walter de Gruyter GmbH & Co. KG
| location=Berlin
| mr=2023292
| volume=I
| title=Geometric aspects of Dwork theory
| isbn=978-3-11-017478-6
| arxiv=math/0210184
| bibcode=2002math.....10184B
}}
*{{Citation
| last=Brinon
| first=Olivier
| last2=Conrad
| first2=Brian
| author2-link=Brian Conrad
| title=CMI Summer School notes on p-adic Hodge theory
| url=http://math.stanford.edu/~conrad/papers/notes.pdf
| year=2009
| accessdate=2010-02-05
}}
*{{Citation
| editor-last=Fontaine
| editor-first=Jean-Marc
| editor-link=Jean-Marc Fontaine
| title=Périodes p-adiques
| publisher=Société Mathématique de France
| location=Paris
| year=1994
| mr=1293969
| series=Astérisque
| volume=223
}}
*{{Citation
| last=Illusie
| first=Luc
| contribution=Cohomologie de de Rham et cohomologie étale ''p''-adique (d'après G. Faltings, J.-M. Fontaine et al.) Exp. 726
| title=Séminaire Bourbaki. Vol. 1989/90. Exposés 715–729
| publisher=Société Mathématique de France
| location=Paris
| year=1990
| pages=325–374
| mr=1099881
| series=Astérisque
| volume=189–190
}}

[[Category:代数的整数論]]
[[Category:ガロア理論]]
[[Category:群の表現論]]
[[Category:ホッジ理論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
{{デフォルトソート:ひいしんほつしりろん}}