P進量子力学のソースを表示

{{記事名の制約|{{mvar|p}}進量子力学}}
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{{要改訳|date=2015-06-14}}
[[File:Fractal pyramid.jpg|thumb|right|320px|この図のようなポテンシャルの井戸の[[エネルギー準位|エネルギーレベル]]を計算する人がいるかもしれない。<ref group = "note">知られている解析解は存在しない。代わりに、数値的なテクニックがこのタイプの難問を解くことに使われている。</ref>]]
'''{{mvar|p}}-進量子力学'''({{mvar|p}}-adic quantum mechanics)は、基礎物理学の性質を理解しようとする比較的新しいアプローチであり、[[p進解析|p-進解析]]の[[量子力学]]への応用である。[[p-進数]]は、1899年頃、ドイツの数学者の[[クルト・ヘンゼル]](Kurt Hensel)により発見された非直感的な数理系であり、1930年代に、[[クロード・シュヴァレー]](Claude Chevalley)と[[アンドレ・ヴェイユ]](André Weil)により、密接に関連する[[アデール環|アデール]](adele)と[[イデール]](idele)が導入された。彼らの研究は、現在では、数学の主要な分野の中へ反映されている。{{mvar|p}}-進解析は物理学分野へ適用されることがあるが、ロシアの数学者、ヴォロヴィッチ(Volovich)が1987年に重要な主題として取り上げる<ref>I.V.Volovich, ''Number theory as the ultimate theory'', CERN preprint, CERN-TH.4791/87</ref>までは、そのようなことはなかった。 現在では、国際的な雑誌で多くの研究論文がこの主題を扱っている。<ref name = "integral">V. S. Vladimirov, I.V. Volovich, and E.I. Zelenov ''P-adic Analyisis and Mathematical Physics'', (World Scientific, Singapore 1994)</ref><ref name = "r">L. Brekke and P. G. O. Freund, ''P-adic numbers in physics'', Phys. Rep. '''233''', 1-66(1993)</ref>

本記事では、数学的な概念をレヴューとして、この問題の入門的解説を行う。シュレディンガー方程式に似た方程式からより研究のアイデアを得るというときの、この問題の現代の話題を考える。最後に、いくかの詳細な例を挙げる。
<!--[[File:Fractal pyramid.jpg|thumb|right|200px|One may compute the [[energy levels]] for a potential well like this one.<ref group = "note">There is no known analytical solution.  Instead, numerical techniques are used to solve puzzles of this type.</ref>]]'''P-adic quantum mechanics''' is a relatively recent approach to understanding the nature of fundamental physics. It is the application of [[p-adic analysis]] to [[quantum mechanics]]. The [[p-adic number]]s are a counterintuitive  arithmetic system that was discovered by the German mathematician [[Kurt Hensel]] in about 1899. The closely related [[Adele ring|adeles]] and [[idele]]s were introduced in the 1930s by [[Claude Chevalley]] and [[André Weil]]. Their study has now transformed into a major branch of mathematics. They were occasionally applied to the physical sciences, but it wasn't until a publication by the Russian mathematician [[Volovich]] in 1987 that the subject was taken seriously.<ref>I.V.Volovich, ''Number theory as the ultimate theory'', CERN preprint, CERN-TH.4791/87</ref>   There are now hundreds of research articles on the subject,<ref name = "integral">V. S. Vladimirov, I.V. Volovich, and E.I. Zelenov ''P-adic Analyisis and Mathematical Physics'', (World Scientific, Singapore 1994)</ref><ref name = "r">L. Brekke and P. G. O. Freund, ''P-adic numbers in physics'', Phys. Rep. '''233''', 1-66(1993)</ref> along with international journals as well.

This article provides an introduction to the subject, followed by a review of the mathematical concepts involved. It then considers modern research on the subject, from Schrödinger-like equations to more exploratory ideas. Finally it lists some precise examples that have been considered.-->

==始めに==

[[File:Bentley Snowflake4.jpg|thumb|left|240px|対称なパターンは、一見無関係に見えるパターンから出現する。]]
多くの自然の研究は、[[プランク長]]で発生することへの疑問を扱う。そこでは、通常は現実に存在するようには思えないことが起きるが、ある意味では、実験装置や器具では識別できなくなり、そのような実験はできないとも言える。[[量子力学]]での[[ヒルベルト空間]]の定式化と宇宙の広大さを統一することは、手ごわい課題と言える。大半の研究者は、プランク長よりも小さな（領域の）幾何学やトポロジーは、通常の幾何学やトポロジーには関係する必要がないと考えた。一方、まさに花の色が原子から出現するように、通常の幾何学やトポロジーがプランク長よりも小さな領域の幾何学やトポロジーから出現すると考える者もいる。現在、この問題への多くのフレームワークが提案されていて、{{mvar|p}}-進解析はその中でいくつかの完成されたものを持つ妥当な候補である。
<!--==Introduction==

[[File:Bentley Snowflake4.jpg|thumb|left|150px|Symmetric patterns can emerge from seemingly unrelated ones.]]Many studies of nature deal with questions that occur at the [[Planck length]], in which ordinary reality doesn't seem to exist. In some ways, the experimental apparatus and experimenter become indistinguishable, so that no experiments can be done. The unification of the immensity of cosmology with the [[Hilbert space]] formalism of [[Quantum Mechanics]] presents  a formidable challenge. Most researchers feel that the geometry and topology of the sub-Planck lengths need not have any relation whatever to ordinary geometry and topology.  Instead the latter are believed to [[emergence|emerge]] from the former, just as the color of flowers emerges from atoms. Currently many frameworks have been proposed, and p-adic analysis is a reasonable candidate, having several accomplishments in its favor.-->

{{mvar|p}}-進解析を科学へ応用するもう一つの動機は、場の量子論の問題である発散は、やはり、課題として残っている。別のアプローチにより、[[繰り込み]]のようなエレガントではないテクニックは、必然的とはいえないのでは、とも思われている。<ref name="darajan" /> 他の考えとして、{{mvar|p}}-進解析で素数はなんらの特別な状態を持たないので、アデールを考えたほうがより自然ではないだろうか。
<!--Another motivation for applying p-adic analysis to science is that the divergences that plague [[quantum field theory]] remain problematic as well. It is felt that by exploring different approaches, such inelegant techniques as [[renormalization]] might become unnecessary.<ref name="darajan" />  Another consideration is that since no primes have any special status in p-adic analysis, it might be more natural and instructive to work with adeles.-->

p-進解析には 2つの主要なアプローチの方法がある。<ref name = "repeat">Branko Dragovich, Adeles in Mathematical Physics (2007), https://arxiv.org/abs/0707.3876</ref><ref>page 3, second paragraph, Goran S. Djordjevic and Branko Dragovich, ''p-Adic and Adelic Harmonic Oscillator with Time-Dependent Frequency'',  https://arxiv.org/abs/quant-ph/0005027</ref> 一つの考え方は、素粒子を p-進ポテンシャルの井戸の中で考え、目標は滑らかな複素数値波動函数を持つ解を見つけることにある。ここでの解は、日常生活にありふれた量をとる。もうひとつの考え方は、p-進ポテンシャルの井戸を考えるところまでは同じであるが、目標が {{mvar|p}}-進数に値を持つ波動関数を見つけることにある。この場合には、物理的な解釈がより難しくなる。未だに数学的にはぴったりした性質を見出すことができていないが、人々は探し続けている。ある科学者により2005年に次のようにまとめている。「私は単純にこれらの全てを楽しい一連の偶然と考えることはできなく、『トイモデル』として捨て去ることができない。私は、この仕事に価値と必要の双方を見いだせると考えてます」と。<ref name ="freund">Peter G.O. Freund, ''p-adic Strings and their Applications'', https://arxiv.org/abs/hep-th/0510192</ref>
<!--There are two main approaches to the subject.<ref name = "repeat">Branko Dragovich, Adeles in Mathematical Physics (2007), https://arxiv.org/abs/0707.3876</ref><ref>page 3, second paragraph, Goran S. Djordjevic and Branko Dragovich, ''p-Adic and Adelic Harmonic Oscillator with Time-Dependent Frequency'',  https://arxiv.org/abs/quant-ph/0005027</ref>  The first considers particles in a p-adic potential well, and the goal is to find solutions with smoothly varying complex-valued wavefunctions. Here the solutions to have a certain amount of familiarity from ordinary life. The second considers particles in p-adic potential wells, and the goal is to find p-adic valued wavefunctions. In this case, the physical interpretation is more difficult. Yet the math often exhibits striking characteristics, therefore people continue to explore it.  The situation was summed up in 2005 by one scientist as follows: "I simply cannot think of all this as a sequence of amusing accidents and dismiss it as a 'toy model'.  I think more work on this is both needed and worthwhile."<ref name ="freund">Peter G.O. Freund, ''p-adic Strings and their Applications'', https://arxiv.org/abs/hep-th/0510192</ref>-->

==''p''-進解析とアデール的解析のレビュー==
通常の[[実数]]はだれもが慣れているが、[[合同式|mod ''n'' の整数]]は未だに慣れているとは言えない。mod ''n'' での整数（論）は、[[数論]]のコースで勉強することであり、非常に重要であることがわかる。

[[オストロフスキーの定理]]は、本質的には、考えている[[距離空間|距離]]に依存した 2種類の[[有理数]]の[[完備化 (環論)|完備化]]しか存在しないことを言っている。2種類とは[[実数]]と[[p-進数]]である。<!--全ての{{仮リンク|コーシー列|en|Cauchy sequence}}(Cauchy sequence)の極限を加えることで、[[有理数]]を完備化する。-->2つの完備化の方法は、距離の測り方が異なっているので、異なる完備化となっている<ref group = "note"> 2つの空間は[[完備距離空間]]として完備であるが、両方とも代数閉体ではない。そのため無限次元の空間へ一般化することが要求される。</ref>。前者は |''x'' + ''y''| ≤ |''x''| + |''y''| の形をした三角不等式に従うが、しかし、後者はより強い |''x'' + ''y''| ≤ max{|''x''|, |''y''|} という形に従う。これを[[超距離空間]](ultrametric space)と呼ぶこともある。
<!--==Review of p-adic and adelic analysis==
The ordinary [[real numbers]] are familiar to everyone.  Still reasonably familiar, but less so, are the [[integers mod n]]. They are sometimes studied in courses on [[number theory]]. It turns out that they have major significance. [[Ostrowski's theorem]] states that there are essentially two kinds of [[Completion (ring theory)|completions]] of the [[rational number]]s, depending on the [[metric space|metric]] considered: these are the [[real number]]s and the p-adic numbers. One completes the rationals by adding the limit of all [[Cauchy sequence]]s to the set. The completions are different because of the two different ways of measuring distance.<ref group = "note">The two spaces are complete as a [[complete metric space|metric space]], but neither are algebraically complete.  That requires generalizing to an infinite-dimensional space.</ref>  The former obey a triangle inequality of the form |x+y| ≤ |x| + |y|, but the latter obey the stronger form of  |x+y| ≤ max{|x|, |y|}; this is sometimes called an [[ultrametric space]].-->

これらの 2つの基本的アイデアは、時間と空間の両方の中で非常に異なった振る舞いをするので、それらをどのように統一するのかという疑問が発生する。2つをつなぎ合わせて一つの数学的対象へ統一するときにどのようなパターンが発生するかを考えることにより、この問題を解決することができる。これが[[アデール環]]である。（有理数体上の）アデール環<math> \mathbb{A} </math>は、
:<math> (x_\infty, x_2, x_3, x_5 ...)</math>
という形の元から構成される。ここに <math>x_{\infty}</math> は実数で、<math>x_p</math> は <math>\mathbb{Q}_p</math> の数である。<math>x_{\infty}</math> の中の無限大の記号は、「無限遠点」を意味し、これは複素関数論から動機付けられた記号である。そして有限個を除くすべての <math>x_p</math> が対応する <math>\mathbb{Z}_p</math> にあることが要求される。つまりアデール環とは{{仮リンク|制限直積|en|restricted direct product}}(restricted direct product)であるとも言える。またイデール群は、その可逆元全体
:<math> \mathbb{A}^{*} = \{x \in \mathbb{A}\big|</math> <math>x_{\infty}\in \mathbb{R}^*</math> かつ、有限個の素数を除いて <math>|x_p|=1\}</math>

のなす群である。
<!--There is a question of how to unify these two foundational ideas, as they behave very differently in both space and time. This is solved by considering the patterns that occur, when one welds them together into a single mathematical object. This is the [[adele ring|ring of adeles]]. It is of the form

::<math> \mathbb{A} = \{x_\infty, x_2, x_3, x_5 ...\}</math>
where <math>x_{\infty}</math> is a real number, and the <math>x_p</math> are in <math>\mathbb{Q}_p</math>. The infinity sign in <math>x_{\infty}</math> stands for the "prime at infinity".   It is required that all but finitely many of the <math>x_p</math> lie in their corresponding <math>\mathbb{Z}_p</math>.  The adele ring is therefore a [[restricted direct product]]. The idele group is defined as the essentially invertible elements:
::<math> \mathbb{A}^{*} = \{x \in \mathbb{A} \text{ where } x_{\infty}\in \mathbb{R}^* \text{ and } |x_p|=1 \text{ for all but finitely many primes.}\}</math>-->

アデールの上には多くの慣れ親しんだ関数を定義できる。例えば、三角函数や ''e<sup>x</sup>'' や log ''x'' を定義することができ、[[メリン変換]]や[[フーリエ変換]]のような積分変換を通して、[[リーマンゼータ函数]]のような[[特殊函数]]も定義出来る。<ref name = "qho">Branko Dragovich, ''Adelic Harmonic Oscillator'', https://arxiv.org/abs/hep-th/0404160</ref> アデール環は多くの興味深い性質を持っている。例えば、あるタイプの二次多項式は、ハッセ(Hasse)の[[局所大域原理]]に従う。つまり有理数があるタイプの二次多項式の解であることと、'''R''' と全ての素数 ''p'' に対して '''Q'''<sub>p</sub> で解を持つこととが同値になる。さらに、実絶対値と ''p''-進絶対値は、次の互いに注目すべきアデールの積公式により関係付けられている<ref name ="x">Branko Dragovich, Andrei Khrennikov and Dusan Mihajlovic, ''Linear Fractional p-Adic and Adelic Dynamical Systems'', 
https://arxiv.org/abs/math-ph/0612058</ref>

:<math> |r|_{\infty} \prod_{p} |r|_p = 1\ .</math>
ここに ''r'' は 0 でない有理数である。

今はQ上の積公式であるから証明は簡単である。

実際、素数 ''p'' に対して0でない有理数 ''r'' の ''p'' 進ノルムは
:<math>r=p^e\frac{b}{c} \quad (e,b,c \in \mathbb{Z},\; (bc, p) = 1)</math>
と表したとき
:<math>|r|_p = p^{-e}</math>
とする。例えば、数 ''r'' = 12 = 2<sup>2</sup>×3 を考える。定義に沿って、
:<math>\begin{align} |12|_2 &= 2^{-2} = 1/4 \\ |12|_3 &= 3^{-1} = 1/3 \\ |12|_5 &= 5^0 = 1 \\ |12|_7 &= 7^0 = 1 \\ \vdots & \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \end{align}\ . </math>
を得る。すると、
:<math>|12|_\infty\times\prod_{p:\text{prime}}|12|_p=12 \cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot1\dotsb = 1 </math>
となり、確かに積公式が成り立っている。

[[弦理論]]では、同じ積公式がツリーレベルで成り立つのみならず、全体の確率振幅への一般化が成り立つと提案されている<ref name = "r" />。詳細は本記事の後方に記載する。
<!--Many familiar structures carry over to the adeles. For example, trigonometric functions, e<sup>x</sup> and log (x) have been constructed, as well as [[special function]]s like the [[Riemann zeta function]], along with integral transforms like the [[Mellin transform|Mellin]] and [[Fourier transform]].<ref name = "qho">Branko Dragovich, ''Adelic Harmonic Oscillator'', https://arxiv.org/abs/hep-th/0404160</ref>  This ring has many interesting properties. For instance, quadratic polynomials obey the Hasse [[local-global principle]]: a rational number is the solution of a quadratic polynomial equation if and only if it has a solution in '''R''' and '''Q'''<sub>p</sub> for all primes p.&nbsp;In addition, the real and p-adic norms are related to each other by the remarkable adelic product formula:<ref name ="x">Branko Dragovich, Andrei Khrennikov and Dusan Mihajlovic, ''Linear Fractional p-Adic and Adelic Dynamical Systems'', 
https://arxiv.org/abs/math-ph/0612058</ref>

::<math> |r|_{\infty} \prod_{p} |r|_p = 1</math>
where <math>r</math> is a nonzero rational number. 

The norm of ''r'' for a prime ''p'' is defined as the p-adic valuation i.e. for a prime ''p'' and for non zero rational number <math>r=\frac{p^e b}{p^f c} \quad (e\ge 0,\ f\ge 0,\ (b, c) = 1,\ (bc,\ p) = 1  \quad b,c,e,f \in \mathbb{Z}^+ )</math> , 
::<math>|r|_p = p^{f-e}</math> .
For example, one might consider the number <math>r=12=2^2\times3</math> .Along the above definition we obtain
::<math>\begin{align} |12|_2 &= 2^{-2} = 1/4 \\ |12|_3 &= 3^{-1} = 1/3 \\ |12|_5 &= 5^0 = 1 \\ |12|_7 &= 7^0 = 1 \\ \vdots & \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \end{align}\ . </math>

Then
::<math>|12|_\infty\times\prod_{p:prime}|12|_p=12\ \cdot\ 1/4\ \cdot 1/3\ \cdot\ 1\ \cdots = 1 </math>
holds, which is the the product formula. In [[string theory]], a similar product formula holds not only at the tree level, but generalization to full amplitudes has also been proposed.<ref name = "r" />  This is covered in more detail later in the article.-->

==研究==

;フラクタルポテンシャルの井戸

理科系の多くの上級生は、[[井戸型ポテンシャル]]や{{仮リンク|箱の中の粒子|en|particle in a ring}}(particle in a ring)<ref group = "note">量子力学では、1-次元の輪(ring)の中の粒子の場合を箱の中の粒子と同様に扱う。輪の上に限定された（テクニカルには、構成空間である円 <math>S^1</math> である空間が輪である）自由粒子のシュレディンガー方程式は、
::<math> -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi = E\psi </math>
である。</ref>に慣れていると思われる。しかし、ポテンシャルの井戸には他のタイプのものも存在する。例えば、[[フラクタル]]ポテンシャルの井戸を考えることもできる。この種類のポテンシャルの[[シュレディンガー方程式|シュレディンガー方程式に似た]]方程式の解は、幾度となく興味をもたれた。この難問を解くというチャレンジングであるばかりでなく、ICの[[集積回路|マイクロチップス]]の設計時に起きる問題のような、同時に複雑なポテンシャルの近似を求めるために使うことができる。例えば、シュレディンガー方程式の研究をした人のひとりは、[[自己相似]]型のポテンシャルへ応用した。<ref>N L Chuprikov, O V Spiridonova, ''A new type of solutions of the Schrödinger equation on a self-similar fractal potential'', http://www.arxiv:quant-ph/0607097</ref> [[リーマン予想|リーマンの零点]]と素数列から構成されたポテンシャルを研究した研究者のグループもある。彼らは、リーマンの零点の[[フラクタル次元]]は D = 1.5 であり、素数のフラクタル次元は D = 1.8 であると見積もった。<ref>Brandon P. van Zyl, D. A. W. Hutchinson, ''Riemann zeros, prime numbers and fractal potentials'', https://arxiv.org/abs/nlin/0304038</ref>
<!--Many upper-division science students are familiar with the [[particle in a box]], or the [[particle in a ring]]. But there are also other types of potential wells. For instance, one may also consider the [[fractal]] potential wells. The solution of [[Schrödinger equation|Schrödinger-like equations]] for potentials of this kind has been of interest for some time. Not only is it challenging to solve for puzzles like this, but it can be used for approximating complicated potentials as well, such as those that arise in the design of [[microchip]]s. For example, one group of authors study the Schrödinger equation as it applies to a [[self-similar]] potential.<ref>N L Chuprikov, O V Spiridonova, ''A new type of solutions of the Schrödinger equation on a self-similar fractal potential'', 
http://www.arxiv:quant-ph/0607097</ref>  Another group studied the potentials constructed from the [[Riemann conjecture|Riemann zeros]] and prime number sequences. They estimate the [[fractal dimension]] to be D = 1.5 for the Riemann zeros, and D = 1.8 for the prime numbers.<ref>Brandon P. van Zyl, D. A. W. Hutchinson, ''Riemann zeros, prime numbers and fractal potentials'', https://arxiv.org/abs/nlin/0304038</ref>-->
<!--波動がフラクタル構造と相互作用すると何が起きるかという問題は、多くの研究者により研究されている。<ref>M. Berry, ''J. Phys.'' A '''12''', 781 (1979)</ref><ref>F. Bihua and F. Duan, ''Chem. Phys. Lett.'' '''5''', 9(1988)</ref> p-進数はフラクタルポテンシャルの井戸を構成する優れた方法であり、例えば、ディラックポテンシャルを考えると、これは単純に負の値の[[ディラックのデルタ函数]]を持った平坦な平面である。これを 0 で囲まれた正の整数として考え、0 で囲まれたそれらの各々と考える。他の例としては、半分の値で囲まれた数と考え、半分の数で囲まれた各々を考える。この場合は、3 mod 7 の半分は 5 であるのでより大きいように思えるので、さらに面白い。-->
<!--The question of what happens when waves interact with fractal structures has been studied by many researchers.<ref>M. Berry, ''J. Phys.'' A '''12''', 781 (1979)</ref><ref>F. Bihua and F. Duan, ''Chem. Phys. Lett.'' '''5''', 9(1988)</ref>  The p-adic numbers are an excellent method for constructing fractal potential wells. For instance, one might consider a Dirac potential. This is simply a flat plane that contains a negative-valued [[Dirac delta function]].  One can think of this as a positive integer surrounded by zeros, and each of those surrounded by zeros, and each of those surrounded by zeros, and so on. As another example, one may think of a number surrounded by half its value, and each of those numbers by half their value, and so on. In this case it is more interesting, because half of 3 mod 7 is 5; therefore it seems to be bigger.-->

;経路積分

1965年になるや否や、ファインマン(Feynman)は経路積分はフラクタルのような性質を持つといった。<ref>R. P. Feynman and A. R. Hibbs, ''Quantum Mechanics and Path Integrals'', (McGraw-Hill, 1965)</ref> そして、適当な p-進シュレディンガー方程式が存在しないと<ref>Page two, last paragraph, arxiv:0804.1328, ''Quantum Cosmology and Tachyons'', 
D. D. Dimitrijevic, G. S. Djordjevic, Lj. Nesic</ref><ref>Also page two, last paragraph, arxiv:1011.6589, ''Path Integrals for Quadratic Lagrangians on p-Adic and Adelic Spaces'', Branko Dragovich</ref> 経路積分がそれに代わって働くようになる。また、｢ファインマンのアデール的な経路積分は、量子現象の数理物理的な基本的対象である｣といったものもいる。<ref>Branko Dragovich, ''Path Integrals for Quadratic Lagrangians on p-Adic and Adelic Spaces'', 
https://arxiv.org/abs/1011.6589</ref> 計算を遂行するためには、詳細部分は正確になされなばならない。例えば、意味深い[[微分作用素]]を定義することもできる。加えて、A と A* が変換不変な次の[[ハール測度]]を持つ。<ref name = "path" />

:<math>dx = dx_\infty\,dx_2\,dx_3\,dx_5 \cdots </math>  と  <math>dx^{*} = {dx^{*}}_\infty {dx^{*}}_2 {dx^{*}}_3 {dx^{*}}_5 \cdots \ .</math>
<!--;Path integrals

As early as 1965, Feynman had stated that path integrals have fractal-like properties.<ref>R. P. Feynman and A. R. Hibbs, ''Quantum Mechanics and Path Integrals'', (McGraw-Hill, 1965)</ref>  And, as there does not exist a suitable p-adic Schrödinger equation,<ref>Page two, last paragraph, arxiv:0804.1328, ''Quantum Cosmology and Tachyons'', 
D. D. Dimitrijevic, G. S. Djordjevic, Lj. Nesic</ref><ref>Also page two, last paragraph, arxiv:1011.6589, ''Path Integrals for Quadratic Lagrangians on p-Adic and Adelic Spaces'', Branko Dragovich</ref>  path integrals are employed instead. One author states that "Feynman's adelic path integral is a fundamental object in mathematical physics of quantum phenomena".<ref>Branko Dragovich, ''Path Integrals for Quadratic Lagrangians on p-Adic and Adelic Spaces'', 
https://arxiv.org/abs/1011.6589</ref>  In order to do computations, certain details have to be made precise.  For instance, one may define a meaningful [[derivative operator]].  In addition, both A and A* have a translation-invariant [[Haar measure]]:<ref name = "path" />

:<math>dx = dx_\infty\,dx_2\,dx_3\,dx_5 \cdots \text{  and  } dx^{*} = {dx^{*}}_\infty {dx^{*}}_2 {dx^{*}}_3 {dx^{*}}_5 \cdots</math>-->

これにより、積分計算が可能となる。履歴を渡る和に対し、[[ガウス積分]]が極めて重要である。ガウス積分は上で導入したアデールの積公式を満たすことが判明している。<ref name = "path" /> すなわち、
:<math>\int_{\mathbb{Q}_{\infty}} \chi_{\infty} (a{x_{\infty}}^2 + bx_{\infty})dx_{\infty}  \prod_p \int_{\mathbb{Q}_{p}} \chi_{p} (a{x_p}^2 + bx_p)dx_{p} = 1</math>
である。ここに、 <math>\,\chi</math> はアデールから<ref name = "path">Branko Dragovich, ''On Generalized Functions in Adelic Quantum Mechanics'', 
https://arxiv.org/abs/math-ph/0404076</ref>であたえられた C への加法的な指標である。

:<math>\chi(x) = \chi_{\infty} (x_{\infty}) \prod_p \chi_p(x_p) \rightarrow e^{-2 \pi i x_{\infty}} \prod_p e^{2 \pi i \{x_p\}_p}\ .</math>
また、<math>\,\{x_p\}_p</math> は x の通常の p-進展開での <math>\,x_p</math> の分数部分である。これは準同型
:<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \rightarrow e^{2 \pi i/n}</math>
の強い一般化と考えられる。
<!--This allows one to compute integrals. For the sum over histories, [[Gaussian integral]]s are vital.  It turns out that Gaussian integrals satisfy a generalization of the adelic product formula introduced before, namely:<ref name = "path" />

:<math>\int_{\mathbb{Q}_{\infty}} \chi_{\infty} (a{x_{\infty}}^2 + bx_{\infty})dx_{\infty}  \prod_p \int_{\mathbb{Q}_{p}} \chi_{p} (a{x_p}^2 + bx_p)dx_{p} = 1</math>

where <math>\,\chi</math> is an additive character from the adeles to C given by<ref name = "path">Branko Dragovich, ''On Generalized Functions in Adelic Quantum Mechanics'', 
https://arxiv.org/abs/math-ph/0404076</ref>

:<math>\chi(x) = \chi_{\infty} (x_{\infty}) \prod_p \chi_p(x_p) \rightarrow e^{-2 \pi i x_{\infty}} \prod_p e^{2 \pi i \{x_p\}_p}</math>
and <math>\,\{x_p\}_p</math> is the fractional part of <math>\,x_p</math> in the ordinary p-adic expression for x. This can be thought of as a strong generalization of the homomorphism
:<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \rightarrow e^{2 \pi i/n}</math>-->

ところで、アデール的な経路積分は、入力として A にパラメータを持ち、波動函数を生成し、<ref name = "reference">Branko Dragovich, ''p-Adic and Adelic Quantum Mechanics'', https://arxiv.org/abs/hep-th/0312046</ref>
:<math>\,K_A(x^{''}, t^{''}; x^{'}, t^{'} ) = \prod_{\alpha} \int_{x^{'}_{\alpha},t^{'}_{\alpha}}^{x^{''}_{\alpha},t^{''}_{\alpha}} \chi_{\alpha} (-1/h \int_{t^{'}_{\alpha}}^{t^{''}_{\alpha}} L(\dot{q}_{\alpha},q_{\alpha},t_{\alpha}) dt_{\alpha}) Dq_{\alpha}</math>
となっていて、実数のパラメータに似ている。固有値問題は<ref name = "reference" />
:<math>\,U(t)\psi_{\alpha}(x) = \chi(E_{\alpha}(t))\psi_{\alpha}(x)</math>
であり、ここに <math>U\,</math> は時間依存作用素、<math>\,\psi_{\alpha}</math> はアデール的な固有函数、<math>\,E_{\alpha}</math> はアデールエネルギーである。添字 <math>\alpha</math> は無限遠点を含くむ全ての素数を意味し、この添字を使い記法を単純化している。加法的な指標 <math>\chi</math> はこれらの複素数値の積分とすることを可能とする。同様に、経路積分は p-進時間へ一般化することができる。<ref>Branko Dragovich, ''On p-adic path integral'', https://arxiv.org/abs/math-ph/0005020</ref>
<!--Now the adelic path integral, with input parameters in A and generating complex-valued wavefunctions is<ref name = "reference">Branko Dragovich, ''p-Adic and Adelic Quantum Mechanics'', https://arxiv.org/abs/hep-th/0312046</ref>

:<math>\,K_A(x^{''}, t^{''}; x^{'}, t^{'} ) = \prod_{\alpha} \int_{x^{'}_{\alpha},t^{'}_{\alpha}}^{x^{''}_{\alpha},t^{''}_{\alpha}} \chi_{\alpha} (-1/h \int_{t^{'}_{\alpha}}^{t^{''}_{\alpha}} L(\dot{q}_{\alpha},q_{\alpha},t_{\alpha}) dt_{\alpha}) Dq_{\alpha}</math>

and similar to the case for real parameters, the eigenvalue problem is<ref name = "reference" />

:<math>\,U(t)\psi_{\alpha}(x) = \chi(E_{\alpha}(t))\psi_{\alpha}(x)</math>
where <math>U\,</math> is the time-development operator, <math>\,\psi_{\alpha}</math> are adelic eigenfunctions, and <math>\,E_{\alpha}</math> is the adelic energy. Here the notation has been simplified by using the subscript <math>\,\alpha</math>, which stands for all primes including the prime at infinity. One notices the additive character <math>\,\chi</math> which allows these to be complex-valued integrals.  The path integral can be generalized to p-adic time as well.<ref>Branko Dragovich, ''On p-adic path integral'', https://arxiv.org/abs/math-ph/0005020</ref>-->

;ローレンツ群
[[ローレンツ群]]の p-進一般化は <ref>E. G. Beltrametti, ''Note on the p-adic generalization of the lorentz transform'', Discrete Mathematics, 1(1971), 139-146</ref> で考えられていて、2008年に出版された論文では、群に関してと、7 mod 8 に合同な素数上の体に関してである。<ref>Stephan Fouldes, ''The Lorentz group and its finite field analogues: local isomorphism and approximation'', https://arxiv.org/abs/0805.1224</ref> この著者は、有理数上の群の[[稠密部分集合]]を見つけ、それらが p-数上の群へ写像され、結局、素数を mod とする整数上の群へと写像されることを発見した。この方法により任意の群の稠密部分集合を発見することが可能となる。
<!--;Lorentz group
The p-adic generalization of the [[Lorentz group]] has been considered.<ref>E. G. Beltrametti, ''Note on the p-adic generalization of the lorentz transform'', Discrete Mathematics, 1(1971), 139-146</ref>  In 2008, an article was published on the group, in fields over primes congruent to 7 mod 8.<ref>Stephan Fouldes, ''The Lorentz group and its finite field analogues: local isomorphism and approximation'', https://arxiv.org/abs/0805.1224</ref>  The author finds [[dense subset]]s of the group over the rationals, maps them to the group over the p-adic numbers, and finally to the group over the integers mod a prime.  In this way, arbitrarily dense subsets of the group can be found.-->

;有限体
全ての[[有限体]]は同じ構成を持っているので、研究では、素数を mod とする整数の[[逆極限]]を取ることはなかった。実際、全ての有限群は、上記の逆極限のイデアルの商であり、従って、系は実際にイデアルの塔である。有限体上の量子力学の研究は、多くの人々によりかんがえられている。<ref>arxiv:hep-th/0605294, ''Quantum Theory and Galois Fields'', Felix Lev</ref><ref>arxiv:hep-th/0209001, ''Elementary Particles in a Quantum Theory Over a Galois Field'', Felix Lev</ref> この一つの動機は、時空が離散的であれば、おそらく連続の空間は有限体への近似とみなすことができるであろうということである。超対称性理論は、同じく、有限体の上で研究された。<ref>arxiv:hep-th/0209229, ''Supersymmetry in Quantum Theory Over a Galois Field'', Felix Lev</ref>
<!--;Finite fields
The research has not been limited to the [[inverse limit]] of the integers mod a prime number, because all [[finite field]]s have similar constructions. In fact, every finite field is the quotient of an ideal of that inverse limit, and therefore the system is actually a tower of ideals. The study of quantum mechanics in finite fields has been considered by a number of authors.<ref>arxiv:hep-th/0605294, ''Quantum Theory and Galois Fields'', Felix Lev</ref><ref>arxiv:hep-th/0209001, ''Elementary Particles in a Quantum Theory Over a Galois Field'', Felix Lev</ref>  One motivation is that if spacetime is discrete, then perhaps continuous spacetime can be viewed as an approximation to finite fields.   The theory of supersymmetry has been studied in finite fields as well.<ref>arxiv:hep-th/0209229, ''Supersymmetry in Quantum Theory Over a Galois Field'', Felix Lev</ref>-->

;リーマンゼータ函数

アデール的な量子調和振動子の基底状態は
:<math>\psi_0(x)=2^{1/4}  e^{ - \pi {x_{\infty}}^2} \prod_p \Omega(|x_p|_p)</math>
であるを示すことができる。<ref name = "path" /><ref>arxiv:hep-th/0402193, ''Adelic Model of Harmonic Oscillator'', Branko Dragovich</ref> ここに <math>\,{|x_p|}_p</math> が p-進整数である場合は <math>\,\Omega(|x_p|_p)</math> は 1 であり、そうでない場合は 0 である。これが通常の複素数値の基底状態と非常に見ていることに注意する必要がある。メリン変換のアデール的なバージョンへ適用すると、
:<math>\Phi(\alpha) = \sqrt{2}\,\Gamma(\alpha/2)\pi^{-\alpha/2}\zeta(\alpha)</math>
を得る。ここに <math>\Gamma</math> は[[ガンマ函数]]であり、<math>\zeta</math> は[[リーマンゼータ函数]]である。ところで、次のテイト公式として有名な[[函数等式]]がある。
:<math>\,\Phi(\alpha) = {\Phi}' (1 - \alpha) \ .</math>
この式の左辺はメリン変換であり、右辺はフーリエ変換のメリン変換である。しかし、通常の場合は、フーリエ変換は結果を変えない。従って、前の式へこの公式を適用することができ、リーマンゼータ函数の有名な函数等式
:<math>\,\Gamma(\alpha/2)\pi^{-\alpha/2}\zeta(\alpha) = \Gamma((1 - \alpha)/2)\pi^{(\alpha-1)/2}\zeta(1 - \alpha)</math>
へ行きつく。
<!--;Riemann zeta function

It can be shown that ground state of adelic quantum harmonic oscillator is<ref name = "path" /><ref>arxiv:hep-th/0402193, ''Adelic Model of Harmonic Oscillator'', Branko Dragovich</ref>

:<math>\psi_0(x)=2^{1/4}  e^{ - \pi {x_{\infty}}^2} \prod_p \Omega(|x_p|_p)</math>
where <math>\,\Omega(|x_p|_p)</math> is 1 if <math>\,{|x_p|}_p</math> is a p-adic integer, and 0 otherwise. One notices the close similarity to the ordinary complex-valued ground state. Applying the adelic version of the Mellin transform, we have

:<math>\Phi(\alpha) = \sqrt{2}\,\Gamma(\alpha/2)\pi^{-\alpha/2}\zeta(\alpha)</math>
where <math>\,\Gamma</math> is the [[gamma function]], and <math>\,\zeta</math> is the Riemann zeta function. Now there is a famous [[functional equation]] called the Tate formula, which says that
:<math>\,\Phi(\alpha) = {\Phi}' (1 - \alpha)</math>
Here the left hand side is the Mellin transform, and the right hand side is the Mellin transform of the Fourier transform. But just as in the ordinary case, the Fourier transform does not change the result. So one can apply this formula to the previous one, and we arrive at the famous functional relation for the Riemann zeta function:

:<math>\,\Gamma(\alpha/2)\pi^{-\alpha/2}\zeta(\alpha) = \Gamma((1 - \alpha)/2)\pi^{(\alpha-1)/2}\zeta(1 - \alpha)</math>-->

「調和振動子としてそのような単純な物理系はリーマンゼータ函数のような数学的に重要な対象に関連付けられることは注目すべきことである」<ref name = "repeat" /> 加えて、{{仮リンク|自由リーマンガス|en|free Riemann gas}}(free Riemann gas)の統計力学的な[[分配函数 (数学)]]<ref group = "note">これは実際の気体ではなく、むしろ疑わしい気体である。有名な水素ガスを熱を加え、スペクトル線を見る実験を想定すると、同様な方法で自由リーマンガスに熱を加え、素数を基礎とした級数を比較してみることができる。</ref> はリーマンのゼータ函数をもたらす。
:<math>Z(T) = \sum_{n=1}^\infty \exp \left(\frac{-E_0 \log n}{k_B T}\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \zeta (s) \ .</math>
<!--"It is remarkable that such simple physical system as harmonic oscillator is related to so significant mathematical object as the Reimann zeta function".<ref name = "repeat" />  In addition, the statistical mechanics [[partition function (mathematics)|partition function]] for the [[free Riemann gas]]<ref group = "note">This is not a real gas, but rather a fictitious one.  One might think of the famous experiment of heating up hydrogen gas, and viewing the spectral lines. In the same way, heating up the free Riemann gas would allow one to view (the differences of) a series based on the prime numbers.</ref> is given by the Riemann zeta function:

:<math>Z(T) = \sum_{n=1}^\infty \exp \left(\frac{-E_0 \log n}{k_B T}\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \zeta (s) </math>-->

;ヴェネチアーノ振幅

アデール的積公式の他の応用としては、弦理論で対称性を交叉させる{{仮リンク|ヴェネチアーノ振幅|en|Veneziano amplitude}}(Veneziano amplitude)がある。26次元の開ボゾン弦の理論では、振幅 A (a, b) が 4つのタキオンの散乱を記述する。これらの振幅の計算は容易ではない。しかし、1987年に、この振幅のアデール的積公式<ref name = "repeat" />
:<math>A_{\infty}(a,b)\prod_p A_p(a,b)=1</math>
が発見された。この式は 4･振幅を持ち、全ての高次振幅がツリーレベルで非常に単純な p-進振幅の逆数として、正確に計算される。この発見は p-進的な弦理論を少し活性化させた。<ref>Debashis Ghoshal, ''Quantum Extended Arithmetic Veneziano Amplitude'',  https://arxiv.org/abs/math-ph/0606003</ref> 閉じたボゾン弦についての状況はそれほど容易ではないが、研究がつづけられている。
<!--;Veneziano amplitude

Another application involves the adelic product formula in a different way.  In string theory, one computes crossing symmetric [[Veneziano amplitude]]s. The amplitude A (a, b) describes the scattering of four tachyons in the 26-dimensional open bosonic string.  These amplitudes are not easy to compute.  However, in 1987 an adelic product formula for this was discovered; it is<ref name = "repeat" />
:<math>A_{\infty}(a,b)\prod_p A_p(a,b)=1</math>
This allows the four-point amplitudes, and all higher amplitudes to be computed at the tree level exactly, as the inverse of the much simpler p-adic amplitudes.  This discovery has generated a quite a bit of activity in string theory.<ref>Debashis Ghoshal, ''Quantum Extended Arithmetic Veneziano Amplitude'',  https://arxiv.org/abs/math-ph/0606003</ref>  The situation is not as easy for the closed bosonic string, but studies are still being pursued.-->

;表現論

p-進[[表現論]]は、拡張され研究されている。研究グループのひとつに、基本粒子の構造を p-進[[ポアンカレ群]]の{{仮リンク|射影表現|en|projective representation}}(projective representation)による研究がある。これは、有名な[[ユージン・ウィグナー|ウィグナー]]の定理の一般化で、彼はポアンカレ群の全ての射影[[ユニタリ表現]]がその[[被覆空間#普遍被覆|二重被覆]]のユニタリ表現へ持ち上げられることを示した。研究グループは、質量を持つ粒子の p-進バージョンが[[共形対称性]]を持ちえないことを、p-進ポアンカレ群の p-進共形空間の中への埋め込みを研究することで示した。<ref name = "darajan">http://www.arxiv.org:1002.0047,  ''Structure, classification, and conformal symmetry of elementary particles over non-archimedean space-time'', V. S. Varadarajan, Jukka T. Virtanen</ref> 別のグループは、p-進シンプレクティック理論を研究している。特に、[[シンプレクティック群]]の下に不変量を持つ p-進体上の GL(2n) の表現を研究している。<ref>
arxiv:0806.4031, ''On Unitary Representations of GL2n Distinguished by the Symplectic Group'', Omer Offen, Eitan Sayag</ref> また、別の研究グループは、「余剰メタプレック」な表現を研究した。<ref>arxiv:0903.1417, ''Multiplicity one theorems for Fourier-Jacobi models'', Binyong Sun</ref>
<!--;Representation theory

P-adic [[representation theory]] has been extensively studied. One group of authors studies the structure of elementary particles, by means of the [[projective representation]]s of the p-adic [[Poincaré group]]. This a generalization of the famous theorem of [[Eugene Wigner|Wigner]], who showed that all projective [[unitary representation]]s of the Poincaré group lift to unitary representations of its (universal) [[universal cover|double cover]]. They show that the p-adic version of massive particles cannot have [[conformal symmetry]], by studying the embedding of the p-adic Poincaré group into the p-adic conformal spacetime.<ref name = "darajan">http://www.arxiv.org:1002.0047,  ''Structure, classification, and conformal symmetry of elementary particles over non-archimedean space-time'', V. S. Varadarajan, Jukka T. Virtanen</ref>  Another group studied p-adic symplectic theory; more specifically, the representations of GL(2n) over a p-adic field that admit an invariant under the [[symplectic group]].<ref>
arxiv:0806.4031, ''On Unitary Representations of GL2n Distinguished by the Symplectic Group'', Omer Offen, Eitan Sayag</ref>  Yet another has studied "extrametaplectic" representations.<ref>arxiv:0903.1417, ''Multiplicity one theorems for Fourier-Jacobi models'', Binyong Sun</ref>-->

;主バンドル
この研究へ関連している数学は、[[ゲージ理論]]のことばでエレガントに定式化されている。特に、[[主バンドル]]として知られている接空間の中の波動函数が研究されている。これは自己整合性を持つ定式化に役立つ。この場合は、イデール群バンドルが存在して、行列に値を持たせることができ、非可換な結果を得ることができる。
<!--;Principal bundles
The math associated with this study is elegantly formulated in the language of [[gauge theory]]. In particular, one studies the wavefunctions in a tangent space known as a [[principal bundle]]. This helps to formulate a self-consistent theory. In this case, there is an idele-group bundle. It can be matrix-valued, in which case it may be noncommutative as well.-->
<!--;量子宇宙論
p-進量子力学の理論は量子宇宙論への適用できる。<ref>Branko Dragovich and Ljubisa Nesic, ''p-Adic and Adelic Generalization of Quantum Cosmology'', 
https://arxiv.org/abs/gr-qc/0005103</ref> 研究者のグループは、アデール的な量子宇宙論での「量子ローリングタキオンと対応するインスタントンのシナリオ」の適切さを研究している。<ref>G. S. Djordjevic and Lj. Nesic, ''Non-archimedean quantum cosmology and tachyonic inflation'', https://arxiv.org/abs/1011.2885</ref>-->
<!--;Quantum cosmology
The theory has also been applied to quantum cosmology.<ref>Branko Dragovich and Ljubisa Nesic, ''p-Adic and Adelic Generalization of Quantum Cosmology'', 
https://arxiv.org/abs/gr-qc/0005103</ref>  One group of authors study the relevance of "quantum rolling tachyons and corresponding inflation scenario" in terms of adelic quantum cosmology.<ref>G. S. Djordjevic and Lj. Nesic, ''Non-archimedean quantum cosmology and tachyonic inflation'', https://arxiv.org/abs/1011.2885</ref>-->

==例==

このセクションは、研究されたフラクタル、もしくはアデール的な具体例を記載している。
<!--==Examples==

This section presents concrete examples of fractal or adelic systems which have been studied.-->

=== 1-次元系 ===

次の 1-次元系は、経路積分の定式化により研究されている。自由粒子<ref name = "integral" />、定数場の中の粒子<ref>Branko Dragovich, ''On p-adic functional integration'', Proc of the II mathematical conference, Yugoslavia, (1997) 221-228</ref>、調和振動子<ref name = "qho" />、そのほか。
<!--=== One-dimensional systems ===

The following one-dimensional systems have been studied by means of the path integral formulation: the free particle,<ref name = "integral" /> the particle in a constant field,<ref>Branko Dragovich, ''On p-adic functional integration'', Proc of the II mathematical conference, Yugoslavia, (1997) 221-228</ref> the harmonic oscillator,<ref name = "qho" /> and others as well.-->

=== シェルピンスキーガスケットの上の粒子 ===

[[File:Sierpinski triangle.svg|150px|thumb|right|シェルピンスキーガスケット]]
{{仮リンク|パーコレーション理論|en|Percolation theory}}(Percolation theory)は、多くの[[集積回路|IC]]の振る舞いや他の設計の研究に使われている。無秩序な物性を計測できるほど、物質は小さいからである。多くの無秩序な物質は、”大きなスケールの広い範囲で幾何学的には非等質な性質を示す。”<ref name = "a" /> さらに重要なことは、{{仮リンク|パーコレーションの閾値|en|percolation threshold}}(percolation threshold)の近くでは、幾何学はフラクタルであり、これが[[相転移]]の理論から来ることは良く知られている。2011年、ある研究グループは、[[シェルピンスキーのギャスケット|シルピンスキーガスケット]](Sierpinski gasket)上のポテンシャル論を研究した。<ref name = "a">http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1105/1105.1995v1.pdf, ''Differential 1-forms, their Integrals and Potential Theory on the Sierpinski Gasket'', Fabio Cipriani, Daniele Guido, Tommaso Isola, Jean-Luc Sauvageot</ref> 彼らは数学的な定式化を開発し、たとえこのテクニックが[[多様体]]上でなくとも、どのようにしてこの空間のポテンシャル論の開発に使うことができるかを示した。別のグループは、シエルピンスキーガスケットを周期的に繰り返す[[ジョゼフソン効果|ジョゼフソン接合]]の列を研究した。<ref>arxiv:0205105, ''Dimensional crossover and hidden incommensurability in Josephson junction arrays of periodically repeated Sierpinski gaskets'', R.Meyer, S.E.Korshunov, Ch.Leemann, P.Martinoli</ref>
<!--=== Particle on a Sierpinski gasket ===

[[File:Sierpinski triangle.svg|150px|thumb|right|A Sierpinski gasket]][[Percolation theory]] is used by many to study the behaviour of [[integrated circuits]] and other designs. This is because the materials are so small that they qualify for disordered materials theory. Many disordered materials "exhibit geometrical inhomogeneties over a broad range of length scales".<ref name = "a" /> More importantly, near the [[percolation threshold]], the geometry is fractal. This is well known from the theory of [[phase transitions]]. In 2011, one group studied potential theory on the [[Sierpinski gasket]].<ref name = "a">http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1105/1105.1995v1.pdf, ''Differential 1-forms, their Integrals and Potential Theory on the Sierpinski Gasket'', Fabio Cipriani, Daniele Guido, Tommaso Isola, Jean-Luc Sauvageot</ref> They develop a mathematical formalism, and show how it can be used to develop a potential theory on this space, even though it is technically not a [[manifold (mathematics)|manifold]].  Another group studied Josephson junction arrays of periodically repeated Sierpinski gaskets.<ref>arxiv:0205105, ''Dimensional crossover and hidden incommensurability in Josephson junction arrays of periodically repeated Sierpinski gaskets'', R.Meyer, S.E.Korshunov, Ch.Leemann, P.Martinoli</ref>-->

<!--=== Particle on a Cantor set ===
One group numerically solve a rescaled version of the Schrödinger equation for a particle in a [[Cantor set|Cantor-like potential]].<ref>D. Hadjimichef, ''Bound-State Problem in a One-Dimensional Cantor-like Potential'', https://arxiv.org/abs/quant-ph/9806064</ref>-->

==脚注==
{{Reflist|group=note}}

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

==関連項目==
* [[シェルピンスキーのギャスケット]]
{{デフォルトソート:Pしんりようしりきかく}}
{{Applied-math-stub}}
{{Physics-stub}}
{{Normdaten}}
[[Category:量子力学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:P進数]]