P進L関数のソースを表示

{{記事名の制約|{{mvar|p}}進{{mvar|L}}関数}}
{{DISPLAYTITLE:''p''進''L''関数}}
{{要改訳|date=2015-02-01}}
数学では、'''''p''-進ゼータ函数''' (''p''-adic zeta function)、あるいはより一般的に '''''p''-進 ''L''-函数''' (''p''-adic ''L''-function) とは、[[リーマンゼータ函数]]やより一般的な[[ディリクレのL-函数|ディリクレの ''L''-函数]]に類似した函数であるが、函数の[[定義域]]と[[値域]]が ''p''-進的であるものを言う（ここに ''p'' は[[素数]]である）。''p''-進 ''L''-函数の定義域は [[p-進数|''p''-進整数環]] '''Z'''<sub>''p''</sub> や、[[射有限群|射有限 ''p''-群]]、[[ガロア表現]]の ''p''-進族であり、像は[[p-進数]]体 '''Q'''<sub>''p''</sub> もしくはその[[代数的閉包]]である。
<!--In [[mathematics]], a '''''p''-adic zeta function''', or more generally a '''''p''-adic ''L''-function''', is a function analogous to the [[Riemann zeta function]], or more general [[L-function|''L''-functions]], but whose [[domain of a function|domain]] and [[codomain|target]] are ''p-adic'' (where ''p'' is a [[prime number]]). For example, the domain could be the [[p-adic integer|''p''-adic integers]] '''Z'''<sub>''p''</sub>, a [[profinite group|profinite ''p''-group]], or a ''p''-adic family of [[Galois representation]]s, and the image could be the [[p-adic number|''p''-adic numbers]] '''Q'''<sub>''p''</sub> or its [[algebraic closure]].-->

==ディリクレ L-函数==

ディリクレ L-函数は、級数
:<math>L(s,\chi) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s} = \prod_{p \text{ prime number}} \frac{1}{1-\chi(p)p^{-s}}</math>
の解析接続として与えられる。負の整数でのディリクレ L-函数の値は、
:<math>L(1-n, \chi) = -\frac{B_{n,\chi}}{n}</math>
である。ここに、B<sub>n,&chi;</sub> は[[ベルヌーイ数#一般ベルヌーイ数|一般化されたベルヌーイ数]]であり、導手 f を持つディリクレ指標 &chi; に対し、
:<math> \displaystyle \sum_{n=0}^\infty B_{n,\chi}\frac{t^n}{n!} = \sum_{a=1}^f\frac{\chi(a)te^{at}}{e^{ft}-1}</math>
で定義される。
<!--==Dirichlet L-functions==

The Dirichlet ''L''-function is given by the analytic continuation of 
:<math>L(s,\chi) = \sum_n\frac{\chi(n)}{n^s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-\chi(p)p^{-s}}</math>
The Dirichlet ''L''-function at negative integers is given by 
:<math>L(1-n, \chi) = -\frac{B_{n,\chi}}{n}</math>
where ''B''<sub>''n'',&chi;</sub> is a [[generalized Bernoulli number]] defined by
:<math> \displaystyle \sum_{n=0}^\infty B_{n,\chi}\frac{t^n}{n!} = \sum_{a=1}^f\frac{\chi(a)te^{at}}{e^{ft}-1}</math>
for &chi; a Dirichlet character with conductor ''f''.-->

==補完を使った定義==

久保田-レオポルドの p-進 L-函数 L<sub>p</sub>(s,&nbsp;χ) は、p でのオイラー因子を取り除いたディリクレのL-函数を補完する。さらに詳しくは、L<sub>p</sub>(s,&nbsp;&chi;) は p-進数 s の連続函数であり、p&nbsp;&minus;&nbsp;1 により割ることのできる正の整数 n に対し 
:<math> \displaystyle L_p(1-n, \chi) = (1-\chi(p)p^{n-1})L(1-n, \chi)</math>
となる唯一のものである。この式の右辺はまさに通常のディリクレの L-函数から、p でのオイラー因子を取り除いたものである。また、 p でのオイラー因子を取り除かない
場合には、右辺は ''p''-進的に連続とはならない。右辺の連続性は密接に{{仮リンク|クンマー合同|en|Kummer congruence}}(Kummer congruence)と関連している。

n が p&nbsp;&minus;&nbsp;1 により割れない場合は、一般的にこのことは成立しない。代わりに、正の整数 n に対し、
:<math> \displaystyle L_p(1-n, \chi) = (1-\chi\omega^{-n}(p)p^{n-1})L(1-n, \chi\omega^{-n})</math>
が成り立つ。ここに &chi; は{{仮リンク|タイヒミューラー指標|en|Teichmüller character}}(Teichmüller character) &omega; のべきによりツイストされている。
<!--==Definition using interpolation==

The Kubota–Leopoldt ''p''-adic ''L''-function ''L''<sub>''p''</sub>(''s'',&nbsp;χ) interpolates  the Dirichlet ''L''-function with the Euler factor at ''p'' removed.
More precisely, ''L''<sub>''p''</sub>(''s'',&nbsp;&chi;) is the unique continuous function of the ''p''-adic number ''s'' such that 
:<math> \displaystyle L_p(1-n, \chi) = (1-\chi(p)p^{n-1})L(1-n, \chi)</math>
for positive integers ''n'' divisible by ''p''&nbsp;&minus;&nbsp;1. The right hand side is just the usual Dirichlet ''L''-function, except that the Euler factor at ''p'' is removed, otherwise it would not be ''p''-adically continuous. The continuity of the right hand side is closely related to the [[Kummer congruence]]s.

When ''n'' is not divisible by ''p''&nbsp;&minus;&nbsp;1 this does not usually hold; instead
:<math> \displaystyle L_p(1-n, \chi) = (1-\chi\omega^{-n}(p)p^{n-1})L(1-n, \chi\omega^{-n})</math>
for positive integers ''n''. 
Here  &chi; is twisted by a power of the [[Teichmüller character]] &omega;.-->

==p-進測度と見なすと==

p-進L-函数はまた、p-射有限ガロア群上の{{仮リンク|p-進測度|en|p-adic measure}}(p-adic measures)（あるいは、{{仮リンク|p-進分布|en|p-adic distribution}}(p-adic distributions)）とも考えることができる。この観点と久保田・レオポルトの観点との間の変換は（'''Z'''<sub>p</sub> 上の '''Q'''<sub>p</sub>-値を持つ函数として）、{{仮リンク|メイザー・メリン変換|en|Mazur–Mellin transform}}(Mazur–Mellin transform)（と[[類体論]]）を経由する。
<!--==Viewed as a ''p''-adic measure==

''p''-adic ''L''-functions can also be  thought of as [[p-adic measure|''p''-adic measures]] (or [[p-adic distribution|''p''-adic distributions]]) on ''p''-profinite Galois groups. The translation between this point of view and the original point of view of Kubota–Leopoldt (as '''Q'''<sub>''p''</sub>-valued functions on '''Z'''<sub>''p''</sub>) is via the [[Mazur–Mellin transform]] (and [[class field theory]]).-->

==総実体==

{{harvtxt|Deligne|Ribet|1980}} では、前に行われている {{harvtxt|Serre|1973}} に立脚し、[[総実体]]の解析的 p-進L-函数を構成した。{{harvtxt|Barsky|1978}} と {{harvtxt|Cassou-Noguès|1979}}は独立に同じ結果を導き出したが、このアプローチは、新谷卓郎の L-値の研究のアプローチに従っている。
<!--==Totally real fields==

{{harvtxt|Deligne|Ribet|1980}}, building upon previous work of {{harvtxt|Serre|1973}}, constructed analytic ''p''-adic ''L''-functions for totally real fields. Independently, {{harvtxt|Barsky|1978}} and {{harvtxt|Cassou-Noguès|1979}} did the same, but their approaches followed Takuro Shintani's approach to the study of the ''L''-values.-->

== 脚注 ==
<references/>

==参考文献==
*{{Citation | last1=Barsky | first1=Daniel | editor1-last=Amice | editor1-first=Y. | editor2-last=Barskey | editor2-first=D. | editor3-last=Robba | editor3-first=P. | title=Groupe d'Etude d'Analyse Ultramétrique (5e année: 1977/78) | url=http://www.numdam.org/item?id=GAU_1977-1978__5__A9_0 | publisher=Secrétariat Math. | location=Paris | isbn=978-2-85926-266-2  | mr=525346 | year=1978 | volume=16 | chapter=Fonctions zeta p-adiques d'une classe de rayon des corps de nombres totalement réels}}
*{{Citation | last1=Cassou-Noguès | first1=Pierrette | title=Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques | doi=10.1007/BF01389911 | mr=524276 | year=1979 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | issn=0020-9910 | volume=51 | issue=1 | pages=29–59}}
*{{Citation | last1=Coates | first1=John | title=On p-adic L-functions | url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1988-1989__31__33_0 | mr=1040567 | year=1989 | journal=Astérisque | issn=0303-1179 | issue=177 | pages=33–59}}
*{{Citation | last1=Colmez | first1=Pierre | title=Fontaine's rings and p-adic L-functions | url=http://www.math.jussieu.fr/~colmez/tsinghua.pdf | year=2004}}
*{{Citation | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=Pierre Deligne | last2=Ribet | first2=Kenneth A. | title=Values of abelian L-functions at negative integers over totally real fields | doi=10.1007/BF01453237 | mr=579702 | year=1980 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | issn=0020-9910 | volume=59 | issue=3 | pages=227–286}}
*{{Citation | last1=Iwasawa | first1=Kenkichi | title=On p-adic L-functions | jstor=1970817 | mr=0269627 | year=1969 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]] | issn=0003-486X | volume=89 | pages=198–205 | doi=10.2307/1970817 | issue=1 | publisher=Annals of Mathematics}}
*{{Citation | last1=Iwasawa | first1=Kenkichi | title=Lectures on p-adic L-functions | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-08112-0 | mr=0360526 | year=1972}}
*{{Citation | last1=Katz | first1=Nicholas M. | title=Algebraic geometry |series=Proc. Sympos. Pure Math., |volume= 29 | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | mr=0432649 | year=1975 | chapter=p-adic L-functions via moduli of elliptic curves | pages=479–506}}
*{{Citation | last1=Koblitz | first1=Neal | author1-link=Neal Koblitz | title=p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics, vol. 58 | isbn=978-0-387-96017-3 | mr=754003 | year=1984}}
*{{Citation | last1=Kubota | first1=Tomio | last2=Leopoldt | first2=Heinrich-Wolfgang | title=Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen | url= http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?GDZPPN002180626  | mr=0163900 | year=1964 | journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] | issn=0075-4102 | volume=214/215 | pages=328–339
|author1-link=Tomio Kubota|author2-link=Heinrich-Wolfgang Leopoldt}}
*{{Citation | last1=Serre | first1=Jean-Pierre | author1-link=Jean-Pierre Serre | editor1-last=Kuyk | editor1-first=Willem | editor2-last=Serre | editor2-first=Jean-Pierre | editor2-link=Jean-Pierre Serre | title=Modular functions of one variable, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, 1972) | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series= Lecture Notes in Math | isbn=978-3-540-06483-1 | doi=10.1007/978-3-540-37802-0_4 | mr=0404145 | year=1973 | volume=350 | chapter=Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques | pages=191–268}}

{{DEFAULTSORT:Pひいしんえるかんすう}}
[[Category:ゼータ関数とL関数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:P進数]]