P-行列のソースを表示

[[数学]]の分野における'''P-行列'''（P-ぎょうれつ、{{lang-en-short|P-matrix}}）とは、すべての[[行列式|主小行列式]]が0より大きい[[正方行列|複素正方行列]]のことである。これに関連する概念として、すべての主小行列式が0以上である '''P<sub>0</sub>-行列'''がある。P<sub>0</sub>-行列の[[クラス (集合論)|類]]はP-行列の類の[[閉包 (位相空間論)|閉包]]である。

== 固有値 ==
ケロッグの定理によれば、P-行列および P<sub>0</sub>-行列の[[固有値]]は、以下に述べる意味で、負の実軸についての[[楔]]型の領域から離れている:

: <math>\{u_1,...,u_n\}</math> をn次元P-行列の固有値としたとき、次が成立する。
::<math>|arg(u_i)| < \pi - \frac{\pi}{n}, i = 1,...,n</math>
: <math>\{u_1,...,u_n\}</math>, <math>u_i \neq 0</math>, <math>i = 1,...,n</math> をn-次元 P<sub>0</sub>-行列の固有値としたとき、次が成立する。
::<math>|arg(u_i)| \leq \pi - \frac{\pi}{n}, i = 1,...,n</math>

== 注意 ==
[[正則行列|正則]]な[[M-行列]]の類は、P-行列の類の部分集合である。P-行列かつ[[Z-行列]]であるような全ての行列は、正則なM-行列である。[[十分行列]]（sufficient matrix）の類は、P-行列の別の一般化である<ref>{{cite journal|first1=Zsolt|last1=Csizmadia|first2=Tibor|last2=Illés|title=New criss-cross type algorithms for linear complementarity problems with sufficient matrices|journal=Optimization Methods and Software|volume=21|year=2006|number=2|pages=247–266|doi=10.1080/10556780500095009 |url=http://www.cs.elte.hu/opres/orr/download/ORR03_1.pdf |format=pdf |url2=http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/10556780500095009|eprint=http://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/10556780500095009|mr=2195759|<!-- ref=harv -->}}</ref>。

[[ヤコビ行列|ヤコビ行列式]]がP-行列であるような関数は、空間 '''R'''<sup>n</sup> の任意の直交領域上で[[単射]]である。

特に安定性理論における関連概念としては、P<sup>(-)</sup>-行列（しばしば N&minus;P-行列とも呼ばれる）が挙げられる。-''A'' がP-行列となるような行列''A'' のことを、P<sup>(-)</sup>-行列と呼ぶ（P<sub>0</sub>-行列についても同様）。[[スペクトル (関数解析学)|スペクトル集合]]は&sigma;(''A'' )=-&sigma;(-''A'' ) であることより、それらの行列の固有値は'''正'''の実軸から離れている。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
<references/>

== 参考文献 ==
* {{cite journal|first1=Zsolt|last1=Csizmadia|first2=Tibor|last2=Illés|title=New criss-cross type algorithms for linear complementarity problems with sufficient matrices|journal=Optimization Methods and Software|volume=21|year=2006|number=2|pages=247–266|doi=10.1080/10556780500095009|
url=http://www.cs.elte.hu/opres/orr/download/ORR03_1.pdf|format=pdf|url2=http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/10556780500095009|eprint=http://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/10556780500095009|mr=2195759|ref=harv}}
* [[デイヴィッド・ゲール|David Gale]] and [[二階堂副包|Hukukane Nikaido]], “The Jacobian matrix and global univalence of mappings”, ''Math. Ann.'' 159:81-93 (1965) {{doi|10.1007/BF01360282}}
* Li Fang, “On the Spectra of P- and P<sub>0</sub>-Matrices”, ''Linear Algebra and its Applications'' 119:1-25 (1989)
* R. B. Kellogg, “On complex eigenvalues of M and P matrices”, ''Numer. Math.'' 19:170-175 (1972) {{doi|10.1007/BF01402527}}

== 関連項目 ==
* [[行列]]
* [[Z-行列]]
* [[M-行列]]
* [[メッツラー行列]]
* [[フルビッツ行列]]

{{Linear-algebra-stub}}
{{DEFAULTSORT:Pきようれつ}}
[[Category:行列]]
[[Category:数学に関する記事]]