Q超幾何級数のソースを表示

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数学において、'''{{mvar|q}}超幾何級数'''（{{mvar|q}}ちょうきかきゅうすう、{{lang-en-short|{{mvar|q}}-hypergeometric series, basic hypergeometric series}}）は、[[超幾何級数]]の[[q-類似|{{mvar|q}}類似]]である。{{mvar|q}}超幾何級数は
:<math>\begin{align}
{}_r\phi_s \left[ \begin{matrix} a_1, a_2, \dotsc, a_r \\ b_1, b_2, \dotsc, b_s \end{matrix}; q, z \right] &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a_1, a_2, \dotsc, a_r;q)_n}{(b_1, b_2, \dotsc, b_s, q;q)_n} \left((-1)^nq^\binom{n}{2}\right)^{s+1-r} z^n \\
{}_r\psi_s \left[ \begin{matrix} a_1, a_2, \dotsc, a_r \\ b_1, b_2, \dotsc, b_s \end{matrix}; q, z \right] &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(a_1, a_2, \dotsc, a_r;q)_n}{(b_1, b_2, \dotsc, b_s;q)_n} \left((-1)^nq^\binom{n}{2}\right)^{s-r} z^n \\
\end{align}</math>
の形式で表される[[級数]]である<ref>[http://mathworld.wolfram.com/q-HypergeometricFunction.html Wolfram Mathworld: q-Hypergeometric Function]</ref>。中でも
:<math>\begin{align}
{}_r\phi_{r-1} \left[ \begin{matrix} a_1, a_2, \dotsc, a_r \\ b_1, b_2, \dotsc, b_{r-1} \end{matrix}; q, z \right] &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a_1, a_2, \dotsc, a_r;q)_n}{(b_1, b_2, \dotsc, b_{r-1}, q;q)_n} z^n \\
{}_r\psi_r \left[ \begin{matrix} a_1, a_2, \dotsb, a_r \\ b_1, b_2, \dotsb, b_{r} \end{matrix}; q, z \right] &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(a_1, a_2, \dotsc, a_r;q)_n}{(b_1, b_2, \dotsc, b_r;q)_n} z^n \\
\end{align}</math>
が多く研究されている。ただし、
:<math>
(a_1, a_2, \dotsc, a_r; q)_n = (a_1; q)_n (a_2; q)_n \dotsm (a_r; q)_n
</math>
であり、ここで
: <math>
(a;q)_n = \begin{cases}
\prod_{0 \le k < n} (1-aq^k) & (n > 0) \\
1 & (n = 0) \\
\prod_{n \le k < 0}(1 - aq^k)^{-1} & (n < 0)
\end{cases}
</math>
は[[qポッホハマー記号|{{mvar|q}}ポッホハマー記号]]である。なお、厳密にいうと、右辺の級数が{{mvar|q}}超幾何級数であり、左辺の記号は級数の和によって定義される{{mvar|q}}超幾何関数を表すものである。

== 出典 ==
<references/>
==参考文献==
*堀田良之・渡辺敬一・庄司俊明・[[三町勝久]]: 群論の進化, 代数学百科, I, [[朝倉書店]], 2004 年, ISBN 4-254-11099-5
*Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. [[:en:Cambridge university press]].
*Andrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (1999). Special functions. [[:en:Cambridge university press]].

== 関連記事 ==
* [[q二項定理|{{mvar|q}}二項定理]]
* [[ハイネの和公式]]
* [[ラマヌジャンの和公式]]
* [[qザールシュッツの和公式|{{mvar|q}}ザールシュッツの和公式]]

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[[Category:離散数学]]
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[[Category:微分方程式]]
[[Category:級数]]
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[[Category:数論]]
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