S-双対のソースを表示

{{要改訳}}
{{About|物理学のS-双対 (強弱双対)|数学的な（スパニエル・ホワイトヘッド双対(Spanier–Whitehead duality)）|{{仮リンク|S-双対 (ホモトピー論)|en|S-duality (homotopy theory)}} }} 
<!---{{String theory|Topic=Theory}}-->
{{弦理論}}
[[理論物理学]]では、'''S-双対'''(S-duality)は、2つの物理理論の等価のことで、この物理理論は[[場の量子論]]でも[[弦理論]]でもよい。S-双対は、計算することが難しい理論をより計算し易い理論に結びつけるので、理論物理で計算する際に有益である。<ref name=autogenerated3>Frenkel 2009, p.2</ref>

場の量子論では、S-双対性は、[[古典電磁気学]]で良く知られた事実、すなわち、[[電場]]と[[磁場]]の交換の下に[[マクスウェルの方程式]]の[[不変量 (物理学)|不変]]であると言う事実を一般化したものである。場の量子論で最も早く知られたS-双対の例の一つは、{{仮リンク|モントネン・オリーブの双対性|en|Montonen-Olive duality}}(Montonen-Olive duality)で、[[N=4 超対称ヤン・ミルズ理論]]と呼ばれる[[場の量子論]]の 2つのバージョンを関係付けている。{{仮リンク|アントン・カプスティン|en|Anton Kapustin}}(Anton Kapustin)と[[エドワード・ウィッテン]](Edward Witten)の最近の仕事は、モントネン・オリーブの双対性が[[幾何学的ラングランズ対応]]と呼ばれる数学の研究プログラムと密接に関係していることを示している。<ref>Kapustin and Witten 2007</ref> 場の量子論でのもう一つのS-双対の実例は、{{仮リンク|サイバーグ双対|en|Seiberg duality}}(Seiberg duality)で、{{仮リンク|超対称ゲージ理論|label=N=1超対称ヤン・ミルズ理論|en|supersymmetric gauge theory}}(N=1 supersymmetric Yang-Mills theory)と呼ばれる 2つのバージョンの理論を関連付ける。

弦理論には多くのS-双対の例がある。これらの{{仮リンク|弦双対性|en|string duality}}(string duality)の存在は、一見異なるように見える弦理論の定式化が、実際は物理的等価であることを意味する。このことは1990年代中期には全ての 5つの整合性をもった[[超弦理論]]の全てが、単一の 11次元の[[M-理論]]と呼ばれる理論の異なる極限として実現されることを導いた。<ref>Zwiebach 2009, p.325</ref>
<!---{{About|S-duality (strong–weak duality) in physics|the mathematical S-duality (Spanier–Whitehead duality)|S-duality (homotopy theory)}}
{{String theory|cTopic=Theory}}

:''This article is about S-duality (strong–weak duality) in physics. For the mathematical S-duality (Spanier–Whitehead duality), see [[S-duality (homotopy theory)]].''

In [[theoretical physics]], '''S-duality''' is an equivalence of two physical theories, which may be either [[quantum field theory|quantum field theories]] or [[string theory|string theories]]. S-duality is useful for doing calculations in theoretical physics because it relates a theory in which calculations are difficult to a theory in which they are easier.<ref name=autogenerated3>Frenkel 2009, p.2</ref>

In quantum field theory, S-duality generalizes a well known fact from [[classical electrodynamics]], namely the [[invariant (physics)|invariance]] of [[Maxwell's equations]] under the interchange of [[electric field|electric]] and [[magnetic field]]s. One of the earliest known examples of S-duality in quantum field theory is [[Montonen–Olive duality]] which relates two versions of a quantum field theory called [[N = 4 supersymmetric Yang–Mills theory]]. Recent work of [[Anton Kapustin]] and [[Edward Witten]] suggests that Montonen-Olive duality is closely related to a research program in mathematics called the [[geometric Langlands program]].<ref>Kapustin and Witten 2007</ref>Another realization of S-duality in quantum field theory is [[Seiberg duality]], which relates two versions of a theory called [[supersymmetric gauge theory|N=1 supersymmetric Yang-Mills theory]].

There are also many examples of S-duality in string theory. The existence of these [[string duality|string dualities]] implies that seemingly different formulations of string theory are actually physically equivalent. This led to the realization, in the mid-1990s, that all of the five consistent [[superstring theory|superstring theories]] are just different limiting cases of a single eleven-dimensional theory called [[M-theory]].<ref>Zwiebach 2009, p.325</ref>-->

==オーバービュー==

場の量子論や弦理論では、[[結合定数]]は理論の相互作用の強さを制御する数値である。例えば、[[重力]]の強さは[[万有引力定数|ニュートン定数]]と呼ばれる数値で書かれ、[[万有引力|重力のニュートンの法則]]の中や、[[アルバート・アインシュタイン]](Albert Einstein)の[[一般相対論]]の方程式の中にも表れる。同様に、[[電磁場]]の強さは、結合定数により表され、一つの[[陽子]]の帯びている電荷に関係している。
<!---==Overview==

In quantum field theory and string theory, a [[coupling constant]] is a number that controls the strength of interactions in the theory. For example, the strength of [[gravity]] is described by a number called [[Newton's constant]], which appears in [[Newton's law of gravity]] and also in the equations of [[Albert Einstein|Albert Einstein's]] [[general theory of relativity]]. Similarly, the strength of the [[electromagnetic force]] is described by a coupling constant, which is related to the charge carried by a single [[proton]].-->

場の量子論や弦理論で観測可能量を計算するためには、物理学者は典型としては[[:en:perturbation theory|摂動論]](perturbation theory)の方法を適用する。摂動論では、発生する様々な物理的な過程の確率を決定する[[波動関数#確率振幅|確率振幅]](probability amplitude)と呼ばれる量が、[[級数|無限級数の和]]として表され、そこでは各々の項は結合定数 <math>g</math> の[[冪乗|べき]]と比例する。

: <math>A=A_0+A_1g+A_2g^2+A_3g^3+\dots</math>.

このようなべき級数展開が意味を持つためには、結合定数が 1 よりも小さい必要があり、従って <math>g</math> の高い次数のべきは無視できるほどに小さく、和は有限となる。結合定数が 1 よりも大きいと、この項の和はどんどんと大きくなり、展開は意味のない無限大の値をもたらす。この場合、理論は「強い結合」といわれ、摂動論を予言をすることに使うことができない。
<!---To compute observable quantities in quantum field theory or string theory, physicists typically apply the methods of [[perturbation theory]]. In perturbation theory, quantities called [[probability amplitude]]s, which determine the probability for various physical processes to occur, are expressed as [[infinite series|sums of infinitely many terms]], where each term is proportional to a [[exponent|power]] of the coupling constant <math>g</math>:

: <math>A=A_0+A_1g+A_2g^2+A_3g^3+\dots</math>.

In order for such an expression to make sense, the coupling constant must be less than 1 so that the higher powers of <math>g</math> become negligibly small and the sum is finite. If the coupling constant is not less than 1, then the terms of this sum will grow larger and larger, and the expression gives a meaningless infinite answer. In this case the theory is said to be ''strongly coupled'', and one cannot use perturbation theory to make predictions.-->

ある理論に対して、S-双対は強い結合定数の理論での計算を弱い結合定数の理論での異なる計算に変換することで、計算を進める方法を提供する。S-双対は、物理学の{{仮リンク|弦双対性|label=双対性|en|string duality}}という一般的な考え方の特別な例である。'''双対性'''ということばは、2つの一見異なる[[物理系]]が非自明な方法で等価であることが分かることを意味する。2つの理論が双対関係にあると、一つの理論から何らかの方法でもう一つの理論のように見える結果へと変換できることを意味する。このときに、2つの理論はこの変換の下で互いに'''双対'''であるという。別な言い方をすると、2つの理論が同じ現象の数学的には異なる記述となっているとも言える。

S-双対は、結合定数 <math>g</math> を持つ理論を、結合定数 <math>1/g</math> を持つ等価な理論と関係付けるので、有益である。このように、S-双対は、強結合の理論（そこでは結合定数 <math>g</math> が 1 よりも非常に大きい）を弱結合の理論（そこでは結合定数 <math>1/g</math> が 1 よりも小さく、計算が可能）へと関連付ける。この理由から、S-双対は、'''強弱双対性'''と呼ばれる。
<!---For certain theories, S-duality provides a way of doing computations at strong coupling by translating these computations into different computations in a weakly coupled theory. S-duality is a particular example of a general notion of [[string duality|duality]] in physics. The term ''duality'' refers to a situation where two seemingly different [[physical system]]s turn out to be equivalent in a nontrivial way. If two theories are related by a duality, it means that one theory can be transformed in some way so that it ends up looking just like the other theory. The two theories are then said to be ''dual'' to one another under the transformation. Put differently, the two theories are mathematically different descriptions of the same phenomena.

S-duality is useful because it relates a theory with coupling constant <math>g</math> to an equivalent theory with coupling constant <math>1/g</math>. Thus it relates a strongly coupled theory (where the coupling constant <math>g</math> is much greater than 1) to a weakly coupled theory (where the coupling constant <math>1/g</math> is much less than 1 and computations are possible). For this reason, S-duality is called a '''strong-weak duality'''.-->

==場の量子論でのS-双対==

===マクスウェル方程式の対称性===

[[古典物理学]]では、[[電場]]と[[磁場]]の振る舞いは[[マクスウェル方程式]]として知られる一連の方程式で記述される。[[ベクトル解析]]の言葉では、[[電荷]]も[[電流]]もない空間の領域の中にいることを前提とすると、マックスウェル方程式は次のように書かれる。<ref>Griffiths 1999, p.326</ref>

:<math>\begin{align}
\nabla \cdot \mathbf{E} &= 0, \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0, \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}, \\
\nabla \times \mathbf{B} &= \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}.
\end{align}</math>

ここに <math>\mathbf{E}</math> は電場を表す[[空間ベクトル|ベクトル]]（さらに詳しくは、'''[[ベクトル場]]'''で、値を空間内の異なる点では変化しうる）で、<math>\mathbf{B}</math> は磁場を表すベクトルであり、<math>t</math> は時間、<math>c</math> は[[光速|光速度]]である。これらの方程式で使われている他のシンボルは、[[ベクトル解析]]の中の[[勾配 (ベクトル解析)]]("grad"という記号)、[[発散 (ベクトル解析)]]("div"という記号)、[[回転 (ベクトル解析)]]("curl"という記号)を参照のこと。
<!---==S-duality in quantum field theory==

===A symmetry of Maxwell's equations===

In [[classical physics]], the behavior of the [[electric field|electric]] and [[magnetic field]] is described by a system of equations known as [[Maxwell's equations]]. Working in the language of [[vector calculus]] and assuming that no [[electric charge]]s or [[Electric current|currents]] are present, these equations can be written<ref>Griffiths 1999, p.326</ref>

:<math>\begin{align}
\nabla \cdot \mathbf{E} &= 0 \quad
&\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},
\\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \quad
&\nabla \times \mathbf{B} &= \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}.
\end{align}</math>

Here <math>\mathbf{E}</math> is a [[Euclidean vector|vector]] (or more precisely a ''[[vector field]]'' whose magnitude and direction may vary from point to point in space) representing the electric field, <math>\mathbf{B}</math> is a vector representing the magnetic field, <math>t</math> is time, and <math>c</math> is the [[speed of light]]. The other symbols in these equations refer to the [[divergence]] and [[curl]], which are concepts from [[vector calculus]].-->

これらの方程式<ref>Griffiths 1999, p.327</ref>の重要な性質は、電場 <math>\mathbf{E}</math> を磁場 <math>\mathbf{B}</math> へ、磁場 <math>\mathbf{B}</math> を電場 <math>-1/c^2\mathbf{E}</math> へ同時に置き換える変換のしたで、[[不変量 (物理学)|不変]]であることである。

:<math>\begin{align}
\mathbf{E} &\rightarrow\mathbf{B} \\
\mathbf{B} &\rightarrow -\frac{1}{c^2}\mathbf{E}.
\end{align}</math>

言い換えると、マクスウェル方程式の{{仮リンク|真空解|label=解く|en|vacuum solution}}ような電場と磁場が与えられると、これらの電場と磁場が入れ替えても、新しい場がマクスウェル方程式の解を再び与えるような新しい物理的な設定することが可能となる。

この状況が、場の量子論の中のS-双対の最も基本的な事項である。実際、以下に説明するように、場の量子論のフレームワークには、このマックスウェル方程式の対称性を直接一般化したS-双対のバージョンが存在する。
<!---An important property of these equations<ref>Griffiths 1999, p.327</ref> is their [[invariant (physics)|invariance]] under the transformation that simultaneously replaces the electric field <math>\mathbf{E}</math> by the magnetic field <math>\mathbf{B}</math> and replaces <math>\mathbf{B}</math> by <math>-1/c^2\mathbf{E}</math>:

:<math>\begin{align}
\mathbf{E} &\rightarrow\mathbf{B} \\
\mathbf{B} &\rightarrow -\frac{1}{c^2}\mathbf{E}.
\end{align}</math>

In other words, given a pair of electric and magnetic fields that [[vacuum solution|solve]] Maxwell's equations, it is possible to describe a new physical setup in which these electric and magnetic fields are essentially interchanged, and the new fields will again give a solution of Maxwell's equations.

This situation is the most basic manifestation of S-duality in quantum field theory. Indeed, as we explain below, there are versions of S-duality that directly generalize this symmetry of Maxwell's equations in the framework of quantum field theory.-->

===モントネン・オリーブ双対性===

{{main|{{仮リンク|モントネン・オリーブ双対性|en|Montonen–Olive duality}} }}

場の量子論では、電場と磁場は[[電磁場]]と呼ばれる一つの実在に統一されていて、この[[場]]は[[ゲージ理論]]あるいは、[[ヤン＝ミルズ理論]]と呼ばれる場の量子論の特別なタイプにより記述される。ゲージ理論では、物理場は高い[[対称性]]の度数を持っていて、数学的には[[リー群]]の考えを使い理解することができる。このリー群は[[:en:gauge group|ゲージ群]]として知られている。電磁場は、ゲージ群[[ユニタリ群|U(1)]]に対応する最も単純なゲージ理論により記述されるが、しかし他のより向く雑な[[ゲージ理論|非アーベル的ゲージ理論]]も存在する。<ref>ゲージ理論の基礎を含む一般の場の量子論の入門書として、Zee 2010を参照のこと。</ref>
<!---===Montonen-Olive duality===

{{main|Montonen–Olive duality}}

In quantum field theory, the electric and magnetic fields are unified into a single entity called the [[electromagnetic field]], and this [[field (physics)|field]] is described by a special type of quantum field theory called a [[gauge theory]] or [[Yang-Mills theory]]. In a gauge theory, the physical fields have a high degree of [[symmetry]] which can be understood mathematically using the notion of a [[Lie group]]. This Lie group is known as the [[gauge group]]. The electromagnetic field is described by a very simple gauge theory corresponding to the [[abelian group|abelian]] gauge group [[unitary group|U(1)]], but there are other gauge theories with more complicated [[non-abelian gauge theory|non-abelian gauge groups]].<ref>For an introduction to quantum field theory in general including the basics of gauge theory, see Zee 2010.</ref>-->

マクスウェル方程式の中の対称に相互作用する電場と磁場のゲージ理論の類似物が存在するか否かを問うという
、自然な疑問がある。1970年代末にこの回答が、{{仮リンク|クラウス・モントネン|en|Claus Montonen}}(Claus Montonen)と{{仮リンク|ダヴィッド・オリーブ|en|David Olive}}<ref>Montonen と Olive 1977</ref> により与えられた。この仕事は、より早い段階{{仮リンク|ピーター・ゴダード (物理学者)|en|Peter Goddard (physicist)}}(Peter Goddard)、{{仮リンク|ジャン・ヌイツ|en|Jean Nuyts}}(Jean Nuyts)、オリーブによる仕事<ref>Goddard, Nuyts, and Olive 1977</ref>の仕事に基づくものであった。彼らの仕事は、現在{{仮リンク|モントネン・オリーブの双対性|en|Montonen-Olive duality}}として知られてるS-双対の例をもたらした。モントネン・オリーブの双対性は、[[N=4 超対称ヤン・ミルズ理論]]と呼ばれるゲージ理論の非常に特殊なタイプに適用され、このことは 2つのその理論が正確な意味で等価ではないかということを言っている。<ref name=autogenerated3 /> 理論の一つがゲージ群 <math>G</math> を持っていると、双対な理論はゲージ群 <math>{^L}G</math> を持っている。ここに <math>{^L}G</math> は一般には <math>G</math> とは異なる[[ラングランズ双対|ラングランズ双対群]]を表している。<ref>Frenkel 2009, p.5</ref>

場の量子論の重要な量は、複素化された[[結合定数]]である。これは次の公式により定義される[[複素数]]である。<ref name=autogenerated2>Frenkel 2009, p.12</ref>

:<math>\tau=\frac{\theta}{2\pi}+\frac{4\pi i}{g^2}</math>

ここに、<math>\theta</math> は{{仮リンク|テータ角|en|theta angle}}で、理論を定義する[[ラグランジュ力学#定式化|ラグラジアン]]に現れる量であり<ref>Frenkel 2009, p.12</ref>、<math>g</math> は[[結合定数]]である。例えば、電磁場を記述するヤン＝ミルズ理論では、この数値 <math>g</math> は単に[[陽子]]に帯びている[[電荷]] <math>e</math> である。<ref>Frenkel 2009, p.2</ref> 2つの理論のゲージ群の入れ替えに加えて、モントネン・オリーブの双対性は、複素化された結合定数 <math>\tau</math> を持つ理論を、複素化された結合定数 <math>-1/\tau</math> を持つ理論へ変換する。<ref name=autogenerated2 />
<!---It is natural to ask whether there is an analog in gauge theory of the symmetry interchanging the electric and magnetic fields in Maxwell's equations. The answer was given in the late 1970s by [[Claus Montonen]] and [[David Olive]],<ref>Montonen and Olive 1977</ref> building on earlier work of [[Peter Goddard (physicist)|Peter Goddard]], [[Jean Nuyts]], and Olive.<ref>Goddard, Nuyts, and Olive 1977</ref> Their work provides an example of S-duality now known as [[Montonen-Olive duality]]. Montonen-Olive duality applies to a very special type of gauge theory called [[N=4 supersymmetric Yang-Mills theory]], and it says that two such  theories may be equivalent in a certain precise sense.<ref>Frenkel 2009, p.2</ref> If one of the theories has a gauge group <math>G</math>, then the dual theory has gauge group <math>{^L}G</math> where <math>{^L}G</math> denotes the [[Langlands dual group]] which is in general different from <math>G</math>.<ref name=autogenerated3 />

An important quantity in quantum field theory is complexified [[coupling constant]]. This is a [[complex number]] defined by the formula<ref>Frenkel 2009, p.12</ref>

:<math>\tau=\frac{\theta}{2\pi}+\frac{4\pi i}{g^2}</math>

where <math>\theta</math> is the [[theta angle]], a quantity appearing in the [[Lagrangian]] that defines the theory,<ref>Frenkel 2009, p.12</ref> and <math>g</math> is the [[coupling constant]]. For example, in the Yang-Mills theory that describes the electromagnetic field, this number <math>g</math> is simply the [[elementary charge]] <math>e</math> carried by a single [[proton]].<ref>Frenkel 2009, p.2</ref> In addition to exchanging the gauge groups of the two theories, Montonen-Olive duality transforms a theory with complexified [[coupling constant]] <math>\tau</math> to a theory with complexified coupling constant <math>-1/\tau</math>.<ref>Frenkel 2009, p.12</ref>-->

===ラングランズプログラムとの関係===

[[Image:ECClines-3.svg|right|thumb|346px|[[ラングランズ・プログラム|幾何学的ラングランズ対応]](geometric Langlands correspondence)は、上に示した[[楕円曲線]]のような[[代数曲線]]に付随する抽象的幾何学的な対象の間の関係である。]]

{{main|[[ラングランズ・プログラム]]}}

数学では、古典的な[[ラングランズ・プログラム|ラングランズ対応]]は、[[数論]]を[[表現論]]として知られている数学の分野と関連される予想と結果の集まりである。<ref name=autogenerated1>Frenkel 2007</ref> [[ロバート・ラングランズ]](Robert Langlands)により1960年代遅くに、ラングランズ対応は[[谷山・志村予想]]というような数論の重要な予想と関連している。これは特別な場合として[[フェルマーの最終定理]]を特別な場合として持っている。<ref name=autogenerated1 />
<!---===Relation to the Langlands program===

[[Image:ECClines-3.svg|right|thumb|346px|The [[geometric Langlands correspondence]] is a relationship between abstract geometric objects associated to an [[algebraic curve]] such as the [[elliptic curve]]s illustrated above. ]]

{{main|Langlands program}}

In mathematics, the classical [[Langlands correspondence]] is a collection of results and conjectures relating [[number theory]] to the branch of mathematics known as [[representation theory]].<ref name=autogenerated1>Frenkel 2007</ref> Formulated by [[Robert Langlands]] in the late 1960s, the Langlands correspondence is related to important conjectures in number theory such as the [[Taniyama-Shimura conjecture]], which includes [[Fermat's last theorem]] as a special case.<ref name=autogenerated1 />-->

数論ではラングランズ対応は重要であるにもかかわらず、数論の脈絡でのラングランズ対応の確立は非常に困難である。<ref name=autogenerated1 /> 結果として、[[ラングランズ・プログラム#幾何学的ラングランズ予想|幾何学的ラングランズ対応]]として知られていることに関連する予想で仕事をしている数学者もいる。これは、元来のバージョンに現れる[[代数体|数体]]を[[代数多様体の函数体|函数体]]に置き換えることで、[[代数幾何学]]のテクニックを適用して、古典的なラングランズ対応を幾何学的に再定式化することである。<ref>Frenkel 2007</ref>

2007年からの{{仮リンク|アントン・カプスティン|en|Anton Kapustin}}(Anton Kapustin)と[[エドワード・ウィッテン]](Edward Witten)は、幾何学的ラングランズ対応がモントネン・オリーブ双対性の数学的記述と見なすことができることを示した。<ref>Kapustin と Witten 2007</ref> S-双対で関連付けられた 2つのヤン＝ミルズ理論から始めて、カプスティンとウィッテンは、2次元[[時空]]内の場の量子論のペアを構成することが可能であることを示した。何がこの{{仮リンク|次元簡約|en|dimensional reduction}}(dimensional reduction)が[[Dブレーン|D-ブレーン]]([[:en:D-branes]])と呼ばれる物理的対象となるのかを分析することにより、彼らは幾何学的ラングランズ対応の数学的な要素を再現できることを示した。<ref>Aspinwall et al. 2009, p.415</ref> かれらの仕事は、ラングランズ対応が場の量子論のS-双対に密接に関連していて、双方の対象に有効に適用できることを示した。<ref name=autogenerated1 />
<!---In spite of its importance in number theory, establishing the Langlands correspondence in the number theoretic context has proved extremely difficult.<ref name=autogenerated1 /> As a result, some mathematicians have worked on a related conjecture known as the [[geometric Langlands correspondence]]. This is a geometric reformulation of the classical Langlands correspondence which is obtained by replacing the [[number fields]] appearing in the original version by [[function field of an algebraic variety|function fields]] and applying techniques from [[algebraic geometry]].<ref name=autogenerated1 />

In a paper from 2007, [[Anton Kapustin]] and [[Edward Witten]] suggested that the geometric Langlands correspondence can be viewed as a mathematical statement of Montonen-Olive duality.<ref>Kapustin and Witten 2007</ref> Starting with two Yang-Mills theories related by S-duality, Kapustin and Witten showed that one can construct a pair of quantum field theories in two-dimensional [[spacetime]]. By analyzing what this [[dimensional reduction]] does to certain physical objects called [[D-branes]], they showed that one can recover the mathematical ingredients of the geometric Langlands correspondence.<ref>Aspinwall et al. 2009, p.415</ref> Their work shows that the Langlands correspondence is closely related to S-duality in quantum field theory, with possible applications in both subjects.<ref name=autogenerated1 />-->

===サイバーグ双対性===

{{main|{{仮リンク|サイバーグ双対性|en|Seiberg duality}} }}

もう一つ別の場の量子論でのS-双対の実例は、{{仮リンク|サイバーグ双対性|en|Seiberg duality}}であり、1995年頃に最初に[[ネーサン・サイバーグ|ナタン・サーバーグ]](Nathan Seiberg)により導入された<ref>Seiberg 1995</ref>。モントネン・オリーブ双対性とは異なり、4次元の時空での最大超対称性ゲージ理論の 2つのバージョンを関係付ける。サイバーグ双対性は、より小さな超対称性を持つ{{仮リンク|超対称性ゲージ理論|label=N=1超対称性ゲージ理論|en|supersymmetric gauge theory}}(N=1 supersymmetric gauge theories)を関連付ける。サイバーグ双対性に現れる 2つの N=1 理論は、同一ではないが、長い距離では同じ物理を生成する。モントネン・オリーブ双対性のように、サイバーグ双対性は電場と磁場を入れ替えるマックスウェル方程式の対称性を一般したものである。
<!---===Seiberg duality===

{{main|Seiberg duality}}

Another realization of S-duality in quantum field theory is [[Seiberg duality]], first introduced by [[Nathan Seiberg]] around 1995.<ref>Seiberg 1995</ref> Unlike Montonen-Olive duality, which relates two versions of the maximally supersymmetric gauge theory in four-dimensional spacetime, Seiberg duality relates less symmetric theories called [[supersymmetric gauge theory|N=1 supersymmetric gauge theories]]. The two N=1 theories appearing in Seiberg duality are not identical, but they give rise to the same physics at large distances. Like Montonen-Olive duality, Seiberg duality generalizes the symmetry of Maxwell's equations that interchanges electric and magnetic fields.-->

==弦理論の中のS-双対==

[[File:Dualities of string and M-theory.jpg|right|thumb|420px|弦理論のダイアグラム、黄色の線がS-双対を示している。青色の線が[[T-双対]]を示している。]]

1990年代中期、弦理論の物理学者たちは、別々の理論のバージョンは 5つあると信じていた。すなわち、{{仮リンク|タイプI超弦理論|label=タイプ I|en|type I string}}, [[タイプII超弦理論#タイプIIA超弦理論|タイプ IIA]]、[[タイプII超弦理論#タイプIIB超弦理論|タイプ IIB]]と、2つの[[ヘテロティック弦理論|ヘテロ弦]]理論（[[直交群|SO(32)]]のタイプと[[E8 (数学)|E<sub>8</sub>×E<sub>8</sub>]]のタイプ）である。異なるタイプの理論には異なるタイプの弦があり、低エネルギーでの粒子は異なる対称性を示す。
<!---==S-duality in string theory==

[[File:Dualities of string and M-theory.jpg|right|thumb|350px|A diagram of string theory dualities. Yellow lines indicate S-duality. Blue lines indicate [[T-duality]].]]

Up until the mid 1990s, physicists working on [[string theory]] believed there were five distinct versions of the theory: [[type I string|type I]], [[type IIA string|type IIA]], [[type IIB string|type IIB]], and the two flavors of [[heterotic string]] theory ([[special orthogonal group|SO(32)]] and [[E8 (mathematics)|E<sub>8</sub>×E<sub>8</sub>]]). The different theories allow different types of strings, and the particles that arise at low energies exhibit different symmetries.-->

1990年代中期、物理学者たちは、これらの 5つの理論が実際は、高度に非自明な双対性で関連付けられていることに気がついた。これらの双対性のうちの一つがS-双対である。弦理論でのS-双対の存在は、最初は、1994年に{{仮リンク|アショク・セン|en|Ashoke Sen}}(Ashoke Sen)によって提案された<ref>Sen 1994</ref>。結合定数 <math>g</math> を持つタイプ IIBの弦理論が、結合定数 <math>1/g</math> を持つ自分自身のタイプ IIBの弦理論にS-双対（自己双対）を通して等価であることを示した。同様に、結合定数 <math>g</math> を持つタイプ Iの弦理論は、結合定数 <math>1/g</math> を持つ SO(32) のタイプのヘテロ弦理論と等価であることを示した。

それまでは、これらの双対性の存在は 5つの弦理論が実際はすべて異なる理論であったが、1995年の[[南カリフォルニア大学]]での弦理論のコンファレンスで、エドワード・ウィッテンはこれらすべての 5つの弦理論が[[M-理論]]として知られる単一の理論の異なる極限であるとう驚くべき示唆を行った<ref>Witten 1995</ref>。ウィッテンの提案は、タイプ IIAとタイプ E<sub>8</sub>×E<sub>8</sub> のヘテロ弦理論が密接に 11次元の[[超重力理論]]と呼ばれる重力理論に関係しているという見方を基礎としている。彼の発言は、{{仮リンク|第二超弦理論革命|en|second superstring revolution}}の最盛期を築き上げた。
<!---In the mid 1990s, physicists noticed that these five string theories are actually related by highly nontrivial dualities. One of these dualities is S-duality. The existence of S-duality in string theory was first proposed by [[Ashoke Sen]] in 1994.<ref>Sen 1994</ref> It was shown that [[type IIB string theory]] with the coupling constant <math>g</math> is equivalent via S-duality to the same string theory with the coupling constant <math>1/g</math>. Similarly, [[type I string theory]] with the coupling <math>g</math> is equivalent to the [[SO(32)]] [[heterotic string]] theory with the coupling constant <math>1/g</math>.

The existence of these dualities showed that the five string theories were in fact not all distinct theories. In 1995, at the string theory conference at [[University of Southern California]], [[Edward Witten]] made the surprising suggestion that all five of these theories were just different limits of a single theory now known as [[M-theory]].<ref>Witten 1995</ref> Witten's proposal was based on the observation that type IIA and E<sub>8</sub>×E<sub>8</sub> heterotic string theories are closely related to a gravitational theory called eleven-dimensional [[supergravity]].His announcement led to a flurry of work now known as the [[second superstring revolution]].-->

==関連項目==

* [[T-双対]]
* [[U-双対]]
* [[ミラー対称性 (弦理論)]]
* [[AdS/CFT対応]]

==脚注==

{{reflist|2}}

==参考文献==

* {{cite book |editor1-first=Paul |editor1-last=Aspinwall |editor2-first=Tom |editor2-last=Bridgeland |editor3-first=Alastair |editor3-last=Craw |editor4-first=Michael |editor4-last=Douglas |editor5-first=Mark |editor5-last=Gross |editor6-first=Anton |editor6-last=Kapustin |editor7-first=Gregory |editor7-last=Moore |editor8-first=Graeme |editor8-last=Segal |editor9-first=Balázs |editor9-last=Szendröi |editor10-first=P.M.H. |editor10-last=Wilson |title=Dirichlet Branes and Mirror Symmetry |year=2009 |publisher=[[American Mathematical Society]] | isbn=978-0-8218-3848-8}}

* {{cite journal |last1=Frenkel |first=Edward |year=2007 |title=Lectures on the Langlands program and conformal field theory |journal=Frontiers in number theory, physics, and geometry II |publisher=[[Springer]] |pages=387–533 |bibcode=2005hep.th...12172F |arxiv=hep-th/0512172 }}

* {{cite journal |last1=Frenkel |first=Edward |year=2009 |title=Gauge theory and Langlands duality |journal=Seminaire Bourbaki }}

* {{cite journal| title=Gauge theories and magnetic charge | last1=Goddard | first1=Peter |last2=Nuyts |first2=Jean | last3=Olive | first3=David | journal=Nuclear Physics B | volume=125| issue=1 | year=1977| pages= 1–28 | bibcode=1977NuPhB.125....1G | doi=10.1016/0550-3213(77)90221-8 }}

* {{cite book |last1=Griffiths |first1=David |title=Introduction to Electrodynamics |year=1999 |publisher=Prentice-Hall |location=New Jersey }}

* {{cite journal |last1=Kapustin |first1=Anton |last2=Witten |first2=Edward |title=Electric-magnetic duality and the geometric Langlands program |journal=Communications in Number Theory and Physics |volume=1 |issue=1 |pages=1–236 |year=2007 |doi=10.4310/cntp.2007.v1.n1.a1|arxiv = hep-th/0604151 |bibcode = 2007CNTP....1....1K }}

* {{cite journal| title=Magnetic monopoles as gauge particles?| last1= Montonen| first1=Claus| last2=Olive| first2=David| journal=Physics Letters B | volume=72| issue=1| year=1977| pages= 117–120 | bibcode= 1977PhLB...72..117M| doi= 10.1016/0370-2693(77)90076-4}}

* {{cite journal |last=Seiberg |first=Nathan |year=1995 |title=Electric-magnetic duality in supersymmetric non-Abelian gauge theories |journal=Nuclear Physics B |volume=435 |issue=1 |pages=129–146 |bibcode=1995NuPhB.435..129S |doi=10.1016/0550-3213(94)00023-8 |arxiv = hep-th/9411149 }}

* {{cite journal |last1=Sen |first1=Ashoke |year=1994 |title=Strong-weak coupling duality in four-dimensional string theory |journal=International Journal of Modern Physics A |volume=9 |issue=21 |pages=3707–3750 |bibcode=1994IJMPA...9.3707S |doi=10.1142/S0217751X94001497 |arxiv = hep-th/9402002 }}

* {{cite conference |title=Some problems of strong and weak coupling |last1=Witten |first1=Edward |date=March 13–18, 1995 |publisher=World Scientific |book-title=Proceedings of Strings '95: Future Perspectives in String Theory }}

* {{cite journal |last1=Witten |first1=Edward |year=1995 |title=String theory dynamics in various dimensions |journal=Nuclear Physics B |volume=443 |issue=1 |pages=85–126 |bibcode=1995NuPhB.443...85W |doi=10.1016/0550-3213(95)00158-O |arxiv = hep-th/9503124 }}

* {{cite book |last=Zee |first=Anthony |title=Quantum Field Theory in a Nutshell|edition= 2nd  |year=2010 |publisher=[[Princeton University Press]] |isbn=978-0-691-14034-6 }}

* {{cite book |last1=Zwiebach |first1=Barton |title=A First Course in String Theory |year=2009 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-88032-9 }}


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[[Category:場の量子論]]
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[[Category:双対性]]