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'''SIRモデル'''（エスアイアールモデル）は、[[感染症]]の短期的な流行過程を[[決定論]]的に記述する古典的な[[モデル方程式]]である。名称は[[数理モデル|モデル]]が対象とする、感受性保持者（[[wikt:susceptible|'''S'''usceptible]]）、感染者（[[wikt:infected|'''I'''nfected]]）、免疫保持者（[[wikt:recovered|'''R'''ecovered]]、あるいは隔離者 [[wikt:removed|'''R'''emoved]]）の頭文字にちなむ。原型となるモデルは、{{仮リンク|ウィリアム・オグルヴィ・カーマック|en|William Ogilvy Kermack|label=W・O・カーマック}}と{{仮リンク|アンダーソン・グレイ・マッケンドリック|en|Anderson Gray McKendrick|label=A・G・マッケンドリック}}の1927年の論文で提案された<ref>{{cite journal|author=W. O. Kermack and A. G. McKendrick|title=A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics|journal=Proc. Roy. Soc. of London. Series A|volume= 115|issue=772|year= 1927|pages=700-721|doi=10.1098/rspa.1927.0118}} {{JFM|53.0517.01}}</ref>。単純なSIRモデルであっても、1905–06年の[[ボンベイ]]における[[ペスト]]流行のデータをうまく再現することが知られている。
== 概要 ==
[[Image:Sirsys-p9.png|thumb|right|300px|SIRモデルの解の挙動例。縦軸は人数、横軸は時間で、青=S, 緑=I, 赤=Rである。]]
[[Image:StatespaceSI-p9.png|thumb|right|300px|SIRモデルの[[相平面]]上の[[軌道 (力学系)|軌道]] (S, I)。簡単のため {{math|''&rho;'' {{=}} ''&gamma;''/''&beta;''}} とおくと、{{math|''I'' + ''S'' &minus; ''&rho;'' ln ''S'' {{=}} const.}} が成り立ち、{{mvar|I}} は {{math|''S'' {{=}} ''&rho;''}} のとき[[最大値]] {{math|''I''{{sub|max}} {{=}} ''I''{{sub|0}} + ''S''{{sub|0}} &minus; ''&rho;'' ln ''S''{{sub|0}} &minus; ''&rho;'' + ''&rho;'' ln ''&rho;''}} をとる。]]
[[File:Simple SIR model.svg|thumb|right|300px|感染人口密度 {{math|''I''/''N''}} の時間変化と {{math|''&beta;N''/''&gamma;''}} の値の関係。]]
SIRモデルにおいて、全人口は感受性保持者・感染者・免疫保持者の3つへ分割され、感受性保持者Sは感受性保持者Sと感染者Iの積に比例して定率で感染者Iに移行し、感染者Iは定率で免疫保持者Rに移行する（感染期間は[[指数分布]]に従う）と仮定される。この[[時間発展]]を非線形[[常微分方程式]]で記述される連続[[力学系]]として表せば、

:<math>
\begin{align}
\frac{dS}{dt}(t) & = -\beta S(t) I(t) \\
\frac{dI}{dt}(t) & = \beta S(t) I(t) - \gamma I(t) \\
\frac{dR}{dt}(t) & = \gamma I(t) 
\end{align}
</math>

となる。ただし、{{math|''&beta;'' > 0}} は感染率、{{math|''&gamma;'' > 0}} は回復率（隔離率）を表す（逆数 {{math|1/''&gamma;''}} は平均感染期間を表す）。これを[[フローチャート]]で
:{{border|color=black|width=1.5px|<math>\ \mathrm{S}\ </math>}}<math>\overset{\beta I}{\longrightarrow}</math>{{border|color=black|width=1.5px|<math>\ \,\mathrm{I}\ \,</math>}}<math>\overset{\gamma}{\longrightarrow}</math>{{border|color=black|width=1.5px|<math>\ \mathrm{R}\ </math>}}
のように表すこともある。

上記の3式の和を取れば、

:<math>
\frac{d}{dt}\big(S(t)+I(t)+R(t)\big)=0
</math>

であり、これは総人口 {{math|''N''(''t'') {{=}} ''S''(''t'') + ''I''(''t'') + ''R''(''t'')}} が一定値をとる保存則（閉鎖人口の仮定）

:<math>
S(t)+I(t)+R(t)=\mathrm{const.}
</math>

に対応している。この保存則により、本質的に2変数の方程式である<ref>さらに、変数変換 {{math|''s'' {{=}} ''S''/''N''}}, {{math|''i'' {{=}} ''I''/''N''}}, {{math|''&tau;'' {{=}} ''&gamma;t''}} により[[無次元化]]することで、本質的に係数の個数は1つに減らすことができる。無次元化された方程式は[[無次元量]] {{math|''&beta;N''/''&gamma;''}} の値にのみ依存する。</ref>。

簡単のため[[初期値]]を {{math|''I''{{sub|0}} {{=}} ''I''(0) > 0}}, {{math|''S''{{sub|0}} {{=}} ''S''(0) > 0}} とおくと
:<math> \frac{dI}{dt}(0) = I_0(\beta S_0 - \gamma) > 0 </math>
のとき、すなわち
:<math> \mathcal R_0 = \beta S_0/\gamma > 1 </math>
のとき流行が発生する（閾値現象）。この[[無次元量]] {{math|{{mathcal|''R''}}{{sub|0}}}} は[[基本再生産数]]と呼ばれる。上のような最も単純なモデルでは <math> \textstyle \lim_{t \to \infty} I(t) = 0 </math> が成り立ち、[[エンデミック]]な[[定常状態]]や周期的な流行といった現象は説明できない。

== 派生モデル ==
SIRモデルにおいて、出生・死亡などによる人口変動を考慮したモデルや、[[マスター方程式]]による確率的モデルが存在する。また、免疫獲得を考慮しない[[SISモデル]]や潜伏期間を考慮した[[SEIRモデル]]など色々な[[疫学における区画モデル|区画モデル]]が知られている。他にも、感染年齢を考慮した[[偏微分方程式]]によるモデル（[[カーマック・マッケンドリック理論]]）がある。

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{cite book|和書|author=佐藤總夫|title=自然の数理と社会の数理 2|publisher=日本評論社|year=1984|isbn=978-4535603028}}
* {{cite book|和書|author=稲葉寿|title=感染症の数理モデル|publisher=培風館|year=2008|isbn=978-4563011376}}
** {{citation|author=観音幸雄|title=稲葉寿編著, 感染症の数理モデル, 培風館, 2008年|journal=応用数理|volume=19|issue=2|pages=126–127|year=2009|doi=10.11540/bjsiam.19.2_126}}（書評）

== 関連項目 ==
* [[疫学における区画モデル]]
* [[カーマック・マッケンドリック理論]]
* [[SEIRモデル]]
* [[基本再生産数]] {{math|{{mathcal|''R''}}{{sub|0}}}}
* {{仮リンク|リード＝フロストのモデル|en|Reed-Frost model}}

{{DEFAULTSORT:えすあいあるもてる}}

[[Category:疫学]]
[[Category:数理生物学]]
[[Category:種類別のモデル]]
[[Category:数学に関する記事]]