Sumsetのソースを表示

{{otheruses||集合の合併|和集合}}
{{仮リンク|加法的組合せ論|en|additive combinatorics}}において、[[アーベル群|加法群]] {{mvar|G}} の 2つの部分集合 {{mvar|A}} と {{mvar|B}} の'''和'''（わ、{{lang-en-short|sum}}）とは、{{mvar|A}} と {{mvar|B}} の元ごとの和全体の成す集合
:<math>A + B = \{a+b : a \in A, b \in B\}</math>
を言う。同じものを、[[アフィン幾何学]]周辺分野では{{仮リンク|ミンコフスキー演算|label=ミンコフスキー和|en|Minkowski addition}} {{lang|en|(Minkowski sum)}} とも呼ぶ。例えば[[線型代数学]]において、二つの[[線型部分空間]] {{math|''U'', ''V''}} の{{仮リンク|線型部分空間の和|label=和空間|en|Linear subspace#Sum}}{{lang|en|(sum space)}} {{math|''U'' + ''V''}} はこの意味の和集合として定義される。

{{mvar|A}} の '''{{mvar|n}}-重反復和集合''' ({{mvar|n}}-fold iterated sumset)（{{mvar|n}}-倍集合）とは
:<math>nA = \underbrace{A + \dotsb + A}_n</math>
のこととする（ここで、{{mvar|n}} は右辺の項数である）。

加法的組合せ論や{{仮リンク|加法的数論|en|additive number theory}}の多くの問題や結果を、この和集合を用いて言い表すことができる。例えば、ラグランジュの[[四平方定理]]は次の形で表すことができる。
:<math>4\Box = \mathbb{N}.</math>
ここに、<math>\Box</math> は[[平方数]]全体の成すの集合、{{math|'''N'''}} は[[自然数]]全体の成す集合である。多くの研究がなされる主題として、''"small doubling"''（小さい倍化）を持つ集合（すなわち、2-倍集合 {{math|''A''&nbsp;+&nbsp;''A''}} の[[濃度 (数学)|大きさ]]が（{{mvar|A}} に比べて）小さくなるような集合 {{mvar|A}}）の問題がある。{{仮リンク|フレイマンの定理|en|Freiman's theorem}}(Freiman's theorem)の例を参照。

== 関連項目 ==
*{{仮リンク|ミンコフスキー演算|en|Minkowski addition}}(Minkowski addition/subtraction)
*{{仮リンク|制限和集合|en|Restricted sumset}}(Restricted sumset)
*{{仮リンク|シドン集合|en|Sidon set}}(Sidon set)
*[[sum-free set]]
*[[シュニレルマン密度]]
*{{仮リンク|シャプレー・フォークマンの補題|en|Shapley–Folkman lemma}}(Shapley–Folkman lemma)

==参考文献==
*{{ cite book | author=Henry Mann | authorlink=Henry Mann | title=Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory | publisher=Robert E. Krieger Publishing Company | url=http://www.krieger-publishing.com/subcats/MathematicsandStatistics/mathematicsandstatistics.html | location=Huntington, New York | year=1976 | edition=Corrected reprint of 1965 Wiley | isbn=0-88275-418-1 
}}
* {{cite book | zbl=0722.11007 | last=Nathanson | first=Melvyn B. | chapter=Best possible results on the density of sumsets | pages=395–403 | editor1-last=Berndt | editor1-first=Bruce C. | editor1-link=Bruce C. Berndt | editor2-last=Diamond | editor2-first=Harold G. | editor3-last=Halberstam | editor3-first=Heini | editor3-link=Heini Halberstam | editor4-last=Hildebrand | editor4-first=Adolf | title=Analytic number theory. Proceedings of a conference in honor of Paul T. Bateman, held on April 25-27, 1989, at the University of Illinois, Urbana, IL (USA) | series=Progress in Mathematics | volume=85 | location=Boston | publisher=Birkhäuser | year=1990 | isbn=0-8176-3481-9 }}
* {{cite book | first=Melvyn B. | last=Nathanson | title=Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets | volume=165 | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1996 | isbn=0-387-94655-1 | zbl=0859.11003 }}
*Terence Tao and Van Vu, ''Additive Combinatorics'', Cambridge University Press 2006.

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=Sumset|title=Sumset|author=Noe, Tony.}}
* {{MathWorld|urlname=MinkowskiSum|title=Minkowski Sum}}
* {{Planetmath reference|id=3830|title=sumset}}
* {{Planetmath reference|id=7060|title=Minkowski sum}}

{{デフォルトソート:sumset}}
[[Category:加法的整数論]]
[[Category:組合せ論]]
[[Category:数学に関する記事]]