T-双対のソースを表示

<!---{{String theory|cTopic=Theory}}-->
{{要改訳}}{{弦理論}}
'''T-双対'''(T-duality)は、様々な[[弦理論]]の小さな距離と長い距離の間の関係の古典的記述<ref>T-duality in nlab:url=http://ncatlab.org/nlab/show/T-duality</ref>が、それらの特別な場合となるという[[場の量子論]]の対称性である。<ref>{{cite web|url=http://www.staff.science.uu.nl/~caval101/homepage/Research_files/t-duality.pdf|title=Generalised complex geometry and T-duality|accessdate=29 Oct 2013}}</ref> ブッシャー(T. H. Buscher)の論文の中でこの話題の議論が始まり、{{仮リンク|マルティン・ロセック|en|Martin Rocek}}(Martin Rocek)と{{仮リンク|エリック・ヴァーリンデ|en|Erik Verlinde}}(Erik Verlinde)によりさらに深められた。T-双対は、通常の[[素粒子物理学]]の中には存在しない。弦が粒子の動きとは点粒子とは基本的に異なる方法で時空を伝播する。T-双対が理解される以前には、関連がないと考えられていた異なる[[弦理論]]を関連づける。T-双対は、{{仮リンク|第二超弦理論革命|en|Second Superstring Revolution}}の中で進化した。<ref name=Schwarz>[http://www.superstringtheory.com/experm/exper5a1.html superstringtheory] article ''Looking for extra dimensions'' by [http://www.superstringtheory.com/author.html Patricia Schwarz]</ref>
<!---{{String theory|cTopic=Theory}}

'''T-duality''' is a symmetry of [[quantum field theories]] with differing classical descriptions,<ref>{{nlab|id=T-duality}}</ref> of which the relationship between small and large distances in various [[string theory|string theories]] is a special case.<ref>{{cite web|url=http://www.staff.science.uu.nl/~caval101/homepage/Research_files/t-duality.pdf|title=Generalised complex geometry and T-duality}}</ref>  Discussion of the subject originated in a paper by T. H. Buscher and was further developed by [[Martin Rocek]] and [[Erik Verlinde]].  T-duality is not present in ordinary [[particle physics|particle theory]], indicating that strings would experience spacetime in a way that is fundamentally distinct than the way particles do.  It relates different [[string theory|string theories]] that were thought to be unrelated before T-duality was understood. T-duality preceded the [[Second Superstring Revolution]].<ref name=Schwarz>[http://www.superstringtheory.com/experm/exper5a1.html superstringtheory] article ''Looking for extra dimensions'' by [http://www.superstringtheory.com/author.html Patricia Schwarz]</ref>-->

==量的な記述==
[[弦理論]]は、普通の空間次元 3と時間次元 1に加えて、[[:en:Dimension (mathematics and physics)#Additional dimensions|余剰次元]]を予言する。これらの余剰次元の異なるサイズや形は、4次元の低エネルギー物理に現れる異なる力や異なる粒子となるので、異なった形の宇宙は異なった物理を持つであろう。しかし、これらの多くの幾何学が同じ物理を結果し、これがT-双対の基礎となっている。
<!---==Qualitative description==

[[String theory]] predicts the existence of [[extra dimensions]] in addition to the usual three space and single time dimensions.  Different shapes and sizes of these extra dimensions result in different forces and particles appearing in the four-dimensional low energy physics and so universes with different shapes for the extra dimensions will have different physics.  However, many of these geometries result in the same physics and this is the basis of T-duality.-->

例えば、次元の一つが半径 {{math|<VAR>R</VAR>}} の円の場合を考える。この方向へ粒子や弦は[[運動量]]を持つので、そのような状態を'''[[:en:Kaluza–Klein theory|カルツァ・クラインモード]]'''と呼ぶ。この方向の運動量は、次を満たすことで量子化される。
:<math>
p=\frac{n}{R}
</math>
半径 {{math|<VAR>R</VAR>}} を小さくすると、モードの一つで励起させるさせることにさらにエネルギーが必要となる。他方、{{math|<VAR>R</VAR>}} が大きくすると、カルツァ・クライン状態のあいだの間隔が小さくなり、半径が無限大の極限で、運動量はもはや量子化されていない。

粒子とは異なり、閉弦はまた余剰次元に巻き付くこともできる。そのような状態を'''巻き付きモード'''と言う。巻き付きモードを励起するエネルギーは、半径 {{math|<VAR>R</VAR>}} に比例して量子化されているので、半径が小さくなるにつれて、巻き付きモードが小さくなるので、半径がゼロとなる極限ではもはや量子化されない。一方、半径が大きくなると巻き付きモードを励起することに使うエネルギーは大きくなる。このカルツァ・クラインモードの振る舞いは反対で、巻き付きモードとカルツァ・クラインモードを入れ替えると、半径が小さいと大きい閉弦の振る舞いは同じになる。半径 {{math|<VAR>R</VAR>}} での物理と半径 {{math|<VAR>&alpha;'</VAR>/<VAR>R</VAR>}} での物理が同じになる。この関係がT-双対の例である。
<!---For example, consider the case where one of the dimensions is a circle of radius {{math|<VAR>R</VAR>}}.  A particle or string can carry [[momentum]] in this direction, and such a state is called a [[Kaluza-Klein theory|Kaluza-Klein mode]].  The momentum in this direction is quantized in that the momentum satisfies
:<math>
p=\frac{n}{R}
</math>
As the radius {{math|<VAR>R</VAR>}} becomes smaller, it costs more energy to excite one of these modes. On the other hand, as {{math|<VAR>R</VAR>}} gets larger, the spacing between Kaluza-Klein states becomes smaller and in the limit of infinite radius, momentum is no longer quantized.

Unlike particles, a closed string can also wrap around the extra dimension.  Such a state is called a winding mode.  The energy to excite a winding mode is quantized proportional to the radius {{math|<VAR>R</VAR>}}, so that as the radius gets smaller, the spacing between winding modes gets smaller, and in the limit of zero radius is no longer quantized while as the radius gets larger, it costs more energy to excite the winding modes.  This is the opposite behavior of the Kaluza-Klein modes and suggests that the small and large radius behavior of the closed string is the same if we interchange winding modes and Kaluza-Klein modes.  One can show that the physics at radius {{math|<VAR>R</VAR>}} is the same as the physics at radius
{{math|<VAR>&alpha;'</VAR>/<VAR>R</VAR>}}.  This relationship is an example of T-duality.-->

== ボゾン弦 ==
T-双対のアイデアを説明するために、半径 {{math|<VAR>R</VAR>}} の円へコンパクト化された{{仮リンク|ボゾン弦の理論|label=ボゾン弦|en|bosonic string theory}}を考える。弦は、純粋な運動量 {{math|<VAR>p</VAR>}} をコンパクト化された次元の中でも持っている。この粒子の場合には、運動量は {{math|<VAR>1/R</VAR>}} の単位に量子化されているはずである。

:<math>
p=\frac{n}{R}
</math>

ここに n は整数である。しかし、粒子の場合とは違い、{{仮リンク|閉弦|en|closed string}}はコンパクト化した次元の周りに巻きついているかもしれない。その次元の周りに巻き付いた回数を[[巻き付き数]] {{math|<VAR>w</VAR>}} と言う。従って、閉弦の質量は、

:<math>
m^2=\frac{n^{2}}{R^{2}}+\frac{w^{2}R^{2}}{\alpha^{\prime 2}}+\frac{2}{\alpha'}\left(N+\tilde{N}-2\right)
</math>

となる。ここに {{math|<VAR>N</VAR>}} と {{math|<VAR>Ñ</VAR>}} は閉弦の左-(left-) と右-移動(right-mover)の励起で、{{math|<VAR>&alpha;'</VAR>}} は、傾きパラメータ(slope parameter)である。このスペクトルは次の変換の下に不変である。

:<math>
R\leftrightarrow \alpha'/R\quad n\leftrightarrow w
</math>

すなわち、閉弦のスペクトルは半径 {{math|<VAR>&alpha;'</VAR>/<VAR>R</VAR>}} の背景(background)を持つ閉弦のスペクトルと同じスペクトルを持つ。閉弦の相互作用も、この変換の下に不変であることを示すことができる。このことは半径 {{math|<VAR>R</VAR>}} のコンパクト化した閉じたボゾン弦は、半径 {{math|<VAR>&alpha;'</VAR>/<VAR>R</VAR>}} の理論に等価であることを意味する。
<!---== Bosonic string ==

To illustrate the ideas of T-duality, consider the [[bosonic string theory|bosonic string]] compactified on a circle of radius {{math|<VAR>R</VAR>}}.  The string may carry a net momentum {{math|<VAR>p</VAR>}} in the compactified dimension.  As is the case for particles, the momentum must be quantized in units of {{math|<VAR>1/R</VAR>}},

:<math>
p=\frac{n}{R}
</math>

where ''n'' is an integer.  However, unlike the case for particles, a [[closed string]] may also wrap around the compactified dimension.  The number of times that the closed string wraps around that dimension is called the winding number {{math|<VAR>w</VAR>}}.  The mass of a closed string is then

:<math>
m^2=\frac{n^{2}}{R^{2}}+\frac{w^{2}R^{2}}{\alpha^{\prime 2}}+\frac{2}{\alpha'}\left(N+\tilde{N}-2\right)
</math>

where {{math|<VAR>N</VAR>}} and {{math|<VAR>Ñ</VAR>}} are the excitations for the left- and right-movers of the closed string, and {{math|<VAR>&alpha;'</VAR>}} is the slope parameter.  This spectrum is invariant under the interchange

:<math>
R\leftrightarrow \alpha'/R\quad n\leftrightarrow w
</math>

That is, the spectrum of the closed string is the same spectrum of a closed string in a background with radius {{math|<VAR>&alpha;'</VAR>/<VAR>R</VAR>}}.  One can similarly show that the interactions of closed strings are also invariant under this interchange.  This implies that the closed bosonic string compactified on a radius {{math|<VAR>R</VAR>}} is equivalent to the theory with radius {{math|<VAR>&alpha;'</VAR>/<VAR>R</VAR>}}.-->

== 超弦 ==
T-双対のアイデアは、[[超弦理論]]のような、より一般な的な背景へ拡張することができる。T-双対は、[[タイプII超弦理論|タイプ IIの弦]]を互いに（タイプ IIAをタイプ IIBへ、タイプ IIBをタイプ IIAへ）入れ替える。また{{仮リンク|ヘテロ弦理論|label=ヘテロ弦|en|heterotic string theory}}を互いに（ヘテロ SO(32)をヘテロ  E<sub>8</sub>×E<sub>8</sub> へ、ヘテロ E<sub>8</sub>×E<sub>8</sub> をヘテロ SO(32) へ）入れ替える。例えば、問題の方向に一度巻き付いたタイプ IIAの弦から始めると、T-双対は、その方向に運動量を持つタイプ IIBの弦へ移す。巻数 2 を持つタイプ IIA弦は、運動量の単位 2つを持つタイプ IIB弦へ移すように、ほかも同様である。
<!---== Superstrings ==

The idea of T-duality can be extended to more general backgrounds and even to [[superstring theory|superstring theories]].  T-duality interchanges the [[Type II string theory|type II superstrings]] with each other and also [[heterotic string theory|heterotic strings]]. For example, one might begin with a IIA string wrapped once around the direction in question. Under T-duality, it will be mapped to a IIB string which has momentum in that direction. A IIA string with a winding number of two (wrapped twice) will be mapped to a IIB string with two units of momentum, and so on.-->

== 開弦とD-ブレーン ==
T-双対は、[[Dブレーン|D-ブレーン]]に作用すると、その次元を +1 するか -1 するように作用する。 
<!---== Open strings and D-branes ==

T-duality acting on [[D-branes]] changes their dimension by +1 or -1.-->

== ミラー対称性 ==
{{main|SYZ予想}}
[[アンドリュー・ストロミンジャー]](Andrew Strominger)、[[シン＝トゥン・ヤウ]](Shing-Tung Yau)、{{仮リンク|エリック・ザスロフ|en|Eric Zaslow}}(Eric Zaslow)は、[[ミラー対称性 (弦理論)|ミラー対称性]]が、[[カラビ・ヤウ空間]]の 3 次元トロイダルファイバー空間に適応したT-双対として理解できることを示した。
<!---== Mirror symmetry ==

[[Andrew Strominger]], [[Shing-Tung Yau]], and [[Eric Zaslow]] have showed that [[mirror symmetry (string theory)|mirror symmetry]] can be understood as T-duality applied to three-dimensional toroidal fibres of the [[Calabi–Yau space]].-->

==脚注==
<references/>

== 参照項目 ==
*[[S-双対]]
*{{仮リンク|U-双対|en|U-duality}}
*[[ミラー対称性 (弦理論)|ミラー対称性]]
*{{仮リンク|弦双対性|en|String duality}}

==参考文献==
*Becker, K., Becker, M., and [[John Henry Schwarz|Schwarz, J. H.]] (2007). ''String Theory and M-Theory: A Modern Introduction''. Cambridge, UK: Cambridge University Press.
*{{cite book|last=Polchinski|first=J.|authorlink=Joseph Polchinski|title=String Theory|location=Cambridge, UK|publisher=Cambridge University Press|year=1998}}
*{{citation|first1=T.H.|last1=Buscher|title=A symmetry of the string background field equations|journal=Phys. Lett. B| volume = 194 | issue = 1 | pages = 59-62|year=1987}} 
*{{citation|first1=M.|last1=Rocek|first2=E.|last2=Verlinde|title=Duality, quotients and currents|journal=Nuclear Phys. B | volume = 373 | issue = 3 | pages = 630-646|year=1992}}

{{デフォルトソート:ていいそうついせい}}
[[Category:弦理論]]
[[Category:双対性]]