Tonnetzのソースを表示

{{翻訳直後|1=[https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Tonnetz&oldid=906123190 英語版 "Citation bot" 20:02, 13 July 2019]|date=2020年6月29日}}
[[ファイル:Neo-Riemannian_Tonnetz.svg|右|サムネイル|500x500ピクセル|現代的なTonnetzの表現。A minorは濃い青、C majorは濃い赤である。Tonnetzは[[トーラス|輪環面]]として解釈され、12個のノード（ピッチ）と24個の三角形（三和音）がある。]]
音楽の[[調律]]と[[和声]]において、'''Tonnetz''' ({{Lang-de|tone-network}}）は概念的な{{仮リンク|格子図|en|Lattice (music)}}であり、最初に[[レオンハルト・オイラー]]によって1739年<ref name="euler_1739">{{Cite book|last=Euler|first=Leonhard|author-link=Leonhard Euler|year=1739|language=Latin|title='''Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae'''|pages=147|publisher=Saint Petersburg Academy}}</ref>に[[ピッチ空間|音空間]]を示すのに使われた。''Tonnetz''の様々な視覚的表現は、ヨーロッパの西洋音楽における[[調性音楽|伝統的な調性の関係]]を表示するために使用することができる。近親関係表とも呼ばれる<ref>{{Cite book|last=西田|first=紘子|title=ネオ・リーマン理論のリーマン受容にみる概念変容─「進行／転換」と「PLR 変形」を中心に─|volume=65|issue=1|page=6|issn=00302597|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/ongakugaku/65/1/65_1/_article/-char/ja/}}</ref>。

== 1900年までの歴史 ==
[[ファイル:Eulers_tonnetz.png|左|サムネイル|オイラーのTonnetz。]]
''Tonnetz'' が最初に登場したのは、オイラーの1739年の『''Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae''』<ref name="euler_1739" />である。左の画像にあるオイラーの''Tonnetz''は、[[完全五度|完全5度]]と[[長三度|長3度]]との三和音の関係を示している。画像の上部はF、左下はC（Fの[[完全五度|完全5度]]上）、右はA（Fの[[長三度|長3度]]上）である。この空間は、1858年に{{仮リンク|アーンスト・ナウマン|en|Ernst Naumann}}によって再発見され、1866年に{{仮リンク|アーサー・フォン・エッティンゲン|en|Arthur von Oettingen}}の論文によって広く知られることとなった。エッティンゲンと、有力な音楽学者[[フーゴー・リーマン]] （数学者[[ベルンハルト・リーマン]]と混同しないこと）は、和音間の和声運動と主音の調音を図示する空間の能力を探った。''Tonnetz''と同様の認識は、19世紀後半の多くのドイツの音楽理論家の作品に現れた<ref name="cohnintro">{{Cite journal|last=Cohn|first=Richard|year=1998|title=Introduction to Neo-Riemannian Theory: A Survey and a Historical Perspective|journal=Journal of Music Theory|volume=42|issue=2 Autumn|pages=167–180|ref=harv|doi=10.2307/843871|jstor=843871}}</ref>。

エッティンゲンとリーマンは、純粋な間隔で構成される[[純正律]]で定義される図表上での関係性を考えた。Tonnetzの水平方向の行の一方は、無限に拡張された[[五度圏|完全5度のシーケンス]]を形成できる（F - C - G - D - A - E - B - F{{music|sharp}} - C{{music|sharp}} - G{{music|sharp}} - D{{music|sharp}} - A{{music|sharp}} - E{{music|sharp}} - B{{music|sharp}} - F{{music|doublesharp}} - C{{music|doublesharp}} - G{{music|doublesharp}} - 等）。Fから始まり、完全5度を12回繰り返した後、E{{music|sharp}}に到達する。純正律の完全5度は、現代の一般的な調律システムである[[平均律]]で使用されている妥協的な5度よりもわずかに大きくなっている。これは、Fから完全5度を12回繰り返したときに到達するE{{music|sharp}}が、最初のFからちょうど7オクターブ上にはない（<math>(\tfrac{3}{2})^{12} = 129.746337\ldots \neq 2^7 = 128</math>）ことを意味する。エッティンゲンとリーマンの''Tonnetz''は、このようにピッチを''不正確''に繰り返したまま、あらゆる方向に無限に広がる。

19世紀のドイツの理論家に対する''Tonnetz''の訴えは、音の距離と音の関係を空間的に表現できることであった。たとえば、記事の冒頭にある画像の暗い青色のA minor（A - C - E）を見ると、A major（A - C{{music|sharp}} - E。イ長調はイ短調の同主調）は、頂点AとEを共有する右下の三角形である。C major（C - E - G。ハ長調はイ短調の平行調）は右上に隣接する三角形で、CとEの頂点を共有する。E major（E - G{{music|sharp}} - B。イ短調における属三和音）は、頂点Eを斜めに横切り、他の頂点を共有しない。1つの重要なポイントは、1組の三角形の間のすべての共有頂点がコード間の共有ピッチであることである。頂点が共有されるほど、コードが共有するピッチが多くなる。これにより、音程の変化が少ない場合に和音間の動きが流暢に見られ、「[[オッカムの剃刀|ケチ]]」な[[声部連結]]の原理が視覚化される。この原則は、伝統的な音色の関係を頻繁に避けていたワーグナーのような19世紀後半の作曲家の音楽を分析する上で特に重要である<ref name="cohnintro">{{Cite journal|last=Cohn|first=Richard|year=1998|title=Introduction to Neo-Riemannian Theory: A Survey and a Historical Perspective|journal=Journal of Music Theory|volume=42|issue=2 Autumn|pages=167–180|ref=harv|doi=10.2307/843871|jstor=843871}}</ref>。

== 20世紀の再解釈 ==
{{main|ネオ・リーマン理論}}
[[ファイル:PLR on tonnetz.png|右|サムネイル|ネオ・リーマン理論における、短和音Qに対するPLR操作（[[同主調|Parallel:同主調]]、[[導音|Leading-tone:導音]]、[[平行調|Relative:平行調]]）。]]
[[ネオ・リーマン理論]]家の{{仮リンク|デイビット・ルーウィン|en|David Lewin}}、ブライアン・ハイアーなどによる最近の研究では、ピッチ構造の特性をさらに探求するために''Tonnetz''を復活させた<ref name="cohnintro">{{Cite journal|last=Cohn|first=Richard|year=1998|title=Introduction to Neo-Riemannian Theory: A Survey and a Historical Perspective|journal=Journal of Music Theory|volume=42|issue=2 Autumn|pages=167–180|ref=harv|doi=10.2307/843871|jstor=843871}}</ref>。一般的に、現代の音楽理論家は、[[平均律]]と[[ピッチクラス]]を使用して''Tonnetz''を構築する。ピッチクラスでは、ピッチのオクターブ転置は区別されない。[[平均律]]の下では、前述の無限に広がる完全5度が1サイクルになる。ネオ・リーマン理論家は通常、[[異名同音]]は等価であると仮定する（つまり、A{{music|flat}} = G{{music|sharp}}）。したがって、19世紀の''Tonnetz''の2次元平面は、2つの異なる方向に循環し、数学的には[[トーラス]]と[[同型写像|同型]]である。理論家は数学における[[群論]]を使用した、新しい周期的構造の研究をした{{要出典|date=March 2016}} 。

ネオ・リーマン理論家はまた、非音調の三項関係を視覚化するために''Tonnetz''を使用した。例えば、記事の冒頭の図で、Cから左上に向かう対角線は、1オクターブを3つの[[長三度]]による分割（C - A{{music|flat}} - E - C。正確には、E は F{{music|flat}}、最後の C は D{{music|doubleflat}} である）を形成する。リチャード・コーンは、これら3音（C major、A{{music|flat}} major、E major）で構築された一連の三和音は、[[和声#和音の機能|機能和声]]に関する伝統的な概念を使用して適切に説明することができないが、この周期には''Tonnetz''を用いて簡単に気づくことができる流暢な[[声部連結]]や、その他の重要な群の特性があると主張している<ref>{{Cite journal|last=Cohn|first=Richard|date=March 1996|title=Maximally Smooth Cycles, Hexatonic Systems, and the Analysis of Late-Romantic Triadic Progressions|journal=Music Analysis|volume=15|issue=1|pages=9–40|doi=10.2307/854168|jstor=854168}}</ref>。

== 他の可視化方法との類似点 ==
{{仮リンク|ハーモニックテーブルノートレイアウト|en|Harmonic table note layout}}は、最近{{いつ|date=May 2012}}位相幾何学的にTonnetzと同等のノートレイアウトを使用する音楽インターフェイスとして開発された。
[[ファイル:QWERTY_with_Tonnetz.jpg|右|サムネイル| ''アイソモフィックキーボード''上の音に合わせて配置された''Tonnetz''。]]
[[ファイル:Chord_Lattice.jpg|右|サムネイル| ''Tonnetz''で囲まれた和音を示す。先頭を大文字で示した和音（Xx）は長和音、そうでないもの（xx）は短和音である。]]
{{仮リンク|シントニック音律|en|Syntonic temperament}}である''Tonnetz''は、連続する[[完全五度|完全5度]]を示す線、連続する[[長三度|長3度]]を示す線、連続する[[短三度|短3度]]を示す線を接続することによって与えられたアイソモフィックキーボードから導出することができる<ref>{{Cite journal|last=Milne|first=A.|last2=Sethares|first2=W. A.|last3=Plamondon|first3=J.|year=2007|title=Invariant fingerings across a tuning continuum|url=http://oro.open.ac.uk/21503/1/comj.2007.31.4.15|journal=Computer Music Journal|volume=31|issue=4 Winter|pages=15–32|ref=harv|doi=10.1162/comj.2007.31.4.15}}</ref>。''Tonnetz''自体と同様に、{{仮リンク|アイソモフィックキーボード|en|Isomorphic keyboard}}はチューニング不変性を持つ。シントニック音律である''Tonnetz''の[[位相幾何学|形態]]は、一般に[[円柱 (数学)|円筒形]]である。

[[File:Chart of Regions.jpg|右|サムネイル|シェーンベルクの調域図]]
''Tonnetz''は、[[アルノルト・シェーンベルク]]の'''調域図'''<ref>{{Cite book|last=久保田|first=慶一|title=音楽分析の歴史: ムシカ・ポエティカからシェンカー分析へ|pages=123-124|isbn=978-4-393-93038-0}}</ref>（chart of the regions）に対する[[双対グラフ]]であり<ref>{{Cite book|last=Schoenberg|first=Arnold|last2=Stein, L.|year=1969|title='''Structural Functions of Harmony'''|publisher=Norton|location=New York|isbn=978-0-393-00478-6}}
</ref>、もちろん''その逆''でもある。音楽認識の研究により、人間の脳は調域図を使用して音調関係を処理することが実証されている<ref>{{Cite journal|last=Janata|first=Petr|last2=Jeffrey L. Birk|last3=John D. Van Horn|last4=Marc Leman|last5=Barbara Tillmann|last6=Jamshed J. Bharucha|date=December 2002|title='''The Cortical Topography of Tonal Structures Underlying Western Music'''|journal=Science|volume=298|issue=5601|pages=2167–2170|bibcode=2002Sci...298.2167J|doi=10.1126/science.1076262|pmid=12481131}}
</ref>。

== 関連記事 ==

* [[ネオ・リーマン理論]]
* [[ピッチクラス・セット理論]] 
* [[リーマン理論]]
* {{仮リンク|変換理論|en|Transformational theory}}
* {{仮リンク|チューニング理論|en|Tuning theory}}
* {{仮リンク|和声に関する論文|en|Treatise on Harmony}}
* {{仮リンク|フォーゲルのTonnetz|en|Vogel's Tonnetz}}

== 脚注 ==
{{Reflist|30em}}

== 外部リンク ==

* [http://www.tonnetz.webatu.com/ Music harmony and donuts]{{リンク切れ|date=2022年1月}} by Paul Dysart
* [http://www.robertkelleyphd.com/justtonnetz.htm Charting Enharmonicism on the Just-Intonation Tonnetz] by Robert T. Kelley
* [http://www.theshapeofmusic.com/ Midi-Instrument based on Tonnetz (Melodic Table)]{{リンク切れ|date=2022年1月}} by The Shape of Music
* [http://www.c-thru-music.com/ Midi-Instrument based on Tonnetz (Harmonic Table)] by C-Thru-Music
* [https://cifkao.github.io/tonnetz-viz/ TonnetzViz (interactive visualization)] by Ondřej Cífka; [https://codedot.github.io/tonnetz/ a modified version] by Anton Salikhmetov
* [https://louisbigo.com/hexachord HexaChord] by Louis Bigo
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:束論]]
[[Category:ダイアグラム]]