Tor関手のソースを表示

[[ホモロジー代数]]において、'''Tor 関手''' ({{lang-en-short|Tor functor, torsion functor}}) は[[テンソル積]]の関手の[[導来関手]]である。それらは最初一般に[[代数トポロジー]]において{{仮リンク|Künnethの定理|en|Künneth theorem}}と[[普遍係数定理]]を表現するために定義された{{Citation needed|date=December 2008}}。

特に ''R'' を[[環 (数学)|環]]とし、''R''-'''Mod''' で左 ''R''-[[環上の加群|加群]]の[[圏論|圏]]を、'''Mod'''-''R'' で右 ''R''-加群の圏を表す{{efn|''R'' が[[可換環]]であればふたつの圏は一致する。}}。''R''-'''Mod''' の加群 ''B'' をひとつ選んで固定する。'''Mod'''-''R'' の対象 ''A'' に対し、''T''(''A'') = ''A''&otimes;<sub>''R''</sub>''B'' とおく。すると ''T'' は '''Mod'''-''R'' から[[アーベル群の圏]] '''Ab''' への[[完全関手|右完全関手]]である{{efn|''R'' が可換なときは、'''Mod'''-''R'' から '''Mod'''-''R'' への右完全関手でもある。}}。そして、その左[[導来関手]] ''L<sub>n</sub>T'' が定義される。

: <math>\mathrm{Tor}_n^R(A,B)=(L_nT)(A)</math>

とおく。すなわち、[[射影分解]]

: <math>\cdots\longrightarrow P_2 \overset{d_2}{\longrightarrow} P_1 \overset{d_1}{\longrightarrow} P_0 \overset{\varepsilon}{\longrightarrow} A\rightarrow 0</math>

をとり ''A'' の項を取り除き射影分解に ''B'' をテンソルして[[鎖複体|複体]]

: <math>\cdots \longrightarrow P_2\otimes_R B \overset{d_2\otimes1}{\longrightarrow} P_1\otimes_R B \overset{d_1\otimes1}{\longrightarrow} P_0\otimes_R B  \longrightarrow 0</math>

を得る{{efn|''A''&otimes;<sub>''R''</sub>''B'' は現れず最後の射は単に0写像であることに注意せよ。}}。そしてこの複体の[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]をとる。

== 性質 ==
* すべての ''n'' &ge; 1 に対して、Tor{{su|b=''n''|p=''R''}} は '''Mod'''-''R'' &times; ''R''-'''Mod''' から '''Ab''' への[[加法的関手]]である。''R'' が可換である場合には、'''Mod'''-''R'' &times; '''Mod'''-''R'' から '''Mod'''-''R'' への加法的関手である。

* 導来関手のすべての族に対して正しいように、すべての短[[完全列]] 0 → ''K'' → ''L'' → ''M'' → 0 は次の形の長完全列を誘導する。
::<math>\cdots\rightarrow\mathrm{Tor}_2^R(M,B)\rightarrow\mathrm{Tor}_1^R(K,B)\rightarrow\mathrm{Tor}_1^R(L,B)\rightarrow\mathrm{Tor}_1^R(M,B)\rightarrow K\otimes_R B\rightarrow L\otimes_R B\rightarrow M\otimes_R B\rightarrow 0.</math>

* ''R'' が可換で ''r'' &isin; ''R'' が[[零因子]]でなければ、
::<math>\mathrm{Tor}_1^R(R/(r),B)=\{b\in B:rb=0\}</math>
であり{{sfn|Weibel|1994|p=[{{google books|flm-dBXfZ_gC|plainurl=yes|page=68}} 68]|loc=Example 3.1.8}}、ここから用語 ''Tor'' (すなわち ''Torsion'') が来ている。[[捩れ部分群]]参照。

* すべての ''n'' &ge; 2 に対して、Tor{{su|b=''n''|p='''Z'''}}(''A'', ''B'') = 0 である{{sfn|Weibel|1994|p=[{{google books|flm-dBXfZ_gC|plainurl=yes|page=66}} 66]|loc=Proposition 3.1.2(b)}}。理由：[[自由アーベル群]]の部分群は自由アーベル群なので、すべての[[アーベル群]] ''A'' は長さ1の[[射影分解|自由分解]]をもつから。なのでこの重要な特別な場合には、''n'' &ge; 2 の Tor 関手は消える。さらに、 ''f'' : ''A'' &rarr; ''A'' で"''k'' 倍写像"を表すと Tor{{su|b=1|p='''Z'''}}('''Z'''/''k'''''Z''', ''A'') = Ker(''f'') である。

* さらに、すべての自由加群は長さ0の自由分解をもつので、上記の議論から、''F'' が自由 ''R''-加群であれば、すべての ''n'' &ge; 1 に対して Tor{{su|b=''n''|p=''R''}}(''F, B'') = 0。

* Tor 関手は{{仮リンク|フィルター余極限|en|filtered colimit}}と任意の[[加群の直和|直和]]を保つ。つまり、次の{{仮リンク|自然同型|en|natural isomorphism}}が存在する。
::<math>\mathrm{Tor}_n^R \left (\bigoplus_i A_i, \bigoplus_j B_j \right) \simeq \bigoplus_i \bigoplus_j \mathrm{Tor}_n^R(A_i,B_j).</math>
:

* [[有限生成アーベル群の分類]]から、すべての有限生成アーベル群は '''Z''' と '''Z'''<sub>''k''</sub> のコピーの直和であることを知っている。このことと前の3つから、''A'' が有限生成であるときにはいつでも Tor{{su|b=1|p='''Z'''}}(''A'', ''B'') を計算することができる。

* 加群 ''M'' &isin; '''Mod'''-''R'' が[[平坦加群|平坦]]であることと、Tor{{su|b=1|p=''R''}}(''M'', – ) = 0 であることは同値である。このとき、すべての ''n'' &ge; 1 に対して Tor{{su|b=''n''|p=''R''}}(''M'', – ) = 0 でさえある{{sfn|Weibel|1994|p=[{{google books|flm-dBXfZ_gC|plainurl=yes|page=69}} 69]|loc=Exercise 3.2.1}}。実は、Tor{{su|b=''n''|p=''R''}}(''A, B'') を計算するには、射影分解の代わりに ''A'' あるいは ''B'' の''[[平坦分解]]''を使ってもよい{{efn|射影分解は自動的に平坦分解であるが逆は正しくないので平坦分解を許す方が柔軟であることに注意しよう。}}。

== 脚注 ==
{{notelist}}
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite book
    |last1       = Weibel
    |first1      = Charles A.
    |year        = 1994
    |title       = An Introduction to Homological Algebra
    |series      = Cambridge Studies in Advanced Mathematics
    |volume      = 38
    |url         = {{google books|flm-dBXfZ_gC|plainurl=yes}}
    |publisher   = Cambridge University Press
    |isbn        = 0-521-55987-1
    |mr          = 1269324
    |zbl         = 0797.18001
    |ref         = harv
}}

== 関連項目 ==
*[[Ext関手]]
*[[弱大局次元]]

{{DEFAULTSORT:Torかんしゆ}}
[[Category:ホモロジー代数]]
[[Category:二項演算]]
[[Category:数学に関する記事]]