WZWモデルのソースを表示

{{要改訳}}
{{Distinguish|{{仮リンク|ベス・ズミノモデル|en|Wess–Zumino model}}}}
[[理論物理学]]および[[数学]]において、'''ベス・ズミノ・ウィッテンモデル''' (Wess–Zumino–Witten (WZW) model) とは、[[アフィンリー代数#定義|アフィン・カッツ・ムーディ代数]]が解となるような単純な[[共形場理論]]モデルのことを言う。'''WZWモデル'''と省略されたり、'''ベス・ズミノ・ノヴィコフ・ウィッテンモデル'''(Wess–Zumino–Novikov–Witten model)とも言う。命名は[[ユリウス・ヴェス]]、[[ブルーノ・ズミノ]]、[[セルゲイ・ノヴィコフ (数学者)|セルゲイ・ノヴィコフ]]と[[エドワード・ウィッテン]]による<ref>{{Cite journal | last1 = Wess | first1 = J. | last2 = Zumino | first2 = B. | doi = 10.1016/0370-2693(71)90582-X | title = Consequences of anomalous ward identities | journal = Physics Letters B | volume = 37 | pages = 95 | year = 1971 | pmid =  | pmc = |bibcode = 1971PhLB...37...95W }}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Witten | first1 = E. | title = Global aspects of current algebra | doi = 10.1016/0550-3213(83)90063-9 | journal = Nuclear Physics B | volume = 223 | issue = 2 | pages = 422–421 | year = 1983 | pmid =  | pmc = |bibcode = 1983NuPhB.223..422W }}</ref>
<ref>{{Cite journal | last1 = Witten | first1 = E. | title = Non-abelian bosonization in two dimensions | doi = 10.1007/BF01215276 | journal = Communications in Mathematical Physics | volume = 92 | issue = 4 | pages = 455–472 | year = 1984 | pmid =  | pmc = |bibcode = 1984CMaPh..92..455W }}</ref><ref>{{cite journal | 
  author=Novikov, S.P.  |  title=Multivalued functions and functionals. An analogue of the Morse theory |
  journal= Sov. Math., Dokl. |
  volume=24 |
  pages=222–226 |
  year=1981}}; {{Cite journal | last1 = Novikov | first1 = S. P. | title = The Hamiltonian formalism and a many-valued analogue of Morse theory | doi = 10.1070/RM1982v037n05ABEH004020 | journal = Russian Mathematical Surveys | volume = 37 | issue = 5 | pages = 1–9 | year = 1982 | pmid =  | pmc = }}</ref>。

==作用==
''G'' を[[コンパクト空間|コンパクト]]で[[単連結]]な[[リー群]]とし、'''g''' をその[[単純リー代数]]とする。''γ'' を ''G'' に値を持つ[[複素平面]]上の場とする。さらに、''γ'' を[[リーマン球面]] '''S<sup>2</sup>'''上で定義したい。これは[[無限遠点]]を加えることで複素平面を[[コンパクト化]]したものである。

そこで、WZWモデルは、次で与えられる[[作用 (物理学)|作用]]をもつ γ で定義される[[非線型シグマモデル]]と定義される。
:<math>S_k(\gamma)= - \,  \frac {k}{8\pi} \int_{S^2} d^2x\, 
\mathcal{K} (\gamma^{-1} \partial^\mu \gamma \,  , \,   
\gamma^{-1} \partial_\mu \gamma) + 2\pi k\, S^{\mathrm{WZ}}(\gamma).</math>

ここに {{math|∂<sub>μ</sub>  {{=}}  ∂/∂x<sup>μ</sup>}} は[[偏微分]]であり、和は[[ユークリッド計量]]のインデックスを渡る普通の[[アインシュタインの縮約記法]]を使う。ここに、<math>\mathcal{K}</math> は '''g''' 上の[[キリング形式]]であり、従って、第一項は、[[場の量子論]]の標準的な力学項である。

項 <math>S^{WZ}</math> は、'''ベス・ズミノ項''' (Wess–Zumino term) と呼ばれ、次のように書くことができる。
:<math>S^{\mathrm{WZ}}(\gamma) = - \, \frac{1}{48\pi^2} \int_{B^3} d^3y\, 
\epsilon^{ijk} \mathcal{K} \left( 
\gamma^{-1} \, \frac {\partial \gamma} {\partial y^i} \, , \, 
\left[
\gamma^{-1} \, \frac {\partial \gamma} {\partial y^j} \, , \,
\gamma^{-1} \, \frac {\partial \gamma} {\partial y^k}
\right]
\right)</math>

ここに、[,] は[[交換子]]であり、''ε<sup>ijk</sup>'' は{{仮リンク|完全反対称テンソル|en|completely anti-symmetric tensor}}(completely anti-symmetric tensor)で、積分は、座標 ''y<sup>i</sup>'' (''i'' = 1, 2, 3) に対し、[[単位球]] <math>B^3</math> を渡ることする。この積分では、場 γ は単位球の内部で定義されるように拡張される。[[ホモトピー#ホモトピー群|ホモトピー群]] {{π}}<sub>2</sub>(''G'') が常に任意のコンパクトな単連結なリー群の上ではゼロとなることから、この拡張はいつでも可能である。もともと γ を2次元球面 <math>S^2 = \partial B^3</math> 上で定義した。

===引き戻し===
e<sub>a</sub> が[[リー代数]]の基底ベクトルとすると、<math>\mathcal{K} (e_a, [e_b, e_c])</math> はリー代数の[[構造定数 (数学)|構造定数]]であることに注意する。また、構造定数は完全反対称であるので、これらは G の[[リー群|群多様体]]の[[外積代数|3-形式]]を決定する。従って、上記の積分は、まさに調和 3-形式の球面 <math>B^3</math> への{{仮リンク|引き戻し (微分幾何学)|label=引き戻し|en|pullback (differential geometry)}}である。調和 3-形式の γ<sup>*</sup> による引き戻しを c と書くと、
:<math>S^{\mathrm{WZ}}(\gamma) = \int_{B^3} \gamma^{*} c</math>
となる。この形式は、WZ項のトポロジカルな解析へ直接つながっていく。

幾何学的には、この項は多様体の[[捩率テンソル]]を記述している<ref>Braaten, E.; Curtright, T. L.; Zachos, C. K. (1985). "Torsion and geometrostasis in nonlinear sigma models". Nuclear Physics B 260 (3–4): 630. Bibcode:1985NuPhB.260..630B. doi:10.1016/0550-3213(85)90053-7</ref>。この捩れの存在は強制的に多様体の{{仮リンク|遠隔平行性|en|teleparallelism}}となり、捩れをもつ[[リーマン曲率テンソル|曲率テンソル]]の自明性を導く。従って、繰り込みフローや[[繰り込み群]]の{{仮リンク|赤外固定点|en|infrared fixed point}}(infrared fixed point)、'''ジオメトロスタシス'''(geometrostasis)と呼ばれる現象を把握することができる。

===トポロジカルな障害===
球体の内部内部の場の拡張は一意的ではなく、拡張とは独立であるという物理的要請より、レベルと呼ばれる結合パラメータ k について量子化条件を導入することとなる。γ の球体の内部への異なった 2つの拡張を考える。これらは平坦な 3次元空間からリー群 G への写像である。ここでこれらの 2つの球を境界 <math>S^2</math> で互いに貼り合わせることを考える。貼り合わせの結果はトポロジカルな3-球となり、各々の球体 <math>B^3</math> は <math>S^3</math> の半球である。γ のそれぞれの球体上での 2つの異なる拡張は、写像 <math>S^3\rightarrow G</math> となる。しかし、任意のコンパクトな単連結なリー群 G に対して、ホモトピー群 π<sub>3</sub>(G) = '''Z'''である。

このようにして、
:<math>S^{\mathrm{WZ}}(\gamma) = S^{\mathrm{WZ}}(\gamma')+n     ~,</math>
を得る。ここに γ と γ' は 2つの異なる球体上への拡張を表し、n は整数で互いに貼り合わせたときの[[回転数 (数学)|巻き付き数]]を表す。

もし、

:<math>\exp \left(i2\pi k S^{\mathrm{WZ}}(\gamma) \right)=  \exp \left( i2\pi k S^{\mathrm{WZ}}(\gamma')\right).</math>

であれば、これらのモデルの導く物理が同じでなるはずである。このようにしてトポロジカルな考えは、レベル k は G がコンパクトな単連結な単準リー群のときには整数であるはずであるという結論を導く。半単純、もしくは非連結なコンパクトリー群に対しては、各々の連結で単純な成分ごとに整数のレベルがある。

このトポロジカルな障害はまた、理論の[[アフィンリー代数]]の対称性の表現論ともみなすことができる。各々のレベルが正の整数の場合に、アフィンリー代数はある絶対的な整数の最高[[ウェイト (表現論)|ウェイト]]であるユニタリな[[表現論]]を持つ。そのような表現は、各々の[[単純ルート]]ではられる部分代数に関して、有限次元の部分代数へ分解し、対応する負のルートとその交換子は、[[カルタン行列|カルタンの生成子]]を形成する。

SL(2,'''R''') のような非コンパクトな単純リー群 G についての WZWモデルに興味が向き、これらは[[フアン・マルダセナ|ジュアン・マルダセーナ]](Juan Maldacena)や[[大栗博司]](Hirosi Ooguri)により 3次元の[[反ド・ジッター空間]]上の[[弦理論]]を記述することに使われた。<ref>{{Cite journal | last1 = Maldacena | first1 = J. | last2 = Ooguri | first2 = H. | doi = 10.1063/1.1377273 | title = Strings in AdS<sub>3</sub> and the SL(2,R) WZW model. I: The spectrum | journal = Journal of Mathematical Physics | volume = 42 | issue = 7 | pages = 2929 | year = 2001 | pmid =  | pmc = }}</ref> これは群 SL(2,'''R''') の[[被覆空間#普遍被覆|普遍被覆]]である。この場合には、π<sub>3</sub>(SL(2,'''R''')) = 0 となるので、トポロジカルな障害はなく、レベルは整数となるとは限らない。対応して、そのような非コンパクトな[[リー群の表現|リー群の表現論]]はこれらのコンパクトな部分よりも豊かな内容を持つ。

===一般化===
上記ではWZWモデルを[[リーマン球面]]上で定義したが、γ がコンパクト[[リーマン面]]上にあるように一般化する。

==カレント代数==
WZWモデルの{{仮リンク|カレント代数|en|current algebra}}(current algebra)は、[[カッツ・ムーディ代数|カッツ・ムーディリー代数]]である。ストレスエネルギーテンソルは{{仮リンク|菅原理論|label=菅原構成|en|Sugawara theory}}(Sugawara construction)により与えられる。

===コセット構成===
WZWモデルの商を取ると、[[中心電荷]]が元の 2つの差異であるような新しい共形場理論を得られる。

==参考文献==
<references/>

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