X線変換のソースを表示

[[数学]]において、'''X線変換'''（Xせんへんかん、{{Lang-en-short|X-ray transform}}）あるいは'''ジョン変換'''と呼ばれるものは、1938年に{{仮リンク|フリッツ・ジョン|en|Fritz John}}によって導入されたある[[積分変換]]であり<ref>{{cite journal|last=Fritz|first=John|title=The ultrahyperbolic differential equation with four independent variables|journal=Duke Mathematical Journal|year=1938|volume=4|pages=300–322|doi=10.1215/S0012-7094-38-00423-5|url=http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077490637|accessdate=23 January 2013}}</ref>、近代の{{仮リンク|積分幾何学|en|integral geometry}}の基礎の一つとなっている。{{仮リンク|ラドン変換|en|Radon transform|preserve=1}}と非常に密接に関連しており、二次元ではそれらは一致する。より高次元において、函数のX線変換は、[[超平面]]について積分を行うラドン変換とは異なり、直線についての積分として定義される。ある函数 ''&fnof;'' のX線変換は、密度が函数 ''&fnof;'' で表される非均質媒質を通した断層撮影の[[散乱]]データを表すことから、X線変換の名はX線[[トモグラフィー]]に由来する。したがってX線変換の逆は、既知の散乱データから未知の密度 ''&fnof;'' を再構成する上で用いることができるため、実践的に重要なものである。

より詳細に、''&fnof;'' が[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> 上の[[コンパクト台]]を持つ[[連続函数]]であるなら、''&fnof;'' のX線変換は '''R'''<sup>''n''</sup> 内のすべての直線からなる集合上で定義される次の函数 ''X&fnof;'' である：

:<math>Xf(L) = \int_L f = \int_{\mathbf{R}} f(x_0+t\theta)dt. </math>

ここに ''x''<sub>0</sub> は直線 ''L'' 上の初期点で、θ は直線 ''L'' の方向を与える単位ベクトルである。後者の積分は、向き付けを考えていない。すなわち、ユークリッド直線 ''L'' 上の 1 次元[[ルベーグ測度]]に関する積分である。

X線変換は、[[ジョンの方程式]]と呼ばれる[[超双曲型方程式|超双曲型波動方程式]]を満たす。

[[超幾何級数|ガウスの超幾何函数]]は、X線変換として記述することが出来る {{harv|Gelfand|Gindikin|Graev|2003|loc=2.1.2}}。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
*{{SpringerEOM|title=X-ray transform|last=Berenstein|first=Carlos A.|urlname=X-ray_transform}}.
*{{Citation | last1=Gelfand | first1=I. M. | last2=Gindikin | first2=S. G. | last3=Graev | first3=M. I. | title=Selected topics in integral geometry | origyear=2000 | url=https://books.google.com/books?isbn=0821829327 | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Translations of Mathematical Monographs | isbn=978-0-8218-2932-5 | mr=2000133 | year=2003 | volume=220}}
*{{Citation | last1=Helgason | first1=Sigurdur | title=Geometric analysis on symmetric spaces | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | edition=2nd | series=Mathematical Surveys and Monographs | isbn=978-0-8218-4530-1 | mr=2463854 | year=2008 | volume=39}}
*{{Citation | last1=Helgason | first1=Sigurdur | url=http://www-math.mit.edu/~helgason/Radonbook.pdf | title=The Radon Transform | publisher=[[:en:Birkhauser|Birkhauser]] | location=Boston, M.A. | edition=2nd | series=Progress in Mathematics | year=1999}}

{{DEFAULTSORT:Xえつくすせんへんかん}}
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