XY模型のソースを表示

'''XY模型'''（XY model, '''XYモデル'''）とは、[[統計力学]]に登場する単純化されたモデル（模型）の一つである。[[イジング模型]]や[[古典ハイゼンベルク模型|ハイゼンベルク模型]]と同様に、[[n-ベクトルモデル|nベクトル模型]]の特殊な場合であり、[[スピン角運動量|スピン]]変数を2成分のベクトル <math>\mathbf{s}_i = (s_i^x, s_i^y)</math> としたものである{{Sfn|西森|2005|p=16}}。スピンは（古典スピンであるならば）2次元の[[単位ベクトル]]であり、{{仮リンク|O(2)|en|O(2)}}（あるいは[[ユニタリ群|U(1)]]）対称性に従う。この2次元古典スピンは[[格子(数学)|格子]]の各点に配置されている。数学的には、先述の規定があるXY模型の[[ハミルトニアン]]は次のように与えられる{{Sfn|西森|2005|pp=16, 92}}。
:<math>H = -J{\sum}_{\langle i,j\rangle}\mathbf{s}_i \cdot \mathbf{s}_{j}=-J{\sum}_{\langle i,j\rangle}\cos(\theta_i-\theta_j)</math>
ここで <math>i</math> 番目のスピンの位相 <math>\theta_i</math> は、たとえば水平軸からの傾きとして反時計回りの方向を正とし測る。[[総和]]は全ての隣接スピン対に対してとる。[[二項演算|二項演算子]]の点 <math>\cdot</math> は標準的な[[ドット積]]を意味する。

2次元より大きい空間次元のもとではXY模型には長距離秩序が安定に存在できるが、2次元以下では有限温度のXY模型には長距離秩序が存在しない（{{仮リンク|マーミン・ワグナーの定理|en|Mermin–Wagner theorem}}）{{Sfn|西森|2005|pp=92-98}}。その境界である2次元がXY模型の下部臨界次元であり{{Sfn|西森|2005|p=98}}、2次元XY模型は低温で相関関数が距離のべき乗で減衰する[[ベレジンスキー＝コステリッツ＝サウレス転移#準長距離秩序|準長距離秩序]]相への転移を示す{{Sfn|西森|2005|p=99-101}}。
{{詳細記事|ベレジンスキー＝コステリッツ＝サウレス転移}}

XY模型を[[連続 (数学)|連続]]的な状況に拡張したものは、たとえば[[超流動ヘリウム]]<ref>{{Cite book |last=Onuki |first=Akira |title=Phase Transition Dynamics |publisher=Cambridge University Press ||date=2004 |isbn=978-0-511-53487-4 |page=5}}</ref>や[[ヘキサティック液晶]]（hexatic liquid crystal）のような、同種の対称性をもった[[秩序変数]]を有する系をモデル化するのに用いられる。XY模型における[[位相欠陥]]は、低温の相から高温の{{仮リンク|無秩序相|en|disordered phase}}（不規則相）への[[渦解離転移]]（vortex-unbinding transition）を引き起こす。

== 脚注 ==
{{Reflist |2}}

== 参考文献 ==
* Evgeny Demidov, ''[http://ibiblio.org/e-notes/Perc/xy.htm Vortices in the XY model]'' (2004)
* {{Cite book |和書 |author=西森秀稔 |authorlink=西森秀稔 |title=相転移・臨界現象の統計物理学 |series=新物理学シリーズ |volume=35 |publisher=培風館 |date=2005 |isbn=978-4-563-02435-2 |ref={{SfnRef|西森|2005}} }}

== 関連項目 == 
* [[イジング模型]]
* {{仮リンク|ポッツ模型|en|Potts model}}
* [[古典ハイゼンベルク模型]]
* [[n-ベクトルモデル|nベクトル模型]]
* {{仮リンク|超流動薄膜|en|Superfluid film}}
* [[位相欠陥]]
* [[コステリッツ＝サウレス転移]]
* {{仮リンク|マーミン＝ワグナーの定理|en|Mermin–Wagner theorem}}
* [[HMFモデル]]

{{physics-stub}}

{{デフォルトソート:XYもけい}}
[[Category:物性物理学]]
[[Category:統計力学]]
[[Category:格子模型]]