Y-Δ変換のソースを表示

{{出典の明記|date=2022年11月}}
[[Image:Delta-Star Transformation.svg|thumb|right|250px|Δ接続回路とY接続回路]]
'''Y-Δ変換'''（ワイ-デルタへんかん、''Y-Δ transform'')、'''スターデルタ変換'''(''star-delta transform'')、'''T-Π変換'''(ティ-パイへんかん、''T-Π transform'')とは、Y字型に接続したY接続（Y diagram）[[回路]]と、三角形に接続したΔ接続（Δ diagram）回路が、[[等価]]の回路になるように変換する手法である。回路の形状が[[アルファベット]]のY・Tや[[ギリシア文字]]のΔに見えることからこの名前がつけられた。なお、[[イギリス]]ではY接続回路をスター接続(star diagram)回路と呼ぶ。

一部の文献では、Y接続からΔ接続への変換をY-Δ変換と定義し、逆変換(Δ接続からY接続への変換)を、'''Δ-Y変換'''、'''デルタスター変換'''、'''Π-T変換'''と記載している。

== Y-Δ変換の基本 ==
変換は図に示す3端子の回路で行なわれる。それぞれの回路の端子は同一の端子である必要がある。この変換式は、[[実数]]([[抵抗]]素子)の場合だけでなく、[[複素数]]([[容量]]素子、[[インダクタ|誘導]]素子)の場合でも成立する。

=== Δ回路からY回路への変換 ===
一般に、Y接続回路のある端子に接続される[[インピーダンス]]Ryは、Δ接続回路で隣接するノードへのインピーダンス<math>R'</math>と<math>R''</math>から次のように表される。

:<math>R_y = \frac{R'R''}{\sum R_\Delta}</math>

ただし、<math>\sum R_\Delta</math>はΔ接続回路の全てのインピーダンスの和である。これから次式が得られる。
:<math>R_{a} = \frac{R_{ab}R_{ac}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ac}}</math>

:<math>R_{b} = \frac{R_{ab}R_{bc}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ac}}</math>

:<math>R_{c} = \frac{R_{bc}R_{ac}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ac}}</math>

* 上記公式の導出は、以下のように行う。
1. 並列接続した抵抗値を求める公式から以下の3式を導く
:<math>R_{a}+R_{b} = \frac{R_{ab}(R_{bc}+R_{ac})}{R_{ab} + (R_{bc} + R_{ac})}</math>
:<math>R_{b}+R_{c} = \frac{R_{bc}(R_{ac}+R_{ab})}{R_{bc} + (R_{ac} + R_{ab})}</math>
:<math>R_{c}+R_{a} = \frac{R_{ac}(R_{ab}+R_{bc})}{R_{ca} + (R_{ab} + R_{bc})}</math>

2. 上記3式の両辺を足して、以下の式を導く
:<math>R_{a}+R_{b}+R_{c} = \frac{R_{ab}R_{bc}+R_{bc}R_{ac}+R_{ac}R_{ab}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ac}}</math>

3. 元の3式との差を取ることで、インピーダンスを計算する式が導きだせる

例）
:<math>R_{b}+R_{c} = \frac{R_{bc}(R_{ac}+R_{ab})}{R_{bc} + R_{ac} + R_{ab}}</math>
との差を取ると、
:<math>R_{a} = \frac{R_{ab}R_{ac}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ac}}</math>

=== Y回路からΔ回路への変換 ===
一般に、Δ接続回路のある端子間に接続されるインピーダンス<math>R_\Delta</math>は、以下の式で表される。

:<math>R_\Delta = \frac{R_P}{R_\mathrm{opposite}}</math>

ただし、<math>R_P = R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}</math>であり、Y接続回路中のインピーダンスの2つの積の和である。<math>R_\mathrm{opposite}</math>は、<math>R_\Delta</math>に対抗する辺のインピーダンスである。これから次式が得られる。

:<math>R_{ab} = \frac{R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}</math>

:<math>R_{bc} = \frac{R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{a}}</math>

:<math>R_{ac} = \frac{R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{b}}</math>

== グラフ理論 ==
[[グラフ理論]]ではY-Δ変換は、グラフ中のYのサブグラフを同等のΔのサブグラフに置き換えることである。この変換はグラフのエッジの数を増加させることは無いが、グラフのノードの数を増加させる。2つのグラフは、Y-Δ変換と逆変換を行い、もとに戻るのであるなら、Y-Δ等価であるという。例えば、[[ピーターセングラフ]]はY-Δ等価なクラスである。

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{{DEFAULTSORT:わいてるたへんかん}}
[[Category:アナログ回路]]
[[Category:電気回路の定理]]