線型近似

一般の関数(緑線)を一次関数(赤線)で近似する．

数学における線型近似（せんけいきんじ、テンプレート:Lang-en-short）とは、一般の関数を一次関数を用いて（より正確に言えばアフィン写像を用いて）近似することである。

例えば、2回微分可能な一変数関数 f は、テイラーの定理の n = 1 の場合により、

$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+R_2$

と表せる。R₂は剰余項である。線型近似は剰余項を落とした

$f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$

となる。この近似は x が a に十分近い場合に成り立つ。この式の右辺はちょうど元の f のグラフの (a, f(a)) における接線の表式となっており、そのことから、接線近似とも呼ばれる。

$f(x)\approx f(a)$

をaにおけるfの標準線型近似といい、x=a をセンターという。

線型近似は多変数関数に用いることもでき、この場合は導関数の代わりに関数行列が用いられる。例えば、微分可能な実関数 f(x, y) は、(a, b) に十分近い (x, y) においては次のように近似できる。

$f(x,y)\approx f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a)+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b).$

右辺は z = f(x, y) のグラフの (a, b) における接平面の表式となっている。

さらに一般に、バナッハ空間においては

$f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)$

と表される。ここで Df(a) は f の a におけるフレシェ微分である。

例

線型近似を用いて $\sqrt[3]{25}$ の近似値を求めてみよう。

1. $f(x)=x^{1/3}$という関数を考える。この関数について f(25) を求めればよい。
2. 微分すると $f^{\prime }(x)=x^{-2/3}/3$ である。
3. 線型近似により $f(25)\approx f(27)+f^{\prime }(27)(25-27)=3-2/27$ となる。
4. 小数に直すとおよそ2.926であるが、これは確かに真の値2.924…に近い。

関連項目

• 差分法