空集合の公理

空集合の公理 (くうしゅうごうのこうり、テンプレート:Lang-en-short) は、ツェルメロ＝フレンケル集合論やKP集合論の公理の一つで、「いかなる要素も含まない集合が存在する」ことを主張するものである。ただし、この公理を採用しないZF公理系の定式化も存在する。

定義

「ある集合 x が存在して、任意の y に対し、y は x の要素でない。」 すなわち、

$\mathrm{\exists }x\mathrm{\forall }y\mathrm{\neg }(y\in x)$

性質

外延性の公理により、公理で主張される集合は一意に存在することがわかる。その集合を「空集合」と呼び、通常は { } や ∅ の記号で表す。空集合を表す定数記号を予め用意してZFを記述することもある。その場合、無限公理に現れる ∅ は単に何らかの集合を表す記号であり、空集合の公理によってはじめてそれが空であることが保証される。

この公理の主張自体は明白なものと考えられているが、一階述語論理と置換公理から導くことが可能なため、公理には加えないこともある。

参考文献

• テンプレート:Citation