ソボレフ共役

数学において、空間の次元を n とするとき、$1\le p<n$ を満たす p のソボレフ共役（ソボレフきょうやく、テンプレート:Lang-en-short）は

$p^{*}=\frac{pn}{n-p}>p$

で与えられる。このパラメータは特にソボレフ不等式において重要となる。

動機

ある q >p に対し、ソボレフ空間 $W^{1,p}({ℝ}^n)$ の元 u が $L^q({ℝ}^n)$ に属するかという問題が考えられる。より具体的に、$\Vert Du{\Vert }_{L^p({ℝ}^n)}$ が $\Vert u{\Vert }_{L^q({ℝ}^n)}$ を制御するのはいつか、という問題が考えられる。次の不等式が任意の q に対して成立することはないということは、容易に確かめられる。

$\Vert u{\Vert }_{L^q({ℝ}^n)}\le C(p,q)\Vert Du{\Vert }_{L^p({ℝ}^n)}$ (*)

コンパクトな台を持つ無限回微分可能な函数 $u(x)\in C_c^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$ を考える。$u_{\lambda }(x):=u(\lambda x)$ とすると、次が成り立つ。

$\Vert u_{\lambda }{\Vert }_{L^q({ℝ}^n)}^q=\underset{{ℝ}^n}{\int }|u(\lambda x){|}^{q}dx=\frac{1}{{\lambda }^n}\underset{{ℝ}^n}{\int }|u(y){|}^{q}dy={\lambda }^{-n}\Vert u{\Vert }_{L^q({ℝ}^n)}^q$

$\Vert D{u}_{\lambda }{\Vert }_{L^p({ℝ}^n)}^p=\underset{{ℝ}^n}{\int }|\lambda Du(\lambda x){|}^{p}dx=\frac{{\lambda }^p}{{\lambda }^n}\underset{{ℝ}^n}{\int }|Du(y){|}^{p}dy={\lambda }^{p-n}\Vert Du{\Vert }_{L^p({ℝ}^n)}^p$

$u_{\lambda }$ に対する不等式 (*) の結果、$u$ に対する次の不等式が得られる。

$\Vert u{\Vert }_{L^q({ℝ}^n)}\le {\lambda }^{1-n/p+n/q}C(p,q)\Vert Du{\Vert }_{L^p({ℝ}^n)}$

$1-n/p+n/q=0$ なら、$\lambda$ をゼロあるいは無限大とすることで矛盾が導かれる。したがって不等式 (*) は

$q=\frac{pn}{n-p}$

に対してのみ成立する。これがソボレフ共役である。

関連項目

• セルゲイ・ソボレフ

参考文献

• Lawrence C. Evans. Partial differential equations. Graduate studies in Mathematics, Vol 19. American Mathematical Society. 1998. ISBN 0-8218-0772-2