原始関数の一覧

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テンプレート:出典の明記 本項は、原始関数の一覧(げんしかんすうのいちらん)である。以下、積分定数はCとする。

ax+b を含む積分

1ax+bdx=1aln|ax+b|+C
xax+bdx=xaba2ln|ax+b|+C
x2ax+bdx=12a3(a2x22abx+2b2ln|ax+b|)+C
1x(ax+b)dx=1bln|ax+bx|+C
1x2(ax+b)dx=ab2ln|ax+bx|1bx+C

a+bx を含む積分

xa+bxdx=215b2(3bx2a)(a+bx)32+C
x2a+bxdx=2105b3(15b2x212abx+8a2)(a+bx)32+C
xna+bxdx=2b(2n+3)xn(a+bx)322nab(2n+3)xn1a+bxdx
a+bxxdx=2a+bx+a1xa+bxdx
a+bxxndx=1a(n1)(a+bx)32xn1(2n5)b2a(n1)a+bxxn1dx,n1
1xa+bxdx=1aln(a+bxaa+bx+a)+C,a>0
=2aarctana+bxa+C,a<0
1xna+bxdx=1a(n1)a+bxxn1(2n3)b2a(n1)1xn1a+bxdx,n1

x2±α2(α0) を含む積分

1x2+α2dx=1αarctanxα+C
1±x2α2dx=12αln(xα±x+α)+C

ax2+b を含む積分

1ax2+bdx=1abarctanabx+C

ax2+bx+c(a0)を含む積分

(ax2+bx+c)dx=ax33+bx22+cx+C

a2+x2(a>0) を含む積分

a2+x2dx=12xa2+x2+12a2ln(x+a2+x2)+C
x2a2+x2dx=18x(a2+2x2)a2+x218a4ln(x+a2+x2)+C
a2+x2xdx=a2+x2aln(a+a2+x2x)+C
a2+x2x2dx=ln(x+a2+x2)a2+x2x+C
1a2+x2dx=ln(x+a2+x2)+C
x2a2+x2dx=12xa2+x212a2ln(a2+x2+x)+C
1xa2+x2dx=1aln(xa+a2+x2)+C
1x2a2+x2dx=a2+x2a2x+C

x2a2(x2>a2) を含む積分

1x2a2dx=ln(x+x2a2)+C

a2x2(a2>x2) を含む積分

1a2x2dx=arcsinxa+C=arccosxa+C
a2x2dx=12xa2x2+a22arcsinxa+C
x2a2x2dx=18x(2x2a2)a2x2+18a4arcsinxa+C
a2x2xdx=a2x2aln(a+a2x2x)+C
a2x2x2dx=a2x2xarcsinxa+C
1xa2x2dx=1aln(a+a2x2x)+C
x2a2x2dx=12xa2x2+12a2arcsinxa+C
1x2a2x2dx=a2x2a2x+C

R=|a|x2+bx+c(a0) を含む積分

dxR=1aln(2aR+2ax+b)(for a>0)
dxR=1aarsinh2ax+b4acb2(for a>04acb2>0)
dxR=1aln|2ax+b|(for a>04acb2=0)
dxR=1aarcsin2ax+bb24ac(for a<04acb2<0(2ax+b)<b24ac)
dxR3=4ax+2b(4acb2)R
dxR5=4ax+2b3(4acb2)R(1R2+8a4acb2)
dxR2n+1=2(2n1)(4acb2)(2ax+bR2n1+4a(n1)dxR2n1)
xRdx=Rab2adxR
xR3dx=2bx+4c(4acb2)R
xR2n+1dx=1(2n1)aR2n1b2adxR2n+1
dxxR=1cln(2cR+bx+2cx)
dxxR=1carsinh(bx+2c|x|4acb2)

三角関数を含む積分

cosxdx=sinx+C
sinxdx=cosx+C
sec2xdx=tanx+C
csc2xdx=cotx+C
secxtanxdx=secx+C
cscxcotxdx=cscx+C


tanxdx=ln(cosx)+C
cotxdx=ln(sinx)+C
secxdx=ln(secx+tanx)+C=gd1x+Cgd1xグーデルマン関数逆関数
cscxdx=ln(cscx+cotx)+C=ln(tanxsinxsinxtanx)+C


sinnxdx=1nsinn1xcosx+n1nsinn2xdx+Cn2
sin2xdx=x2sin2x4+C


cosnxdx=1ncosn1xsinx+n1ncosn2xdx+Cn2
cos2xdx=x2+sin2x4+C


tannxdx=1n1tann1xtann2xdx+Cn2
tan2xdx=tanxx+C


cotnxdx=1n1cotn1xcotn2xdx+Cn2
cot2xdx=cotxx+C


secnxdx=1n1secn2xtanx+n2n1secn2xdx+Cn2


cscnxdx=1n1cscn2xcotx+n2n1cscn2xdx+Cn2

逆三角関数を含む積分

arcsinxdx=xarcsinx+1x2+C
arccosxdx=xarccosx1x2+C
arctanxdx=xarctanxln1+x2+C
arccotxdx=xarccotx+ln1+x2+C
arcsecxdx=xarcsecxln(xx21)+C
arccscxdx=xarccscx+ln(x+x21)+C

指数関数を含む積分

exdx=ex+C
αxdx=αxlnα+C
xeaxdx=1a2(ax1)eax+C
xneaxdx=1axneaxnaxn1eaxdx
eaxsinbxdx=eaxa2+b2(asinbxbcosbx)+C
eaxcosbxdx=eaxa2+b2(acosbx+bsinbx)+C

対数関数を含む積分

lnxdx=xlnxx+C
logαxdx=1lnα(xlnxx)+C
xnlnxdx=xn+1(n+1)2[(n+1)lnx1]+C
1xlnxdx=ln(lnx)+C

双曲線関数を含む積分

sinhxdx=coshx+C
coshxdx=sinhx+C
tanhxdx=ln(coshx)+C
cothxdx=ln(sinhx)+C
sech xdx=arcsin(tanhx)+C=arctan(sinhx)+C=gdx+Cgdxグーデルマン関数
csch xdx=ln(tanhx2)+C

定積分

eαx2dx=πα
0π2sinnxdx=0π2cosnxdx={n1nn3n24523,if n>1 and n is oddn1nn3n23412π2,if n>0 and n is even

関連項目

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