フィッティングの補題

数学において、テンプレート:仮リンクの補題 (Fitting lemma) は、M が直既約加群で長さ有限であれば M のすべての自己準同型は全単射であるかさもなくば冪零であるという代数学の定理である。この定理から M の自己準同型環は局所環であることが従う。

主張

テンプレート:Math が長さ テンプレート:Math が有限の加群で テンプレート:Math が テンプレート:Math の自己準同型であるならば

$M=\ker (f^n)\oplus \mathrm{i}\mathrm{m}(f^n).$

証明

テンプレート:Math の長さについての仮定より

$\ker (f^{n+1})=\ker (f^n)\text{and}\mathrm{i}\mathrm{m}(f^{n+1})=\mathrm{i}\mathrm{m}(f^n)$

が成り立つ。この等式のそれぞれから

$\ker (f^n)\cap \mathrm{i}\mathrm{m}(f^n)=0\text{and}\ker (f^n)+\mathrm{i}\mathrm{m}(f^n)=M$

を得る。

結果

• 補題の仮定のもと、テンプレート:Math を テンプレート:Math に制限したものは冪零自己準同型で、テンプレート:Math に制限したものは自己同型である。
• テンプレート:Math がさらに直既約であれば、テンプレート:Math は冪零であるかまたは可逆であり、環 テンプレート:Math は局所環である。
• この補題により直既約加群の直和である長さ有限の加群の分解の一意性に関するクルル・シュミットの定理を証明することができる。

脚注と参考文献

• テンプレート:Ouvrage

• テンプレート:Planetmath reference