平行移動

平行移動はすべての点を一定の方向に一定の距離だけ動かす。

平行な二つの直線を軸とする二つの鏡映の合成は平行移動である。各点が平行移動により距離 テンプレート:Mvar だけ動くとき、二つの直線の距離はその半分 テンプレート:Math である。

ユークリッド幾何学における平行移動（へいこういどう、テンプレート:Lang-en-short）とは、すべての点を一定の方向に一定の距離だけ動かす変換である。

平行移動は並進あるいは並進運動 (テンプレート:Lang) とも呼ばれる。

平行移動は向きや距離・角度を保ち、非自明なものは不動点を持たない。

一次元の場合、平行移動 テンプレート:Mvar は定数 テンプレート:Mvar を用いて

テンプレート:Math

と表せる。

概観

平行移動は各点に定ベクトルを加える操作として解釈することや、座標系の原点をずらす操作として解釈することもできる。定ベクトル テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar に対応する平行移動 テンプレート:Math は、点 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar だけ動かす写像

テンプレート:Math

として働く。

平行移動は二つの図形の間の一対一対応や、ある平面から別の平面への写像とみることもできるテンプレート:Sfn。テンプレート:Mvar が平行移動であるとき、部分集合 テンプレート:Mvar の写像 テンプレート:Mvar による像を、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar による平行移動と呼ぶ。テンプレート:Mvar が定ベクトル テンプレート:Mvar に対応する平行移動 テンプレート:Math であるとき、テンプレート:Mvar の テンプレート:Math による平行移動はしばしば テンプレート:Math と書かれる。

平行移動を剛体運動として記述することもできる（平行移動の他には回転と鏡映）。テンプレート:Mvar-次元ユークリッド空間において任意の平行移動は等距変換である。平行移動全体の成す集合は平行移動群 テンプレート:Math を成す。この群はもとの空間（の加法群）と同型であり、ユークリッド群 テンプレート:Math の正規部分群である。テンプレート:Math の テンプレート:Math による剰余群は直交群 テンプレート:Math に同型:

テンプレート:Math

である。

ベクトル変数の写像 テンプレート:Math に作用する、定ベクトル テンプレート:Mvar に対応する平行移動作用素 テンプレート:Math は

$T_{\mathit{\delta }}f(𝐯)=f(𝐯+\mathit{\delta })$

で定義される作用素を言う。

行列表現

非自明な平行移動は不動点を持たないアフィン変換である。一方、行列の積は必ず原点を固定する。 にも拘らず、ベクトル空間の平行移動を行列で表すことが、テンプレート:仮リンクを用いた回避方法によって一般に行われる。

例えば三次元の場合において、ベクトル テンプレート:Math は四成分の斉次座標 テンプレート:Mathで表せるテンプレート:Sfn。

各点を斉次座標で書いた斉次ベクトル テンプレート:Math を、定ベクトル テンプレート:Math だけ平行移動させるには、平行移動行列

$T_{𝐯}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& v_x\\ 0& 1& 0& v_y\\ 0& 0& 1& v_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

を掛ければよい。実際、以下に見るように掛けた結果

$T_{𝐯}𝐩=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& v_x\\ 0& 1& 0& v_y\\ 0& 0& 1& v_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{p}_x\\ p_y\\ p_z\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{p}_x+v_x\\ p_y+v_y\\ p_z+v_z\\ 1\end{array}\right)=𝐩+𝐯$

は所期のものであることが確認できる。平行移動行列の逆行列は、ベクトルの向きを逆にすればよいから、

$T_{𝐯}^{-1}=T_{-𝐯}$

で与えられる。同様に、平行移動行列の積は、ベクトルの和に対する平行移動

$T_{𝐮}{T}_{𝐯}=T_{𝐮+𝐯}$

になる。ベクトルの和は可換であるから、平行移動行列同士の積もそうである（任意の行列の積が非可換であるのとは異なる）。

物理学における平行移動

物理学における平行移動は並進運動とも呼ばれ、物体の位置を変える運動である（回転運動に対照する）。例えば テンプレート:Harvtxt によれば、

平行移動は物体の各点 テンプレート:Math を

$(x,y,z)\to (x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y,z+\mathrm{\Delta }z)$

なる形の式に従って変化させる操作である。ただし、テンプレート:Math は物体の各点に共通のベクトルとする。この物体の各点に共通の平行移動ベクトル テンプレート:Math は、（「角」変位 (angular displacement) と呼ばれる回転を含む変位と区別して）ふつう「線型」変位または「直線」変位 (linear displacement) と呼ばれる特定の種類の変位を記述するものである。

時空を考えるとき、時間座標の変化は平行移動であると考えられる。例えば、ガリレイ変換群やポワンカレ群は時間に関する平行移動を含む。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Cite book

関連項目

• 移流
• 回転行列
• スケール変換
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• 並進対称性
• テンプレート:仮リンク

外部リンク

• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:MathWorld
• Translation Transform at cut-the-knot
• Geometric Translation (Interactive Animation) at Math Is Fun
• Understanding 2D Translation and Understanding 3D Translation by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.