フィボナッチ数列の逆数和

数学において、フィボナッチ数列の逆数和（フィボナッチすうれつのぎゃくすうわ、テンプレート:Lang-en-short）、またはψは、フィボナッチ数列の逆数の総和として定義される数学定数である。

$\psi =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{F_k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\frac{1}{13}+\frac{1}{21}+\cdots .$

この和の連続した項の比は、黄金比の逆数に近づく。従って、ダランベールの収束判定法により、この和は収束する。

ψの値は、おおよそで以下のようになると知られている。

$\psi =3.359885666243177553172011302918927179688905133731\dots .$

テンプレート:仮リンクは、この値の高速な数値近似のためのアルゴリズムを得た。フィボナッチ数列の逆数和自身はテンプレート:Mvar個の項に対しテンプレート:Math桁の精度であるが、ゴスパーのSeries accelerationではk個の項に対しテンプレート:Math桁の精度である。

テンプレート:Mvarは無理数であると知られている。これはポール・エルデシュ、ロナルド・グラハム、Leonard Carlitzなどにより予想され、1989年、Richard André-Jeanninによって証明された。 フィボナッチ数列の逆数和が超越数(代数的数でない数)であるかは、分かっていない。

連分数展開(数列表記)は、

$\psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2,\dots ]$

のようになる。

関連項目

• フィボナッチ数列
• テンプレート:仮リンク

外部リンク

• テンプレート:MathWorld