一様凸空間

数学において一様凸空間（いちようとつくうかん、テンプレート:Lang-en-short）あるいは一様円形空間（uniformly rotund space）は、回帰的バナッハ空間の代表的な例である。一様凸性の概念は、1936年にテンプレート:仮リンクによって初めて導入された。

定義

一様凸空間とは、すべての $0<\epsilon \le 2$ に対して、ある $\delta >0$ が存在し、$\Vert x\Vert =1$, $\Vert y\Vert =1$ を満たす二つの任意のベクトルに対して

$\Vert x-y\Vert \ge \epsilon$

ならば

$\Vert \frac{x+y}{2}\Vert \le 1-\delta$

が成立するようなノルムベクトル空間のことをいう。直感的に、単位球の内側の線分の中心が、その線分が短すぎない限り、単位球のより内側に存在することをいう。

性質

• テンプレート:仮リンクによると、すべての一様凸バナッハ空間は回帰的であるが、その逆は真ではない。
• $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ が一様凸バナッハ空間において $f$ に弱収束する列で $\Vert f_n\Vert \to \Vert f\Vert$ を満たすなら、$f_n$ は $f$ に強収束する: $\Vert f_n-f\Vert \to 0.$
• バナッハ空間 $X$ が一様凸であるための必要十分条件は、その双対 $X^{*}$ がテンプレート:仮リンクであることである。
• すべての一様凸空間は狭義凸である。

例

• すべてのヒルベルト空間は一様凸である。
• 一様凸バナッハ空間のすべての閉部分空間は一様凸である。
• テンプレート:仮リンクによると、L^p 空間（$1<p<\mathrm{\infty }$）は一様凸である。
• $L^{\mathrm{\infty }}$ は一様凸ではない。

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• 凸函数
• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Cite journal.
• テンプレート:Cite journal.

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite journal
• Lindenstrauss, Joram and Benyamini, Yoav. Geometric nonlinear functional analysis Colloquium publications, 48. American Mathematical Society.