充満関手と忠実関手

圏論において，忠実関手（ちゅうじつかんしゅ，テンプレート:Lang-en-short）（resp. 充満関手（じゅうまんかんしゅ，テンプレート:Lang-en-short））とは与えられた始域と終域をもつ射の各集合に制限したときに単射（resp. 全射）となる関手のことである．

定義

F_{X, Y} : {H o m}_{𝒞} (X, Y) \to {H o m}_{𝒟} (F (X), F (Y))

を誘導する．

関手テンプレート:Mvar が忠実 (faithful) であるとは，テンプレート:Mvar の各対象テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar に対して，テンプレート:Math が単射であることをいう^[1]^[2]．
関手テンプレート:Mvar が充満 (full) であるとは，テンプレート:Mvar の各対象テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar に対して，テンプレート:Math が全射であることをいう^[2]^[3]．
関手テンプレート:Mvar が充満忠実 (fully faithful) （＝充満かつ忠実）（あるいは忠実充満）であるとは，テンプレート:Mvar の各対象テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar に対して，テンプレート:Math が全単射であることをいう．

忠実関手は対象あるいは射上単射である必要はない．つまり，2つの対象テンプレート:Mvar とテンプレート:Math がテンプレート:Mvar の同じ対象に写ってもよく（これは充満忠実関手の値域がテンプレート:Mvar に同型とは限らない理由である），（異なる始域・終域を持つ）2つの射テンプレート:Math とテンプレート:Math がテンプレート:Mvar の同じ射に写ってもよい．同様に，充満関手は対象あるいは射上全射である必要はない．テンプレート:Mvar の対象であってテンプレート:Mvar の対象テンプレート:Mvar に対してテンプレート:Mvar の形でないものがあるかもしれない．そのような対象の間の射は明らかにテンプレート:Mvar の射からは来ることができない．

充満忠実関手は同型の違いを除いて対象上単射でなければならない．つまり，テンプレート:Math が充満忠実関手で $F (X) ≅ F (Y)$ であるならば $X ≅ Y$ である．

テンプレート:仮リンクテンプレート:Math は忠実である，なぜならば各群が一意的な集合に写り，群準同型は写像であるからである．この関手は充満でない，なぜならば群の間の群準同型でない写像があるからである．テンプレート:Math への忠実関手を持つ圏は（定義により）テンプレート:仮リンクである；一般に，その忘却関手は充満でない．
包含関手テンプレート:Math は充満忠実である，なぜならば各アーベル群は一意的な群に写り，アーベル群の間の任意の群準同型はテンプレート:Math において保たれるからである．