P進閉体

数学における テンプレート:Mvar-進閉体（pしんへいたい、テンプレート:Lang-en-short）は、ちょうど形式的に実な体が実閉であることの [[p進数|テンプレート:Mvar-進的]]な対応物として、適当な拡大性質で閉じている。この概念は テンプレート:Harvtxt が導入した。

定義

定義 (テンプレート:Mathbf 上の形式的に テンプレート:Mvar-進な体)

体 テンプレート:Mvar は有理数体 テンプレート:Math とし、付値 テンプレート:Mvar は通常の [[p進付値|テンプレート:Mvar-進付値]]（ただし テンプレート:Math と正規化する）とする。テンプレート:Mvar の（必ずしも代数的とは限らない）拡大体 テンプレート:Mvar がそれ自身付値 テンプレート:Mvar を持つとき、付値体 テンプレート:Math が形式的に テンプレート:Mvar-進 (formally テンプレート:Mvar-adic) とは、以下の条件が満足されるときに言う:

• テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の延長である: $w(x)=v(x)(\mathrm{\forall }x\in K)$;
• テンプレート:Mvar の剰余体 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の剰余体 テンプレート:Math と一致するテンプレート:Efn
• テンプレート:Mvar の最小の正の値は テンプレート:Mvar の最小の正の値（上記の如く テンプレート:Mvar は正規化したから、つまりこの場合 テンプレート:Math）に一致する。これは テンプレート:Mvar のテンプレート:Ill2（付値環の極大イデアルの生成元）が テンプレート:Mvar の素元と言っても同じことである。テンプレート:Efn

形式的 テンプレート:Mvar-進体は形式的実体の類似対応物と見なすことができる。

例えば, テンプレート:Ill2 テンプレート:Math に テンプレート:Math（したがって テンプレート:Math で定まる付値 テンプレート:Mvar を入れたものは、形式的 テンプレート:Math-進である。有理数体の有限素点 (place) テンプレート:Math は、テンプレート:Math が剰余体（これは五元体）上で分解されるから、ガウス数体の二つの有限素点に分裂し、テンプレート:Mvar はそのうちの一つである。テンプレート:Math-進数体（これは有理数体を含み、またガウス数体を有限素点 テンプレート:Mvar で埋め込まれている）もまた形式的 テンプレート:Math-進である。他方、ガウス数体は如何なる付値に関しても形式的 テンプレート:Math-進には「ならない」。実際、テンプレート:Math-進付値の延長となるべき テンプレート:Mvar は テンプレート:Math で与えられる場合に限るが、その場合剰余体は九元とならねばならない。

定義 (テンプレート:Mvar-進閉体)

形式的 テンプレート:Mvar-進体 テンプレート:Mvar が、形式的に テンプレート:Mvar-進な真のテンプレート:Underline拡大体を持たないならば、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar-進閉であるという。

例えば、任意の素数 テンプレート:Mvar に対して [[p進数|テンプレート:Mvar-進数]]体は テンプレート:Mvar-進閉であり、テンプレート:Mvar-進数体における有理数体の代数閉包（つまり代数的 テンプレート:Mvar-進数体）もまた テンプレート:Mvar-進閉となる。

テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar-進閉ならば

• テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar-進閉とする テンプレート:Mvar 上の付値 テンプレート:Mvar は一意である（したがって、「対 テンプレート:Math が」ではなく「テンプレート:Mvar が」テンプレート:Mvar-進閉であるという言い回しは正当である）;
• テンプレート:Mvar はこの有限素点に関してヘンゼル的（すなわち付値環がヘンゼル環）である;
• テンプレート:Mvar の付値環はちょうど コッヘン作用素の像に一致する;
• テンプレート:Mvar の値群は テンプレート:Math（つまり テンプレート:Mvar の値群）による可除群の拡大に辞書式順序を入れたものである;

が成り立つテンプレート:Sfn。一つ目の主張は、実閉体を順序体とする順序関係がその代数的構造から一意に決定されるという事実に相当する類似の結果である。

上記の定義はより一般の文脈へ引き写すことが可能である。

定義 (一般の基礎体上の形式的 テンプレート:Mvar-進体)

テンプレート:Mvar は付値 テンプレート:Mvar を持つ体として

• テンプレート:Mvar の剰余体が有限である（その位数を テンプレート:Mvar, 標数を テンプレート:Mvar とする）;
• テンプレート:Mvar の値群は最小の正の元を持つ（それを テンプレート:Math とし、素元を テンプレート:Mvar（つまり テンプレート:Math と書く）;
• テンプレート:Mvar は有限な絶対分岐を持つ、すなわち テンプレート:Math は有限（つまり、テンプレート:Math の有限倍）;

が満たされるならばテンプレート:Efn、形式的に テンプレート:Mvar-進（あるいは テンプレート:Mvar に対応するイデアルを $𝔭$ として $𝔭$-進）な体、および テンプレート:Mvar-進閉体について述べることができる。

テンプレート:Vanc

テンプレート:Mvar は付値 テンプレート:Mvar を持つ体で前段落にいう仮定を満足するものとし、記法も踏襲するものとして、コッヘン作用素は $$\gamma (z)=\frac{1}{\pi }\frac{z^q-z}{(z^q-z{)}^2-1}(z^q-z\ne \pm 1)$$ で定義される。テンプレート:Math が常に非負の付値を持つことを確かめるのは容易い。コッヘン作用素は、形式的に実の場合の平方函数の テンプレート:Mvar-進（あるいは テンプレート:Mvar-進）版と考えることができる。

命題

テンプレート:Mvar の拡大体 テンプレート:Mvar が形式的に テンプレート:Mvar-進となるための必要十分条件は、テンプレート:Mvar の付値環のコッヘン作用素による テンプレート:Mvar の像が生成する部分環に テンプレート:Math が入らないことである。

これは形式実体となるための必要十分条件（あるいは定義）が テンプレート:Math が平方和に書けないことであるという事実に対応する。

一階の理論

テンプレート:Mvar-進閉体テンプレート:Efnに関する一階の理論はテンプレート:Ill2かつテンプレート:Ill2であり、また少し言語を豊かにすればテンプレート:Ill2が許される。したがって、テンプレート:Math の一階理論とテンプレート:Ill2 な一階理論を持つものとして テンプレート:Mvar-進閉体を定義することができる。

参考文献

• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite conference
• テンプレート:Cite journal

外部リンク

• テンプレート:SpringerEOM