メルテンスの定理

メルテンスの定理（メルテンスのていり、Mertens' theorems）は、1874年にポーランドの数学者テンプレート:Ill2によって証明された、素数を含んだ和や積の評価に関する一連の定理である。 評価の厳しさは素数定理よりも弱いが、素数定理に比べ、証明が比較的容易である。

定理

p が素数を走るとき、次の評価が成り立つ。

$\sum _{p\le n}\frac{\log p}{p}=\log n+O(1),$

$\sum _{p\le n}\frac{1}{p}=\log \log n+b+o(1),$

$\prod _{p\le n}(1-\frac{1}{p})=\frac{e^{-\gamma }+o(1)}{\log n}.$

O, o はランダウの記号である。これらの不等式を順に、第一定理から第三定理と呼ぶ。

また第二定理に現れる定数 b をテンプレート:Ill2という。

第一定理の証明

素数 p が n の階乗 $n!$ を割り切る回数を $e(p,n)$ とおくと ルジャンドルの公式 より

$e(n,p)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{n}{p^i}\rfloor$

であるから

$\frac{n}{p}-1\le e(n,p)<\frac{n}{p-1}$

が成り立つ。よって

$\sum _{p\le n}\log p(\frac{n}{p}-1)\le \log n!=\sum _{p}e(n,p)\log p<\sum _{p\le n}\frac{n\log p}{p-1}$

となるから

$\sum _{p\le n}\frac{\log p}{p}\le \frac{1}{n}(\log n!+\sum _{p\le n}\log p)$

となるが、チェビシェフ関数の初等的な評価より

$\sum _{p\le n}\log p=\theta (n)<2n\log 2$

が成り立ち、階乗の増大度について、

$\log n!=\sum _{k=1}^n\log k=n\log n-n+O(\log n)$

がすぐわかる（スターリングの公式はより強い近似を与えるが、上の近似はより容易に導かれる）から

$\sum _{p\le n}\frac{\log p}{p}\le \frac{1}{n}\log n!+2\log 2\le \log n+C_1$

となる定数 $C_1$が存在する。一方

$\sum _{p\le n}\frac{\log p}{p}\ge \sum _{p\le n}\frac{\log p}{p-1}-C_2>\frac{1}{n}\log n!-C_2\ge \log n-C_3$

となる定数 $C_2,C_3$ が存在することは

$\sum _{p\le n}\frac{\log p}{p(p-1)}<\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\log k}{k(k-1)}<\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2\log k}{k^2}$

が収束することからわかる。

第二定理の証明

$S(x)=\sum _{p\le x}\frac{\log p}{p},R(x)=S(x)-\log x$ とおく。第一定理より $R(x)=O(1)$ である。よって積分

$\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{R(t)dt}{t{\log }^{2}t}$

は$x\to \mathrm{\infty }$のとき収束する。したがって、アーベルの総和公式より

$\begin{array}{cc}\sum _{p\le n}\frac{1}{p}& =\frac{S(n)}{\log n}+\underset{2}{\overset{n}{\int }}\frac{S(t)}{t{\log }^{2}t}dt\\ & =1+\frac{R(n)}{\log n}+\underset{2}{\overset{n}{\int }}\frac{dt}{t\log t}+\underset{2}{\overset{n}{\int }}\frac{R(t)dt}{t{\log }^{2}t}\\ & =\log \log n+1-\log \log 2+\frac{R(n)}{\log n}+\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{R(t)dt}{t{\log }^{2}t}-\underset{n}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{R(t)dt}{t{\log }^{2}t}\\ & =\log \log n+1-\log \log 2+\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{R(t)dt}{t{\log }^{2}t}+\frac{R(n)}{\log n}+O\left(\underset{n}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{t{\log }^{2}t}\right)\\ & =\log \log n+1-\log \log 2+\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{R(t)dt}{t{\log }^{2}t}+O\left(\frac{1}{\log n}\right)\end{array}$

となるので、第二定理は

$b=1-\log \log 2+\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{R(t)dt}{t{\log }^{2}t}$

について成り立つ。

第三定理の証明

収束性は

$\sum _{p\le n}-\log (1-\frac{1}{p})=\sum _{p\le n}\frac{1}{p}+\sum _{p\le n}\sum _{m\ge 2}\frac{1}{m{p}^m}$

および

$\sum _{p>n}\sum _{m\ge 2}\frac{1}{m{p}^m}=O\left(\sum _{p>n}\frac{1}{p^2}\right)=O\left(\frac{1}{n}\right)$

から、第二定理よりすぐに導かれる。

定数部分が $e^{-\gamma }$ であることの証明は概略のみ述べる。

$h(s)=\sum _p\frac{1}{p^s},g(s)=h(s)+\log \zeta (s)=\sum _p\frac{1}{p^s}-\log (1-\frac{1}{p^s}),P(x)=\sum _{p\le x}\frac{1}{p}$

とおく（ g (s) についての等式はリーマンゼータ関数のオイラー積から得られる）。アーベルの総和公式を用いて

$h(s)=(s-1)\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{P(t)}{t^s}dt$

が得られる。ここで $t=e^{u/(s-1)}$ とおくとオイラーの定数の積分表示から

$(s-1)\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\log \log t}{t^s}dt=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-u}\log \frac{u}{s-1}dt=-\gamma -\log (s-1)$

となる。これと第二定理を用いて

$h(s)+\log (s-1)+\gamma -b\to 0(s\to 1+0)$

が示せる。$(s-1)\zeta (s)\to 1(s\to 1+0)$ より

$g(1)=\underset{s\to 1+0}{\lim }g(s)=\underset{s\to 1+0}{\lim }(h(s)+\log \zeta (s))=b-\gamma$

つまり

$\sum _{p\le x}\log (1-\frac{1}{p})=-\gamma +b-P(x)+o(1)$

である。再び第二定理を用いて

$\sum _{p\le x}\log (1-\frac{1}{p})=-\gamma -\log \log n+o(1)$

が得られ、第三定理が示される。

参考文献

• テンプレート:Cite book
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