周辺分布

周辺分布（しゅうへんぶんぷ、テンプレート:Lang-en-short）は同時確率分布から一部の確率変数を消去した確率分布である。周辺確率分布（しゅうへんかくりつぶんぷ、テンプレート:Lang-en-short）とも。

同時分布から周辺分布を作ることを周辺化（しゅうへんか、テンプレート:Lang-en-short）という。確率質量関数や確率密度関数で特定の確率変数の和もしくは積分をとることである。

表の欄外（margin）に行や列の和を記載することから周辺（marginal）と呼ばれるようになった^[1]。

分布に関連する様々な関数が周辺化できる。以下はその一例である：

周辺分布に対し、条件付き確率分布は特定の確率変数を特定の値に制限したときの確率分布を指す。

定義

周辺分布は同時分布 $P (X, Y)$ や条件付き確率分布 $P (X | Y)$ を用いて定義される。

離散型確率変数において、 $Y$ で周辺化された $X$ の周辺確率質量関数 $P_{X} (X)$ は以下で定義される：

P_{X} (X) = \sum_{y \in Y} P_{X Y} (X, y) = \sum_{y \in Y} P_{X | Y} (X | y) P_{Y} (y) = 𝔼_{P_{Y}} [P_{X | Y} (X | Y)]

連続型確率変数において、確率密度関数が存在する場合、 $Y$ で周辺化された $X$ の周辺確率密度関数 $P_{X} (X)$ は以下で定義される：

P_{X} (X) = \int_{y} P_{X, Y} (X, y) d y = \int_{y} P_{X | Y} (X | y) P_{Y} (y) d y = 𝔼_{P_{Y}} [P_{X | Y} (X | Y)]