道 (位相幾何学)
数学の特に位相幾何学における道（みち、テンプレート:Lang-en-short; パス、経路）は、単位閉区間 テンプレート:Math からの連続写像を言う。より明確に、位相空間 テンプレート:Mvar 内の道とは、連続写像 テンプレート:Math を言い、テンプレート:Math をこの道の始点 (initial point)、テンプレート:Math を終点 (terminal point) と呼ぶ。始点 テンプレート:Mvar および終点 テンプレート:Mvar を持つ道はしばしば「テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar へ結ぶ道」などと呼ばれる。この場合の「道」は テンプレート:Mvar の曲線的な部分集合というばかりではなく、それを追跡するテンプレート:Ill2まで込めて言うことに注意する（例えば、テンプレート:Closed-closed 上で テンプレート:Math と テンプレート:Math は実数直線内の相異なる道を表す）。
位相空間 テンプレート:Mvar 内の、点 テンプレート:Math を基点 (base, base point) とする閉道（あるいはループ）とは テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar へ結ぶ道を言う。写像の言葉で書けば、閉道は テンプレート:Math（ただし、テンプレート:Math と書けるが、単位円 テンプレート:Math からの写像 テンプレート:Math と書くこともできる（位相幾何学において テンプレート:Math は テンプレート:Mvar を テンプレート:Math を同一視して得られる商位相空間（等化空間）と見なすことができることに注意する）。位相空間 テンプレート:Mvar 内の閉道全体の成す集合を一つの位相空間と見ることができ、テンプレート:Mvar のテンプレート:Ill2 テンプレート:Math と呼ぶ。
任意の二点を結ぶ道が存在する位相空間は弧状連結（あるいは道連結）であると言う。任意の位相空間は、弧状連結成分に分割することができる。空間 テンプレート:Mvar の弧状連結成分全体の成す集合はしばしば テンプレート:Math と書かれる。
道および閉道は点付き空間においても定義され、ホモトピー論において重要である。テンプレート:Mvar が基点 テンプレート:Math を持つ位相空間とすれば、テンプレート:Mvar 内の道とは基点 テンプレート:Math を始点とするものを言い、同様に テンプレート:Mvar 内の閉道は空間の基点 テンプレート:Math を基点とするものを言う。
道のホモトピー
道および閉道はホモトピー論と呼ばれる代数的位相幾何学の一分科において中心的な研究主題である。道のホモトピーはその端点を固定した連続変形という概念を明確に定義したものである。
具体的には、テンプレート:Mvar 内の道のホモトピーあるいは道ホモトピー (path-homotopy) とは、テンプレート:Mvar で添字付けられた テンプレート:Mvar 内の道の族 テンプレート:Math で条件
- テンプレート:Math および テンプレート:Math は テンプレート:Mvar に依らず一定、
- 写像 テンプレート:Math は二変数写像として連続
を満たすものを言う。ホモトピーで結ばれた二つの道 テンプレート:Math はホモトピック（あるいは決まった空間の間の任意の連続写像の上で定義されるより一般の関係としてのホモトピーと区別する場合には特に道ホモトピック）であるという。同様に、閉道の間にも基点を動かさないホモトピーを定義することができる。
位相空間内の道に対してホモトピックであるという関係は同値関係である。この同値関係に関する道 テンプレート:Mvar の属する同値類を テンプレート:Mvar のホモトピー類と呼び、しばしば テンプレート:Math で表す。
道の合成
位相空間 テンプレート:Mvar 内のいくつかの道に対して、それらを順番に辿るというあからさまな方法で、それらの合成を行うことができる。すなわち、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar へ結ぶ道、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar へ結ぶ道であるとき、合成道 テンプレート:Mvar はまず テンプレート:Mvar を辿ってから テンプレート:Mvar を辿る道として で定義される。明らかなことではあるが、道の合成は テンプレート:Mvar の終点と テンプレート:Mvar の始点が一致している場合にのみ定義されるものである。基点 テンプレート:Math を持つ閉道全体の成す集合の中で考えるならば、道の合成は二項演算を与えるものである。
道の合成は、たとえそれが定義されても、結合的でない（媒介変数のとり方に違いがある）が、道ホモトピーの違いを除いて結合的である—すなわち テンプレート:Math が成り立つ. テンプレート:Math を基点とする テンプレート:Mvar 内の閉道のホモトピー類全体の成す集合は、道の合成に関して群の構造を持つ。この群は テンプレート:Math を基点とする テンプレート:Mvar の基本群 テンプレート:Math と呼ばれる。
「厳密な意味」("on the nose") で道の合成に結合性を要求したい場面では、テンプレート:Mvar 内の道として、適当な実数 テンプレート:Math に対する区間 テンプレート:Closed-closed からの写像を定義として採用することを考えればよい。この意味での道 テンプレート:Mvar に対して、その長さを テンプレート:Math と定義すれば、道の合成を（上で定義したものからやや変更して） と定めることにより（先の定義では テンプレート:Mvar の長さが全て 1 となるように定めていた）、この定義のもと テンプレート:Math であり、この合成は厳密に結合的となる。前の定義で結合性が成り立たなかったのは、テンプレート:Math および テンプレート:Math が同じ長さ テンプレート:Math を持つにもかかわらず、テンプレート:Math の中点は テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の間にある一方、テンプレート:Math の中点は テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の間にあったからであった。修正した定義では テンプレート:Math と テンプレート:Math は同じ長さ テンプレート:Math を持ち、かつ中点をともに テンプレート:Math の位置に持つ（だけでなく、より一般に曲線全体に亙って同じ媒介変数で追跡することができる）。
基本亜群
道を圏論的に取り扱うのもときには有効である。任意の位相空間 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar の各点を対象とし、道のホモトピー類を射とする圏を考えることができる。この圏における任意の射は同型射となるから、この圏はテンプレート:Ill2であり、テンプレート:Mvar のテンプレート:Ill2と呼ばれる。この圏における閉道は自己射（したがって実際には自己同型射）に対応し、テンプレート:Math を基点とする テンプレート:Mvar 内の閉道全体の成す自己同型群は上で述べた テンプレート:Math を基点とする基本群にほかならない。より一般に、テンプレート:Mvar の任意の部分集合 テンプレート:Mvar 上の基本亜群を、テンプレート:Mvar 内の点を結ぶ道に関するホモトピー類を用いて定義することができる。そのように扱うことはファン・カンペンの定理において便利である。
関連項目
参考文献
- Ronald Brown, Topology and groupoids, Booksurge PLC, (2006).
- J. Peter May, A concise course in algebraic topology, University of Chicago Press, (1999).
- James Munkres, Topology 2ed, Prentice Hall, (2000).