フレシェ分布

フレシェ分布（テンプレート:Lang-en) は逆ワイブル分布としても知られている。フレシェ分布は、ガンベル分布（タイプIの極値分布）、ワイブル分布（タイプIIIの極値分布）とともに、一般化極値分布（テンプレート:Lang-en）の特別なケースである。フレシェ分布はタイプIIの極値分布と呼ばれる。

フレシェ分布の名称は、フレシェ分布を発見した数学者モーリス・ルネ・フレシェに由来するテンプレート:Sfn。

研究の発展

モーリス・ルネ・フレシェは、1927年に、Fréchet (1927) において、最大値の漸近分布を考察しているテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。フレシェ分布の研究は、さらに、ロナルド・フィッシャーとL・H・C・ティペットの1928年の共著論文によってなされているテンプレート:Sfn。Fisher and Tippett (1928) は、極値分布がガンベル分布（タイプI）、フレシェ分布、ワイブル分布（タイプIII）の3つのいずれか1つのみであることを示したテンプレート:Sfn。エミール・ユリウス・ガンベルは、フレシェ分布を含む極値分布の研究を詳細に行い、1958年に極値統計学の書籍をまとめたテンプレート:Sfn。

定義と性質

フレシェ分布の累積分布関数は

$F(x)=\mathrm{Pr}(X\le x)=e^{-x^{-\alpha }}\text{ if }x>0.$

である (Alves & Neves 2011) 。ここで、α > 0は、形状パラメータである。フレシェ分布の確率密度関数は

$f(x)=\alpha x^{-\alpha -1}{e}^{-x^{-\alpha }}$

となる。

フレシェ分布の期待値と分散は以下の通りとなる (Alves & Neves 2011)。

• 期待値は$E[X]=\mathrm{\Gamma }(1-\frac{1}{\alpha })\text{ if }\alpha >1$となる。
• 分散は$\text{Var}(X)=\mathrm{\Gamma }(1-\frac{2}{\alpha })-(\mathrm{\Gamma }(1-\frac{1}{\alpha }){)}^2\text{ if }\alpha >2$となる。

ここで、$\mathrm{\Gamma }\left(\right)$はガンマ関数であり、

$\mathrm{\Gamma }(z):=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{z-1}{e}^{-x}dx$

である。

ガンベル分布（タイプI）、フレシェ分布（タイプII）、ワイブル分布（タイプIII）は、一般化極値分布として単一の分布関数で表現できるテンプレート:Sfn。

一般化フレシェ分布

位置パラメータ m（最小値）と尺度パラメータs > 0を含めることで、フレシェ分布を一般化することができるテンプレート:Sfn。 一般化フレシェ分布の累積分布関数は

$F(x)=\mathrm{Pr}(X\le x)=e^{-{\left(\frac{x-m}{s}\right)}^{-\alpha }}\text{ if }x>m.$

である。 一般化フレシェ分布の確率密度関数は

$f(x)=\frac{\alpha }{s}{\left(\frac{x-m}{s}\right)}^{-1-\alpha }{e}^{-(\frac{x-m}{s}{)}^{-\alpha }}$

となる。

応用例

水文学

フレシェ分布は、1日当たり降水量の年間最大値のような極端な現象に適用される。

金融

フレシェ分布は、市場収益をモデル化するために使われてきたテンプレート:Sfn。

国際経済学（貿易論）

リカード・モデルを連続財・多数国モデルに拡張した著名な研究 Eaton and Kortum (2002) は、国iの各財を生産する効率性 ($Z_i$) の分布が次のフレシェ分布に従うと仮定したテンプレート:Sfn。

$F_i(z)=\mathrm{Pr}(Z_i\le z)=e^{-T_i{z}^{-\theta }}$

ここで、$\theta >1$ が形状パラメータ（定義式の$\alpha$）に相当する。$\theta$ が小さいほど、効率性の分散が大きくなり、比較優位の役割が大きくなる。$T_i>0$ は、分布の場所を左右する追加的なパラメータである。$T_i$が大きいほど、効率性が高められ、絶対優位が強くなるテンプレート:Sfn。

参考文献

• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite journal
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関連項目

• 確率分布
• 極値分布
• ガンベル分布（タイプIの極値分布）
• ワイブル分布（タイプIIIの極値分布）
• モーリス・ルネ・フレシェ