オイラー＝ロトカの方程式

オイラー゠ロトカの方程式（オイラー゠ロトカのほうていしき、テンプレート:Lang-en-short）は、人口学、生態学、疫学等の分野において、世代間隔分布と指数成長率とを関連づける法則であり、年齢構造をもつ人口増加の研究分野では最も重要な関係式の1つである。ロトカ゠オイラーの方程式またはロトカの特性方程式と呼ばれることもある。

人口の増減やその年齢構成を統計的に扱う人口学の分野は、18世紀のレオンハルト・オイラーの初期の研究にその端緒を見ることができ、20世紀初頭に テンプレート:仮リンクにより大きく発展させられた。オイラー゠ロトカ方程式は、1760年に1つの離散時間形の式を導いたオイラー、 および、一般的に連続時間形の式を導いたロトカの研究にちなんでいる。その離散時間形の方程式は、（年を時間の単位として）次式で表される。

$1=\sum _{a=0}^{\omega }{\lambda }^{-a}\ell (a)b(a)$

ここで、$\lambda$はその集団の個体数の1年間の成長率（人口の対前年比）、$\ell (a)$は$a$歳まで生存する個体の生存率、$b(a)$は$a$歳の個体が1年間で出生する子孫数を表す年齢別出生率である。$\omega$はその集団の最高年齢であり、総和はその生体の全寿命にわたって行われるものとする。

導出

ロトカのモデル

A・J・ロトカは1911年に次のような人口動態の連続時間モデルを開発した。このモデルは、対象とする集団人口のうち女性のみを追跡する。

ある集団で年齢$a$歳までの生存率を$\ell (a)$、$a$歳の母親1人が年間出生する娘の数、年齢別子孫出生率を$b(a)$とし、これらは世代にわたって安定で変化しないものとする。また、時刻$t$年の集団全体での年間子孫（女性）出生数を$B(t)$とする。このとき、時刻$t$で年齢$a$の母親の数は$B(t-a)\ell (a)$であり、それに$b(a)$を掛けた値は彼女らが1年間で出生する子孫数となるので、その総和は集団全体の全子孫出生数$B(t)$となる（ロトカの積分方程式または再生方程式）。

$B(t)=\underset{0}{\overset{\omega }{\int }}B(t-a)\ell (a)b(a)da.$

ただし、$\omega$はその集団の最高年齢である。

次に、集団全体の人口は指数関数的に増加（または減少）しているとして、$B(t)=A{e}^{rt}$の形で表されると仮定する。これを上の積分方程式に用いると、

$A{e}^{rt}=\underset{0}{\overset{\omega }{\int }}A{e}^{r(t-a)}\ell (a)b(a)da$

つまり、

$1=\underset{0}{\overset{\omega }{\int }}{e}^{-ra}\ell (a)b(a)da.$

となる（連続時間形のロトカ゠オイラーの方程式）。

連続変数としての年齢$a$を年単位で離散的に選び、積分を総和に置き変えることにより、次のように離散時間形に書き直すことができる。

$1=\sum _{a=0}^{\omega }{e}^{-ra}\ell (a)b(a)$

単位時間ステップ（1年）の成長率$e^r$を$\lambda$ 置き変えると、先に示した離散時間の方程式

$1=\sum _{a=0}^{\omega }{\lambda }^{-a}\ell (a)b(a)$

が得られる。

関連項目

• 人口統計学
• 疫学