バウムクーヘン積分

バウムクーヘン積分（-せきぶん）あるいは円殻積分・円殻法（えんかくせきぶん・-ほう、テンプレート:Lang-en）とは、回転体の体積を回転軸と「垂直」方向に計算する方法。対してテンプレート:仮リンクは回転軸と「平行」に積分する。

定義

公式は次の通りである。テンプレート:Mvar-平面上での断面をテンプレート:Mvar-軸上で回転させることで得られる三次元での体積について考える。断面が区間テンプレート:Closed-closed 上の正函数テンプレート:Math で定義されているとする。このとき、体積の公式は

2 π \int_{a}^{b} x f (x) d x

となる。

もし函数がテンプレート:Mvar 座標にあり、回転軸がテンプレート:Mvar-軸とすると公式は次のようになる。

2 π \int_{a}^{b} y f (y) d y

もし函数が線テンプレート:Math にそって回転させるとすると、公式は

{\begin{matrix} 2 π \int_{a}^{b} (x - h) f (x) d x, & if h \leq a < b \\ 2 π \int_{a}^{b} (h - x) f (x) d x, & if a < b \leq h \end{matrix}

となり^[1]、回転軸がテンプレート:Math の時には

{\begin{matrix} 2 π \int_{a}^{b} (y - k) f (y) d y, & if k \leq a < b \\ 2 π \int_{a}^{b} (k - y) f (y) d y, & if a < b \leq k \end{matrix}

となる。

公式は極座標系で二重積分を計算することで得られる。

式

で定義された、区間テンプレート:Closed-closed での断面（下に示す）の体積について考える。テンプレート:Multiple image テンプレート:仮リンクの場合、与えられたテンプレート:Mvar に対してテンプレート:Mvar を求める必要があり、また中央部に空洞があることからその内外に対応した2つの函数を得なければならない。これらの2函数を円板法で積分した後、それらを引くことで求める体積を得る。

バウムクーヘン積分では次の公式に従えばよい。

2 π \int_{1}^{2} x ((x - 1)^{2} (x - 2)^{2}) d x

多項式を展開することで、積分は極めて単純になる。最終的に体積テンプレート:Sfrac を得る。