基底関数

テンプレート:出典の明記 基底関数（きていかんすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、関数空間の基底ベクトルのことである。すなわち対象となる空間に属する全ての元（関数）は、この基底関数の線型結合で表される。

線形基底展開（テンプレート:Lang-en-short）とは、$h_m(X)$ を基底関数として、下記の形で展開する事。

$f(X)=\sum _m{\beta }_m{h}_m(X)$

例えば、実数値関数のフーリエ変換（コサイン変換・サイン変換）ではコサイン関数もしくはサイン関数、ウェーブレット変換ではウェーブレット関数とスケーリング関数、スプライン曲線では区分的多項式が基底関数として用いられる。

内積と正規直交基底

基底関数同士の内積を定義する事で、正規直交系（正規直交基底）かどうか規定できる。異なる基底関数の内積が常に 0 であれば直交とよび、同じ基底関数の内積が常に 1 なら正規と呼ぶ。

例えば、ウェーブレット変換では以下のように L²(R) における内積を定義する。

$⟨f,g⟩=\underset{𝐑}{\int }f(t)\overline{g(t)}dt$

関連項目

• 正規直交基底
• 平面波基底
• 局在基底
• 放射基底関数
• 線形代数学
• 直交多項式