正規作用素

テンプレート:Refimprove 数学の特に函数解析学における正規作用素（せいきさようそ、テンプレート:Lang-en-short）は、複素ヒルベルト空間 H 上の連続線型作用素 テンプレート:Math でエルミート随伴 テンプレート:Math を持ち、テンプレート:Math を満たすものを言う。

正規作用素が重要であるのは、それに対するスペクトル定理が成り立つからである。今日では正規作用素のクラスはよく分かっている。正規作用の例としては

• ユニタリ作用素: テンプレート:Math
• エルミート作用素（自己随伴作用素）: テンプレート:Math;（あるいは反自己随伴作用素: テンプレート:Math）
• テンプレート:仮リンク: テンプレート:Math (テンプレート:Math は有界)
• 正規行列は考えるヒルベルト空間が テンプレート:Math のときの正規作用素と考えられる。

性質

正規作用素はそのスペクトル定理によって特徴づけられる。コンパクト正規作用素（特に有限次元線型空間上の正規作用素）はユニタリ対角化可能である。

有界作用素 テンプレート:Mvar に対して以下の条件

• テンプレート:Mvar は正規。
• テンプレート:Math は正規。
• 任意の テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math が成り立つ。
• テンプレート:Mvar の自己随伴成分 テンプレート:Math と反自己随伴成分 テンプレート:Math とが可換。

は何れも同値である。三つ目は等式を自乗して テンプレート:Math の形に見れば、四つ目は各成分が テンプレート:Math で与えられるから、それぞれ正規性との同値性はあきらかである。

テンプレート:Mvar が正規作用素ならば、テンプレート:Mvar と テンプレート:Math はその像と核が等しい。ゆえに、テンプレート:Mvar の像が稠密となる必要十分条件は テンプレート:Mvar が単射となることである。別なやり方をすれば、正規作用素の核はその像の直交補空間である。従って、任意の正整数 テンプレート:Mvar に対して作用素 テンプレート:Mvar の核は テンプレート:Mvar 自身の核と等しく、正規作用素の任意の広義固有値は通常の固有値である。テンプレート:Mvar が正規作用素 テンプレート:Mvar の固有値であるための必要十分条件は、その複素共軛 テンプレート:Mvar が テンプレート:Math の固有値となることである。正規作用素の相異なる固有値に属する固有ベクトルは互いに直交し、正規作用素はその固有空間の直交補空間を不変にする。このことから通常のスペクトル定理「有限次元空間上の任意の正規作用素はユニタリ作用素によって対角化可能である」が出る。これは無限次元の場合にも、テンプレート:仮リンクを用いて一般化できる。正規作用素の剰余スペクトルは空である。

互いに可換な正規作用素の積はやはり正規となるが、これは自明ではなくテンプレート:仮リンクから従う。フーグリードの定理（のパットナムが拡張した形）は

定理 (Fuglede–Putnam)

二つの正規作用素 テンプレート:Math に対し、有界作用素 テンプレート:Mvar で テンプレート:Math を満たすものが存在すれば テンプレート:Math が成立する。

正規作用素の作用素ノルムは、そのテンプレート:仮リンクおよびスペクトル半径に等しい。

正規作用素はそのテンプレート:仮リンクと一致する。

有限次元の場合の性質

テンプレート:See also 有限次元の実または複素ヒルベルト空間（内積空間）テンプレート:Mvar 上の正規作用素 テンプレート:Mvar が部分空間 テンプレート:Mvar を保つならば、テンプレート:Mvar はその直交補空間 テンプレート:Math も保つ（この主張は テンプレート:Mvar が自己随伴ならば自明である）。

[証明]. テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の上への直交射影とすれば テンプレート:Math の上への直交射影は テンプレート:Math である。テンプレート:Math が テンプレート:Math を保つことは テンプレート:Math または テンプレート:Math で表されるという事実を用いれば、目的は テンプレート:Math を示すことに言い換えられる。テンプレート:Math が テンプレート:Mvar の自己準同型全体の成すベクトル空間上の内積となることから、テンプレート:Math を示せば十分である。そこでまずは XX^∗ を直交射影で書きなおせば

$X{X}^{*}=P_{V}T(1_H-P_V{)}^2{T}^{*}{P}_V=P_{V}T(1_H-P_V)T^{*}{P}_V=P_{V}T{T}^{*}{P}_V-P_{V}T{P}_V{T}^{*}{P}_V$

となるから、ここでトレースと直交射影の性質に従って計算すれば

$\begin{array}{cc}\mathrm{tr}(X{X}^{*})& =\mathrm{tr}(P_{V}T{T}^{*}{P}_V-P_{V}T{P}_V{T}^{*}{P}_V)\\ & =\mathrm{tr}(P_{V}T{T}^{*}{P}_V)-\mathrm{tr}(P_{V}T{P}_V{T}^{*}{P}_V)\\ & =\mathrm{tr}(P_V^{2}T{T}^{*})-\mathrm{tr}(P_V^{2}T{P}_V{T}^{*})\\ & =\mathrm{tr}(P_{V}T{T}^{*})-\mathrm{tr}(P_{V}T{P}_V{T}^{*})\\ & =\mathrm{tr}(P_{V}T{T}^{*})-\mathrm{tr}(T{P}_V{T}^{*})\\ & =\mathrm{tr}(P_{V}T{T}^{*})-\mathrm{tr}(P_V{T}^{*}T)\\ & =\mathrm{tr}(P_V(T{T}^{*}-T^{*}T))=0\end{array}$

を得る。

同じ論法が、無限次元ヒルベルト空間のコンパクト正規作用素に対しても、テンプレート:仮リンクを用いて通用する。しかし、一般の有界正規作用素に対しては、不変部分空間の直交補空間で不変とならないものが存在し得る。これはつまり、そのような部分空間は固有ベクトルで張ることはできないということを意味する。例えばテンプレート:仮リンクを考えれば、これは固有値を持たない。両側シフト作用素の不変部分空間はテンプレート:仮リンクによって特徴づけられる。

対合環の正規元

正規作用素の概念は対合線型環への一般化される。つまり、対合線型環の元 テンプレート:Mvar が正規であるとは、 テンプレート:Math を満たすときに言う。最も重要な場合は、対合線型環が[[C*-環| テンプレート:Math-線型環]]であるときである。テンプレート:仮リンクは正規元の例である。

非有界正規作用素

有界作用素の定義は、ある種の非有界作用素のクラスに対しては自然に一般化される。具体的には、閉作用素 テンプレート:Mvar が正規であることを

$N^{*}N=N{N}^{*}$

で定める。ここで随伴 テンプレート:Math の存在性は テンプレート:Mvar の定義域が稠密であることを、等号は テンプレート:Math の定義域が テンプレート:Math の定義域と等しいことをそれぞれ含意するが、この場合一般には必要でない。

非有界正規作用素に対してもスペクトル定理はやはり成り立つが、ふつうは別に証明が必要である。

一般化

正規作用素論の成功は、その可換性条件を緩めた様々な一般化への呼び水となった。そのような正規作用素を含む作用素のクラスには

• 準正規作用素
• テンプレート:仮リンク
• 劣正規作用素
• パラ正規作用素
• テンプレート:仮リンク

などがある（上記は、後のものが前のものを含むより広いクラスとなるような順番で並べてある）。

参考文献

• Hoffman, Kenneth and Kunze, Ray. Linear Algebra. Second Edition. 1971. Prentice-Hall, Inc.