シンプレクティック簡約化

シンプレクティック簡約化とは、マースデンとワインシュタインによって示された「シンプレティック多様体の自由度低減定理」のこと。これは解析力学におけるネーターの定理の一般化であるともみられる。

簡約化 (Weinstein and Marsden)

$(M, ω)$ をシンプレクティック多様体とする。また、 $G$ をリー群とし、Ｍに作用しているとする：

$L_{g} : M \to M; x \to g \cdot x, g \in G .$

さらに、このＧによる作用はシンプレクティック形式 $ω$ を保つ、すなわち、 $L_{g}^{*} ω = ω$ であるとする。

$𝔤$ でＧのリー代数を表し、 $𝔤^{*}$ でその双対空間を表すことにする。リー群Ｇのシンプレクティック多様体Ｍへの作用に関する運動量写像 $J : M \to 𝔤^{*}$ とは

$d J_{x} (X) (ξ) = ω_{x} (ξ_{M} |_{x}, X), X \in T_{x} M$

を満たすものである。ここで、 $ξ \in 𝔤$ であり、 $ξ_{M}$ は $ξ$ に関するＭ上の基本ベクトル場である。また、 $d J : T M \to T 𝔤^{*}$ はＪの微分写像である。