コーシーの冪根判定法

テンプレート:Expand English コーシーの冪根判定法(―のべきこんはんていほう、root test) とは、無限級数の収束性を判定する方法の一つである。とりわけ、冪級数に関連することに有用である。「コーシーの冪根判定法」という名前は、これを最初に発見したオーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する。

$C=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n|}$

（"lim sup" は上極限を意味する）とするとき、C < 1 であれば級数は収束し、C > 1 であれば発散する。C = 1 ならば、この判定法ではどちらとも言えない。もし、級数の項が c を中心とする冪級数

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-c{)}^n$

の係数であれば、この冪級数の収束半径は 1/C である。これは、0 の逆数として考えた ∞ も含む。

証明

証明は、比較判定法を利用したものである。もし、全ての $n\ge N$ に対し $\sqrt[n]{a_n}<k<1$ ならば、$a_n<k^n<1$ が成立する。比較判定法より、幾何級数 $\sum _{i=N}^{\mathrm{\infty }}{k}^i$ が収束すれば、$\sum _{i=N}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ もまた収束する。

もし、$\sqrt[n]{a_n}>1$ ならば、$\sum _{i=N}^{\mathrm{\infty }}1$ と比較して級数は発散する。a_n が非正である場合の絶対収束性は、$\sqrt[n]{|a_n|}$ を用いれば同様にして証明できる。

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参考文献

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